Pokročilé numerické metody III
3.10.22 – úvod
Pokročilé numerické metody III 3.10.22 – úvod 1 / 5
Opakování
Základní rovnice
−(pu′
)′
+ qu = f
na intervalu [0, l]
Okrajové podmínky
Dirichletovy:
u(0) = g0, u(l) = gl
Newtonovy:
p(0)u′
(0) = α0u(0) − β0
−p(l)u′
(l) = αl u(l) − βl
Neumannovy:
α0 = 0 nebo αl = 0
Pokročilé numerické metody III 3.10.22 – úvod 2 / 5
Podmínky uložení
zaručují jednoznačnost řešení
a) platí Diricheltova podmínka alespoň v jednom krajním
bodě
b) q(x) ≥ q0 > 0 na části intervalu
c) α0 > 0 nebo αl > 0
Pokročilé numerické metody III 3.10.22 – úvod 3 / 5
Slabá formulace
Rovnici vynásobíme testovací funkcí v a integrujeme.
Pokud v bodě 0 uvažujeme Diricheltovu okrajovou podmínku a
v bodě l Newtonovu okrajovou podmínku, dostaneme
l
0
[pu′
v′
+ quv]dx + αl u(l)v(l) =
l
0
fvdx + βl v(l)
neboli
a(u, v) = L(v)
Pokročilé numerické metody III 3.10.22 – úvod 4 / 5
Zobecnění
Podmínky jsou nejen v krajních bodech, ale i ve vnitřních
bodech intervalu.
a(u, v) =
l
0
[pu′
v′
+ quv]dx +
i
αi u(ci )v(ci )
L(v) =
l
0
fvdx +
i
βi v(ci )
a opět řešíme úlohu
a(u, v) = L(v)
Pokročilé numerické metody III 3.10.22 – úvod 5 / 5