(pu′′
)′′
− (ru′
)′
+ qu = f
[0, l].
c = 0 a c = l, v0 = −1, vl = 1
Okrajová úloha 4. stupně.
na
Okrajové podmínky - dvě z následujících pro :
u(c) = uc (1)
u′
(c) = φc (2)
−vcp(c)u′′
(c) = γcu′
(c) − δc (3)
vc{[p(c)u′′
(c)]′
− r(c)u′
(c)} = αcu(c) − βc (4)
Možné kombinace okrajových podmínek:
(1) a (2), (1) a (3), (2) a (4), (3) a (4).
Aplikace - průhyb nosníku podle Kirchhoffovy teorie.
Podmínky vložení - zaručují existenci a jednoznačnost řešení, existuje jich
ekvivalentních celá řada ( kladná, ostaní funkce a konstanty nezáporné).p
v(x) [0, l].
l
lZ
0
[pu′′
v′′
+ ru′
v′
+ quv]dx + αlu(l)v(l) + γlu′
(l)v′
(l) =
lZ
0
fvdx + βlv(l) + δlv′
(l)
Slabá formulace:
rovnici vynásobíme testovací funkcí a integrujeme přes
Pro okrajové podmínky (1) a (2) v bodě 0 a (3) a (4) v bodě dostaneme:
neboli
a(u, v) = L(v) ∀v.
Zobecněná slabá formulace:
L(v) =
lZ
0
fvdx +
X
i
[βiv(ci) + δiv′
(ci)]
a(u, v) =
lZ
0
[pu′′
v′′
+ ru′
v′
+ quv]dx +
X
i
[αiu(ci)v(ci) + γiu′
(ci)v′
(ci)]
x0, . . . xN
[x0, x1]
kde
Metoda konečných prvků:
Řešení aproximujeme Hermitovým splajnem na uzlech .
Hermitův splajn - kubický splajn s předepsanými funkčními hodnotami
a hodnotami deraivace v krajních bodech intervalu. Např. na je
Pro funkce platí:h, ¯h
hi(xj) = δi,j, h′
i(xj) = 0, ¯hi(xj) = 0, ¯h′
i(xj) = δi,j.
¯h0(x) = (x − x0)(
x − x1
x0 − x1
)2
, ¯h1(x) = (x − x1)(
x − x0
x1 − x0
)2
.
H(x) = H0h0(x) + H1h1(x) + H′
0
¯h0(x) + H′
1
¯h1(x),
h0(x) = [1 − 2
x − x0
x0 − x1
](
x − x1
x0 − x1
)2
, h1(x) = [1 − 2
x − x1
x1 − x0
](
x − x0
x1 − x0
)2
,
Celkem máme 2(N+1) bázových funkcí w0, w1, w2, . . . , w2N+1,
za něž použijeme h0, ¯h0, h1, ¯h1, . . . , hN , ¯hN .
Přibližné řešení je dáno nejen funkčními hodnotami v uzlových bodech,
ale také hodnotami derivací, takže hledáme neznámý vektor
U = (U0, U′
0, U1, U′
1, . . . , UN , U′
N ).
Integrál ve slabé formulaci nahradíme přibližnou formulí, takže řešíme rovnici
X
k
Ik
(pu′′
v′′
+ ru′
v′
+ quv) +
X
i
[αiu(ci)v(ci) + γiu′
(ci)v′
(ci)] =
=
X
k
Ik
(fv) +
X
i
[βiv(ci) + δiv′
(ci)]
Pro numerickou integraci můžeme použít Simpsonovo pravidlo.
Pro funkční hodnotu v uzlovém bodě ovšem potřebujeme tři další neznáme
hodnoty v pravém i levém souseedním intervalu, takže v každé rovnici
je celkem 7 neznámých - matice soustavy je sedmidiagonální.
Simpsonovo pravidlo:
xiZ
xi−1
g(x)dx ≈
hi
6
[g(xi−1) + 4g(xi−1/2) + g(xi)]