Rovinné úlohy
Klasická formulace úlohy
−∇ · (p∇u) + qu = f v Ω
Okrajové podmínky:
Dirichletova: u = g na Γ1
Newtonova (Neumanova pro α = 0): −p∂u
∂n
= αu − β na Γ2
Γ1 ∩ Γ2 = ∅, ¯Γ1 ∪ ¯Γ2 = Γ.
Slabá formulace úlohy
Ω
[p∇u · ∇v + quv]dxdy +
Γ2
αuv ds =
Ω
fv dxdy +
Γ2
βv ds
a(u, v) = L(v) ∀v.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 1 / 12
Metoda konečných prvků
Oblast triangulujeme a pro každý uzel triangulace (vrchol) Pi
je definována jedna bázová funkce wi (spojitá a po částech
lineární) nenulová na polygonu Ei tvořeném sousedními uzly.
Pojmy a ozančení:
Elementy (prvky): e, resp. ei , Ne je počet elementů.
Vrcholy elementů, uzly, P, resp. Pi = (xi , yi ), všech uzlů je
NU, na ¯Γ1 je jich N1, zbývajících je N0, uzly mimo ¯Γ1 mají
indexy 1, . . . , N0 uzly na ¯Γ1 mají indexy N0 + 1, . . . , NU.
Strany na ¯Γ2 označíme S, resp. Si , jejich počet NS .
Pro každý element e známe jeho vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 .
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 2 / 12
Aproximace slabé formulace
ah(u, v) =
Ne
i=1
Iei
(p∇u · ∇v + quv) +
NS
j=1
ISj
(αuv),
Lh(v) =
Ne
i=1
Iei
(fv) +
NS
j=1
ISj
(βv).
0 = ah(U, V ) − Lh(V ) =
=
N0
i=1
Vi
N0
j=1
ah(wj , wi )Uj − Lh(wi ) −
NU
j=N0+1
ah(wj , wi )g(Pj ) =
=
N0
i=1
Vi
N0
j=1
kij Uj − Fi = VT
[KU − F].
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 3 / 12
Elementární matice
Rovnice pro jeden element
Buď e element s vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 , Pe
i = (xe
i , ye
i ).
Na e se využívají bázové funkce we
1 , we
3 , we
3 .
Označme Ne
= Ne
(x, y) = (we
1 (x, y), we
2 (x, y), we
3 (x, y)),
we
i (x, y) = ae
i x + be
i y + ce
i , i = 1, 2, 3.
Ue
= (Ue
1 , Ue
2 , Ue
3 )T
, Ue
i = U(Pe
i ), V e
= (V e
1 , V e
2 , V e
3 )T
.
Na e platí:
U = Ue
1 we
1 + Ue
2 we
2 + Ue
3 we
3 = Ne
Ue
, podobně V = Ne
V e
.
Označme Be
gradient Ne
:
Be
= ∇Ne
=
ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
, tedy
∇U = ∇(Ne
Ue
) = Be
Ue
,
∇V = ∇(Ne
V e
) = Be
V e
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 12
Elementární matice
Rovnice pro jeden element
Buď e element s vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 , Pe
i = (xe
i , ye
i ).
Na e se využívají bázové funkce we
1 , we
3 , we
3 .
Označme Ne
= Ne
(x, y) = (we
1 (x, y), we
2 (x, y), we
3 (x, y)),
we
i (x, y) = ae
i x + be
i y + ce
i , i = 1, 2, 3.
Ue
= (Ue
1 , Ue
2 , Ue
3 )T
, Ue
i = U(Pe
i ), V e
= (V e
1 , V e
2 , V e
3 )T
.
Na e platí:
U = Ue
1 we
1 + Ue
2 we
2 + Ue
3 we
3 = Ne
Ue
, podobně V = Ne
V e
.
Označme Be
gradient Ne
:
Be
= ∇Ne
=
ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
, tedy
∇U = ∇(Ne
Ue
) = Be
Ue
,
∇V = ∇(Ne
V e
) = Be
V e
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 12
Elementární matice
Rovnice pro jeden element
Buď e element s vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 , Pe
i = (xe
i , ye
i ).
Na e se využívají bázové funkce we
1 , we
3 , we
3 .
Označme Ne
= Ne
(x, y) = (we
1 (x, y), we
2 (x, y), we
3 (x, y)),
we
i (x, y) = ae
i x + be
i y + ce
i , i = 1, 2, 3.
Ue
= (Ue
1 , Ue
2 , Ue
3 )T
, Ue
i = U(Pe
i ), V e
= (V e
1 , V e
2 , V e
3 )T
.
Na e platí:
U = Ue
1 we
1 + Ue
2 we
2 + Ue
3 we
3 = Ne
Ue
, podobně V = Ne
V e
.
Označme Be
gradient Ne
:
Be
= ∇Ne
=
ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
, tedy
∇U = ∇(Ne
Ue
) = Be
Ue
,
∇V = ∇(Ne
V e
) = Be
V e
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 12
Elementární matice
Rovnice pro jeden element
Buď e element s vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 , Pe
i = (xe
i , ye
i ).
Na e se využívají bázové funkce we
1 , we
3 , we
3 .
Označme Ne
= Ne
(x, y) = (we
1 (x, y), we
2 (x, y), we
3 (x, y)),
we
i (x, y) = ae
i x + be
i y + ce
i , i = 1, 2, 3.
Ue
= (Ue
1 , Ue
2 , Ue
3 )T
, Ue
i = U(Pe
i ), V e
= (V e
1 , V e
2 , V e
3 )T
.
Na e platí:
U = Ue
1 we
1 + Ue
2 we
2 + Ue
3 we
3 = Ne
Ue
, podobně V = Ne
V e
.
Označme Be
gradient Ne
:
Be
= ∇Ne
=
ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
, tedy
∇U = ∇(Ne
Ue
) = Be
Ue
,
∇V = ∇(Ne
V e
) = Be
V e
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 12
Elementární matice
Rovnice pro jeden element
Buď e element s vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 , Pe
i = (xe
i , ye
i ).
Na e se využívají bázové funkce we
1 , we
3 , we
3 .
Označme Ne
= Ne
(x, y) = (we
1 (x, y), we
2 (x, y), we
3 (x, y)),
we
i (x, y) = ae
i x + be
i y + ce
i , i = 1, 2, 3.
Ue
= (Ue
1 , Ue
2 , Ue
3 )T
, Ue
i = U(Pe
i ), V e
= (V e
1 , V e
2 , V e
3 )T
.
Na e platí:
U = Ue
1 we
1 + Ue
2 we
2 + Ue
3 we
3 = Ne
Ue
, podobně V = Ne
V e
.
Označme Be
gradient Ne
:
Be
= ∇Ne
=
ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
, tedy
∇U = ∇(Ne
Ue
) = Be
Ue
,
∇V = ∇(Ne
V e
) = Be
V e
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 12
Elementární matice
Rovnice pro jeden element
Buď e element s vrcholy Pe
1 , Pe
3 , Pe
3 , Pe
i = (xe
i , ye
i ).
Na e se využívají bázové funkce we
1 , we
3 , we
3 .
Označme Ne
= Ne
(x, y) = (we
1 (x, y), we
2 (x, y), we
3 (x, y)),
we
i (x, y) = ae
i x + be
i y + ce
i , i = 1, 2, 3.
Ue
= (Ue
1 , Ue
2 , Ue
3 )T
, Ue
i = U(Pe
i ), V e
= (V e
1 , V e
2 , V e
3 )T
.
Na e platí:
U = Ue
1 we
1 + Ue
2 we
2 + Ue
3 we
3 = Ne
Ue
, podobně V = Ne
V e
.
Označme Be
gradient Ne
:
Be
= ∇Ne
=
ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
, tedy
∇U = ∇(Ne
Ue
) = Be
Ue
,
∇V = ∇(Ne
V e
) = Be
V e
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 4 / 12
Ie
(p∇U · ∇V + qUV ) =
= Ie
((Be
V e
)T
pBe
Ue
+ (Ne
V e
)T
qNe
Ue
) =
= Ie
((V e
)T
(Be
)T
pBe
Ue
+ (V e
)T
(Ne
)T
qNe
Ue
) =
= (V e
)T
Ie
((Be
)T
pBe
+ (Ne
)T
qNe
)Ue
=
= (V e
)T
(Ke
1 + Ke
2 )Ue
= (V e
)T
Ke
Ue
Ke
se nazývá elementární matice.
Pro výpočet Ke
1 používáme kvadraturní formuli s těžištěm
elementu Te
= 1
3
(Pe
1 + Pe
2 + Pe
3 ):
Ke
1 = Se
p(xT , yT )


ae
1ae
1 + be
1be
1 ae
1ae
2 + be
1be
2 ae
1ae
3 + be
1be
3
ae
2ae
1 + be
2be
1 ae
2ae
2 + be
2be
2 ae
2ae
3 + be
2be
3
ae
3ae
1 + be
3be
1 ae
3ae
2 + be
3be
2 ae
3ae
3 + be
3be
3


Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 5 / 12
Ie
(p∇U · ∇V + qUV ) =
= Ie
((Be
V e
)T
pBe
Ue
+ (Ne
V e
)T
qNe
Ue
) =
= Ie
((V e
)T
(Be
)T
pBe
Ue
+ (V e
)T
(Ne
)T
qNe
Ue
) =
= (V e
)T
Ie
((Be
)T
pBe
+ (Ne
)T
qNe
)Ue
=
= (V e
)T
(Ke
1 + Ke
2 )Ue
= (V e
)T
Ke
Ue
Ke
se nazývá elementární matice.
Pro výpočet Ke
1 používáme kvadraturní formuli s těžištěm
elementu Te
= 1
3
(Pe
1 + Pe
2 + Pe
3 ):
Ke
1 = Se
p(xT , yT )


ae
1ae
1 + be
1be
1 ae
1ae
2 + be
1be
2 ae
1ae
3 + be
1be
3
ae
2ae
1 + be
2be
1 ae
2ae
2 + be
2be
2 ae
2ae
3 + be
2be
3
ae
3ae
1 + be
3be
1 ae
3ae
2 + be
3be
2 ae
3ae
3 + be
3be
3


Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 5 / 12
Ie
(p∇U · ∇V + qUV ) =
= Ie
((Be
V e
)T
pBe
Ue
+ (Ne
V e
)T
qNe
Ue
) =
= Ie
((V e
)T
(Be
)T
pBe
Ue
+ (V e
)T
(Ne
)T
qNe
Ue
) =
= (V e
)T
Ie
((Be
)T
pBe
+ (Ne
)T
qNe
)Ue
=
= (V e
)T
(Ke
1 + Ke
2 )Ue
= (V e
)T
Ke
Ue
Ke
se nazývá elementární matice.
Pro výpočet Ke
1 používáme kvadraturní formuli s těžištěm
elementu Te
= 1
3
(Pe
1 + Pe
2 + Pe
3 ):
Ke
1 = Se
p(xT , yT )


ae
1ae
1 + be
1be
1 ae
1ae
2 + be
1be
2 ae
1ae
3 + be
1be
3
ae
2ae
1 + be
2be
1 ae
2ae
2 + be
2be
2 ae
2ae
3 + be
2be
3
ae
3ae
1 + be
3be
1 ae
3ae
2 + be
3be
2 ae
3ae
3 + be
3be
3


Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 5 / 12
Pro výpočet koeficientů ae
i , be
i a ce
i využijeme vlastnost
bázových funkcí
we
i (xe
j , ye
j ) =
0 pro i ̸= j
1 pro i = j
Dostáváme systém rovnic


xe
1 ye
1 1
xe
2 ye
2 1
xe
3 ye
3 1




ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
ce
1 ce
2 ce
3

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Determinant první matice je
de
= (ye
3 − ye
1 )(xe
2 − xe
1 ) − (xe
3 − xe
1 )(ye
2 − ye
1 ), |de
| = 2Se
. Pak
ae
1 = (ye
2 − ye
3 )/de
be
1 = (xe
3 − xe
2 )/de
ce
1 = (xe
2 ye
3 − ye
2 xe
3 )/de
ae
2 = (ye
3 − ye
1 )/de
be
2 = (xe
1 − xe
3 )/de
ce
2 = (xe
3 ye
1 − ye
3 xe
1 )/de
ae
2 = (ye
1 − ye
2 )/de
be
2 = (xe
2 − xe
1 )/de
ce
2 = (xe
1 ye
2 − ye
1 xe
2 )/de
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 6 / 12
Pro výpočet koeficientů ae
i , be
i a ce
i využijeme vlastnost
bázových funkcí
we
i (xe
j , ye
j ) =
0 pro i ̸= j
1 pro i = j
Dostáváme systém rovnic


xe
1 ye
1 1
xe
2 ye
2 1
xe
3 ye
3 1




ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
ce
1 ce
2 ce
3

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Determinant první matice je
de
= (ye
3 − ye
1 )(xe
2 − xe
1 ) − (xe
3 − xe
1 )(ye
2 − ye
1 ), |de
| = 2Se
. Pak
ae
1 = (ye
2 − ye
3 )/de
be
1 = (xe
3 − xe
2 )/de
ce
1 = (xe
2 ye
3 − ye
2 xe
3 )/de
ae
2 = (ye
3 − ye
1 )/de
be
2 = (xe
1 − xe
3 )/de
ce
2 = (xe
3 ye
1 − ye
3 xe
1 )/de
ae
2 = (ye
1 − ye
2 )/de
be
2 = (xe
2 − xe
1 )/de
ce
2 = (xe
1 ye
2 − ye
1 xe
2 )/de
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 6 / 12
Pro výpočet koeficientů ae
i , be
i a ce
i využijeme vlastnost
bázových funkcí
we
i (xe
j , ye
j ) =
0 pro i ̸= j
1 pro i = j
Dostáváme systém rovnic


xe
1 ye
1 1
xe
2 ye
2 1
xe
3 ye
3 1




ae
1 ae
2 ae
3
be
1 be
2 be
3
ce
1 ce
2 ce
3

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Determinant první matice je
de
= (ye
3 − ye
1 )(xe
2 − xe
1 ) − (xe
3 − xe
1 )(ye
2 − ye
1 ), |de
| = 2Se
. Pak
ae
1 = (ye
2 − ye
3 )/de
be
1 = (xe
3 − xe
2 )/de
ce
1 = (xe
2 ye
3 − ye
2 xe
3 )/de
ae
2 = (ye
3 − ye
1 )/de
be
2 = (xe
1 − xe
3 )/de
ce
2 = (xe
3 ye
1 − ye
3 xe
1 )/de
ae
2 = (ye
1 − ye
2 )/de
be
2 = (xe
2 − xe
1 )/de
ce
2 = (xe
1 ye
2 − ye
1 xe
2 )/de
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 6 / 12
Pokud označíme
re
= (ye
2 − ye
3 )(ye
3 − ye
1 ) − (xe
3 − xe
2 )(xe
1 − xe
3 )
se
= (ye
2 − ye
3 )(ye
1 − ye
2 ) − (xe
3 − xe
2 )(xe
2 − xe
1 )
te
= (ye
3 − ye
1 )(ye
1 − ye
2 ) − (xe
1 − xe
3 )(xe
2 − xe
1 )
platí
Ke
1 =
p(xT , yT )
2|de|


−re
− se
re
se
re
−re
− te
te
se
te
−se
− te


Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 7 / 12
Pro výpočet Ke
2 můžeme využít kvadraturní formuli pro
hodnoty ve vrcholech trojúhelníku, pak dostaneme
Ke
2 =
|de
|
6


q(xe
1 , ye
1 ) 0 0
0 q(xe
2 , ye
2 ) 0
0 0 q(xe
3 , ye
3 )

 ,
nebo formuli pro těžiště, pak vyjde
Ke
2 =
|de
|
18
q(xe
T , ye
T )


1 1 1
1 1 1
1 1 1

 .
Pro integrál na pravé straně rovnice dostáváme
Ie
(fV ) = Ie
((Ne
V e
)T
f ) = (V e
)T
Ie
((Ne
)T
f ) = (V e
)T
Fe
, pak
podle použité kvadraturní formule
Fe
= 1
6
|de
|(f (Pe
1 ), f (Pe
2 ), f (Pe
3 ))T
nebo
Fe
= 1
6
|de
|f (Te
)(1, 1, 1)T
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 8 / 12
Pro výpočet Ke
2 můžeme využít kvadraturní formuli pro
hodnoty ve vrcholech trojúhelníku, pak dostaneme
Ke
2 =
|de
|
6


q(xe
1 , ye
1 ) 0 0
0 q(xe
2 , ye
2 ) 0
0 0 q(xe
3 , ye
3 )

 ,
nebo formuli pro těžiště, pak vyjde
Ke
2 =
|de
|
18
q(xe
T , ye
T )


1 1 1
1 1 1
1 1 1

 .
Pro integrál na pravé straně rovnice dostáváme
Ie
(fV ) = Ie
((Ne
V e
)T
f ) = (V e
)T
Ie
((Ne
)T
f ) = (V e
)T
Fe
, pak
podle použité kvadraturní formule
Fe
= 1
6
|de
|(f (Pe
1 ), f (Pe
2 ), f (Pe
3 ))T
nebo
Fe
= 1
6
|de
|f (Te
)(1, 1, 1)T
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 8 / 12
Elementární matice pro strany S na Γ2 jsou dány
jednorozměrnými kvadraturními formulemi.
Buď S strana určena uzly PS
1 a PS
2 , wS
1 a wS
2 jsou restrikce
příslušných bázových funkcí na S. Označme
NS
= NS
(x, y) = (wS
1 (x, y), wS
2 (x, y)),
US
= (US
1 , US
2 )T
= (U(PS
1 ), U(PS
2 ))T
,
V S
= (V S
1 , V S
2 )T
= (V (PS
1 ), V (PS
2 ))T
.
Pak na S máme U = NS
US
, V = NS
V S
a
IS
(αUV ) = (V S
)T
IS
((NS
)T
αNS
)US
= (V S
)T
KS
US
,
IS
(βV ) = (V S
)T
IS
((NS
)T
β) = (V S
)T
FS
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 9 / 12
Elementární matice pro strany S na Γ2 jsou dány
jednorozměrnými kvadraturními formulemi.
Buď S strana určena uzly PS
1 a PS
2 , wS
1 a wS
2 jsou restrikce
příslušných bázových funkcí na S. Označme
NS
= NS
(x, y) = (wS
1 (x, y), wS
2 (x, y)),
US
= (US
1 , US
2 )T
= (U(PS
1 ), U(PS
2 ))T
,
V S
= (V S
1 , V S
2 )T
= (V (PS
1 ), V (PS
2 ))T
.
Pak na S máme U = NS
US
, V = NS
V S
a
IS
(αUV ) = (V S
)T
IS
((NS
)T
αNS
)US
= (V S
)T
KS
US
,
IS
(βV ) = (V S
)T
IS
((NS
)T
β) = (V S
)T
FS
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 9 / 12
Elementární matice pro strany S na Γ2 jsou dány
jednorozměrnými kvadraturními formulemi.
Buď S strana určena uzly PS
1 a PS
2 , wS
1 a wS
2 jsou restrikce
příslušných bázových funkcí na S. Označme
NS
= NS
(x, y) = (wS
1 (x, y), wS
2 (x, y)),
US
= (US
1 , US
2 )T
= (U(PS
1 ), U(PS
2 ))T
,
V S
= (V S
1 , V S
2 )T
= (V (PS
1 ), V (PS
2 ))T
.
Pak na S máme U = NS
US
, V = NS
V S
a
IS
(αUV ) = (V S
)T
IS
((NS
)T
αNS
)US
= (V S
)T
KS
US
,
IS
(βV ) = (V S
)T
IS
((NS
)T
β) = (V S
)T
FS
.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 9 / 12
Pro lichoběžníkovou formuli dostaneme
KS
=
1
2
dS α(PS
1 ) 0
0 α(PS
2 )
, FS
=
1
2
dS β(PS
1 )
β(PS
2 )
,
kde dS
je délka strany, pro obdélníkovou formuli
KS
=
1
2
dS
α(TS
)
1 1
1 1
, FS
=
1
2
dS
β(TS
)
1
1
pro TS
střed strany S.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 10 / 12
Sestavení globání matice K
Vzhledem k tomu, že integrování je aditivní, dostaneme
globání matici tuhosti K jako součet elementárních matic na
příslušných pozicích.
Algoritmus:
Matici K vytvoříme jako nulovou čtvercovou matici řádu
N0.
Pro každý element e vytvoříme matice Ke
1 a Ke
2 , které
připočteme ke K na pozice (řadkové a sloupcové)
odpovídájící skutečným indexům vrcholů elementu
(příslušných uzlů). Hodnoty pro uzly z ¯Γ1 (známé hodnoty
funkce U) převádíme na pravou stranu rovnice –
připočítáváme k vektoru, který podobně vytváříme z F.
Stejný postup provádíme pro každou stranu S ∈ Γ2.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 11 / 12
Sestavení globání matice K
Vzhledem k tomu, že integrování je aditivní, dostaneme
globání matici tuhosti K jako součet elementárních matic na
příslušných pozicích.
Algoritmus:
Matici K vytvoříme jako nulovou čtvercovou matici řádu
N0.
Pro každý element e vytvoříme matice Ke
1 a Ke
2 , které
připočteme ke K na pozice (řadkové a sloupcové)
odpovídájící skutečným indexům vrcholů elementu
(příslušných uzlů). Hodnoty pro uzly z ¯Γ1 (známé hodnoty
funkce U) převádíme na pravou stranu rovnice –
připočítáváme k vektoru, který podobně vytváříme z F.
Stejný postup provádíme pro každou stranu S ∈ Γ2.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 11 / 12
Domácí úkol
Pro čtvercovou oblast Ω, jejíž dolní stranu tvoří Γ2 (zbytek Γ1)
s pravidelnou tringulací (viz obrázek) sestavte a vyřešte systém
rovnic pro Laplaceovu rovnici
−∆u = 0
s okrajovou podmínkou u(x, y) = x na Γ1, ∂u
∂n
= 0
(α = β = 0) na Γ2.
Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody 1II rovinné úlohy II 12 / 12