Rovinné úlohy
Q: oblast v IR2 s Lipschitzovskou hranicí f~, též regulární oblast. Příklady oblastí, které nejsou regulární:
Označení:
C(fl), PC(ft), Z.2(fi),
Hk(Q) je prostor funkcí, jejichž derivace do řádu /c jsou v L2(Q).
V = gracf = (|^5 ^)  , a? = (nx, ny)T = (a?i, n2)T je jednotkový vektor vnější normály.
Derivace ve směru vnější normály: |jj = n • Víí = nx|^ +
□      s ► < i ► < :
n
du
Ydy
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I 1/9
Greenova formule
u^-dx = / uvn^dS — [ v—^-dx n oxk       Jv Jn dxk
Klasická formulace úlohy
-V • (pVu) + qu= f vQ
kde
Okrajové podmínky: Dirichletova: u = g na Ti
Newtonova (Neumanova pro a = 0): —      = au — /3 na l~2
rx n r2 = 0, f x u r2 = r.
Podmínky: hladkost funkcí podle potřeby
p(*,y) > Po > 0, g(x,y) > 0.
Podmínky pro jednoznačnost resení:
> 0 nebo
<7(*?y) > qo > 0 na Q0 C Q, fai^-o) > 0 nebo a(x,y) > a0 > 0 na r20 Q T2, /ii(r20) > 0
Nesplnění těchto podmínek vede na úlohu
du
-V • (pVu) + qfii = Z7   ví), -p— =
která je řešitelná, pokud platí (odvození pomocí Greenovy formule)
fdxdy+ / f3ds = 0.
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I
Slabá formulace úlohy
v = v(x,y) - testovací funkce, v = 0 na
Rovnici vynásobíme testovací funkcí v a integrujeme přes Q.
Za použití Greenovy formule a okrajových podmínek
dostaneme
J[pVu - Vv + quv]dxdy + J auv ds = J fv dxdy + J f3v ds
r2
r2
Můžeme psát
a(a, v) = J [pS7 u • V v + quv]dxdy + J auv ds
r2
c/xc/y +    /3v c/s,
r2
tedy
a(i/, v) = /.(v) V\/.
Jirí Zelinka
Pokročilé numerické metody III rovinné úlohy I 4/9
Triangulace
Předpokládejme, že Q je polygon (hranice je tvořena úsečkami).
Provedeme triangulaci oblasti Q pomocí trojúhelníkové sítě T tvořené prvky (elementy) e, pro něž platí, že jsou buď disjunktní, nebo mají společnou stranu nebo vrchol, přičemž hraniční body     Y2 jsou součástí triangulace. Pro každý vrchol triangulace (uzel) definujeme bázovou funkci w jako po částech lineární spojitou s hodnotou 1 v daném vrcholu, v ostatních vrcholech 0.
Obecnou oblast aproximujeme polygonem.
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I 5/9
Metoda konečných prvků
Pro každý uzel triangulace (vrchol) P; je definována jedna bázová funkce w-, nenulová na polygonu E-, tvořeném sousedními uzly.
Přibližné řešení rovnice U je pak U =     U'tw'n kde U-, je
hodnota U v uzlu P\. Pro w\ máme rovnici
[pVU'X7wi+qUwi]dxdy+J aUw; ds = J fw,dxdy+J fiwjds, Ei r2/- E; r2/-
kde V U a Vw; jsou konstantní funkce na každém elementu, r2; je průnik ľ2 s hranicí £;. <DMflMiMr
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I
6/9
Porovnání s diferenční metodou
Porovnáme MKP a diferenční metodu pro Laplaceovu rovnici —Au = 0 a pravidelnou triangulaci na čtverci s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami.
Pro tuto situaci je vhodné použít dvojité indexování:
Pij = (x/, yj), x,- = x0 + //?, yj = y0 +jh.
Elementy sousedící s P,j označme pro jednoduchost ei,..., e6
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I 7/9
Diferenční metoda pro Laplaceovu rovnici:
Au(xhyj) = (0 + 0)(x;,yy) = £[i/(x/ + M)+
u(x/ - /?, y) + u(x/, y + h) + u(x/, y,- - h) - 4i/(x,-, y)] + 0(/72) Náhrada Laplaceovy rovnice:
i[4(y;j - ui+1J - Ui-u - uiJ+1 - Uij-ú = o.
MKP
Rovnice pro w;j\
na ei na e2 na e3 na e4 na e5 na e6
lh[x; + yj + h-x-y]
-h[yj + h~y]
ty(x, y) -ty(x, y) =
w(x,y) = i[xf- + h + x] w(x, y) = \[xi + yj + h + x + y] ty(x, y) = ty(x, y) =
lh\yj + h + y]
\[x, + h-x\
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I 8/9
Domácí úkol:
Dokončit odvození ekvivalence MKP s diferenční metodou:
• určit VU 9 určit Viv/j
o spočítat J [VU - Vw;]dxdy (p = 1. q = ŕ = a = 3 = 0)
• Jak vypadá matice soustavy? (bloková struktura)
Příští týden budeme pracovat v Matlabu s programem pdetool, který je součástí knihovny (toolboxu) pro parciální diferenciální rovnice. Vyzkoušejte, prosím, jeho funkčnost, případně toolbox nainstalujte.
Jiří Zelinka
Pokročilé numerické metody lil rovinné úlohy I í