Rovinné úlohy
Klasická formulace úlohy
−∇ · (p∇u) + qu = f v Ω
kde
−∇ · (p∇u) = − ∂
∂x
(p∂u
∂x
) − ∂
∂y
(p∂u
∂y
) = −(pux )x − (puy )y .
Okrajové podmínky:
Dirichletova: u = g na Γ1
Newtonova (Neumanova pro α = 0): −p∂u
∂n
= αu − β na Γ2
Γ1 ∩ Γ2 = ∅, ¯Γ1 ∪ ¯Γ2 = Γ.
Podmínky: hladkost funkcí podle potřeby,
p(x, y) ≥ p0 > 0, q(x, y) ≥ 0.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 1 / 9
Slabá formulace úlohy
v = v(x, y) – testovací funkce, v = 0 na Γ1.
Rovnici vynásobíme testovací funkcí v a integrujeme přes Ω.
Za použití Greenovy formule a okrajových podmínek
dostaneme
Ω
[p∇u · ∇v + quv]dxdy +
Γ2
αuv ds =
Ω
fv dxdy +
Γ2
βv ds
Můžeme psát
a(u, v) =
Ω
[p∇u · ∇v + quv]dxdy +
Γ2
αuv ds
L(v) =
Ω
fv dxdy +
Γ2
βv ds,
tedy
a(u, v) = L(v) ∀v.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 2 / 9
Metoda konečných prvků
Oblast triangulujeme a pro každý uzel triangulace (vrchol) Pi
je definována jedna bázová funkce wi nenulová na polygonu Ei
tvořeném sousedními uzly.
Přibližné řešení rovnice U je pak U =
i
Ui wi , kde Ui je
hodnota U v uzlu Pi .
Pro wi máme rovnici
Ei
[p∇U·∇wi +qUwi ]dxdy+
Γ2i
αUwi ds =
Ei
fwi dxdy+
Γ2i
βwi ds,
kde ∇U a ∇wi jsou konstantní funkce na každém elementu,
Γ2i je průnik Γ2 s hranicí Ei .
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 3 / 9
Pojmy a ozančení:
Trojúhelníky triangulace: elementy (prvky), značíme je e, resp.
ei , počet elementů označíme Ne, h maximální délka strany
elementů.
Vrcholy trojúhelníků: uzly, značíme je P, resp. Pi = (xi , yi ),
volíme je tak aby ¯Γ1 ∩ ¯Γ2 byly uzly. Počet všech uzlů označíme
NU, počet uzlů na ¯Γ1 označíme N1, počet zbývajících uzlů N0.
Kvůli snadnějšímu zápisu můžeme uvažovat, že uzly mimo ¯Γ1
mají indexy 1, . . . , N0 uzly na ¯Γ1 mají indexy N0 + 1, . . . , NU.
Strany na ¯Γ2 označíme S, resp. Si , jejich počet NS .
Pro každý element e známe jeho vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 .
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 9
Například vrcholy elementu e3 jsou uzly P2, P6 a P7.
Dále označme Ie
(g) a IS
(g) numerickou aproximaci integrálu
z funkce g přes daný element e nebo danou stranu S. Pak
a(u, v) ≈ ah(u, v) =
Ne
i=1
Iei
(p∇u · ∇v + quv) +
NS
j=1
ISj
(αuv),
L(v) ≈ Lh(v) =
Ne
i=1
Iei
(fv) +
NS
j=1
ISj
(βv).
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 5 / 9
Hodnta přibližného řešení U v bodě Pi je Ui (neznámé
hodnoty). Můžeme psát
U =
N0
i=1
Ui wi +
NU
i=N0+1
g(Pi )wi
a váhová funkce V je rovna
V =
N0
i=1
Vi wi , pro Vi = V (Pi ).
Položíme
ah(U, V ) = Lh(V ) ⇒ 0 = ah(U, V ) − Lh(V ) =
=
N0
i=1
Vi
N0
j=1
ah(wj , wi )Uj − Lh(wi ) −
NU
j=N0+1
ah(wj , wi )g(Pj ) =
=
N0
i=1
Vi
N0
j=1
kij Uj − Fi = VT
[KU − F].
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 6 / 9
Protože vektor V je libovolný, musí platit
KU = F.
K – matice tuhosti,
F – vektor zatížení.
Vlastnosti matice K
1 K je symetrická: ah(wi , wj ) = ah(wj , wi ).
2 K je řídká: ah(wi , wj ) = 0, pokud uzly Pi a Pj nejsou
vrcholy téhož trojúhelníka.
3 K je pozitivně definitní
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 7 / 9
Integrování přes trojúhelník
P1
P2
P3
v1
v2
P1 = (x1, y1)
P2 = (x2, y2)
P3 = (x3, y3)
v2 = P2 − P3 = (x2 − x3, y2 − y3)
v1 = P1 − P3 = (x1 − x3, y1 − y3)
Plocha trojúhelníka:
S =
1
2



det

x1 − x3 x2 − x3
y1 − x3 y2 − y3




Těžiště:
T
+
T =
1
3
(P1 + P2 + P3)
Transformace na trojúhelník s vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 0]:
P = (x, y) = P3 + sv1 + tv2, s ∈ [0, 1], t ∈ [0, 1 − s], |J| = 2S.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 8 / 9
Základní kvadraturní formule
S pomocí těžiště:
e
g(x, y)dxdy ≈ g(T) · S
S pomocí vrcholů trojúhelníka:
e
g(x, y)dxdy ≈
1
3
[g(P1) + g(P2) + g(P3)] · S
Obě formule jsou přesné pro lineární polynomy.
S pomocí středů stran trojúhelníka:
Označme S1, S2 a S3 středy stran trojúhelníka, pak
e
g(x, y)dxdy ≈
1
3
[g(S1) + g(S2) + g(S3)] · S
Formule je přesná pro kvadratické polynomy.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 9 / 9