10 Neparametrické testy Dataset: 15-anova-means-skull.txt Datový soubor 15-anova-means-skull.txt obsahuje původní kraniometrické údaje o výšce horní části tváře mužů z nemecké, malajské, čínské, peruánské a bantuské populace. Data pochází z archivních materiálů (Schmitd, 1888). Popis proměnných v datasetu: • pop ... populace (nem - německá, mal - malajská, cin - čínská, per - peruánská, ban - bantuská); • sex ... pohlaví jedince (m - muž); • upface.H .. .výška horní části tváře, přímá vzdálenost mezi body nasion a prosthion (v mm). Příklad 10.1. Wilcoxonův jednovýběrový test Mějme datový soubor 15-anova-means-skull.txt a proměnnou upface.H popisující výšku horní části tváře. Na hladině významnosti a = 0.05 zjistěte, zdaje výška horní části tváře u německé mužské populace větší než u mužské populace Cernjachovské kultury (území dnešní Ukrajiny; mcern = 70.00 mm, ncern = 99). Řešení příkladu 10.1 1 data <- read.delimC•••) # načteni datového souboru 2 upface.HN <- na.omitC data[.......]) # vyber sl. upface.H pro muže nemecké pop. + odstraněni NA 3 n <- ... # rozsah náhodného vyberu vysek horni časti tvare muzu 4 tab <- data.fráme(n = min = max = ...) # souhrnná tabulka výsledku (n, min, max) n mm max 1 19 62 76 Náhodný výběr obsahuje údaje o výšce horní části tváře ................. mužů německé populace. Naměřené hodnoty se pohybují v rozmezí................-................mm. Nyní ověříme normalitu naměřených hodnot. Test normality • H0 : Data...................................... z normálního rozdělení. • Hi : Data...................................... z normálního rozdělení. Hladina významnosti a =................ n =...............je menší / větší než 50 —> Shapiro-Wilkův / Lillieforsův test. [1] 0.04190113 Náhodný výběr výšek horní části tváře mužů německé populace ................................. z normálního rozdělení (p- hodnota = .................je menší / větší než a = 0.05). Protože data nepochází z normálního rozdělení, použijeme na ověření otázky ze zadání neparametrický test. Vhodný neparam. test vybereme podle výsledku testu symetrie. Test symetrie • Hq : Data...................................... z rozdělení symetrického okolo mediánu. • Hi : Data...................................... z rozdělení symetrického okolo mediánu. Hladina významnosti a =................ Miaové test. lawstat::symmetry.testCupface.HN, boot = F, option = 3MGG3)$p.val # Miaove test symetrie [1] 0.06815532 Náhodný výběr výšek horní části tváře mužů německé populace ................................. z rozdělení symetrického okolo mediánu (p-hodnota = ......................je menší / větší než a = 0.05). Protože data pochází ze symetrického rozdělení, použijeme Wilcoxonův jednovýběrový test. 1 62.5 65.5 68.5 71.5 74.5 -2 -1 0 1 2 62.5 65.5 68.5 71.5 74.5 výska hôrni časti tvare (v mm) teoreticky kvantil výska hôrni časti tvare (v mm) Wilcoxonův jednovýběrový test • //• : ....................................... • Hi : ...................................... (.................................................. alternativa). • Hladina významnosti a = ................ 10 x0 <- ... # hodnota xO z HO 11 alpha <- ... # hladina významnosti alpha 12 m <- sum(upface.HN - xO != 0) # počet nenulových rozdilu X - xO 13 wilcox.test C upf ace.HN, mu = xO, conf.int = T, conf.level = 14 alternative = correct = F) # jednovyberovy Wilcoxonův test 15 qsignrankC•••) # dolni hranice krit. oboru Wilcoxon signed rank test data: upface.HN V = 118.5, p-value = 0.02286 alternative hypothesis: true location is greater than 70 95 percent confidence interval: 70.50006 Inf sample estimates: (pseudo)median 72.99994 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 q 1 111 27 28 a) Test kritickým oborem Hodnota testovací statistiky s e = ..................., kritický obor W má tvar ........................................... Protože .............................., Hq .............................. na hladině významnosti a = .................... b) Test intervalem spolehlivosti Interval spolehlivosti má tvar ........................................... Protože .............................., Hq .............................. na hladině významnosti a = .................... c) Test p-hodnotou P-hodnota =...................Protože......................, Hq..............................na hladině významnosti a =................ Interpretace výsledků: Výška horní části tváře u německé mužské populace je / není statisticky významně větší než u mužské populace Cernj achovské kultury. - německa p. • cernjachovska k. 85 80 - 75 - 70 65 2 Dataset: 21-goldman-shells.csv Datový soubor 21-goldman-shells.csv obsahuje osteometrické údaje o délce lýtkové kosti z pravé a levé strany u mužů a žen ze tří japonských populací(Tsugumo Shell Mound, Yoshigo Shell Mound a Yasaki Shell Mound). Data pochází ze souboru dokumentovaných skeletů (Goldman, 2006). Popis proměnných v datasetu: • sex ... pohlaví jedince (m - muž, f - žena); • pop .. .populace (tsg = Tsugumo Shell Mound, yos = Yoshigo Shell Mound, yas = Yasaki Shell Mound); • tibia.LR ... délka lýtkové kosti z pravé strany (v mm); • tibia.LL ... délka lýtkové kosti z levé strany (v mm). Příklad 10.2. Znaménkový jednovýběrový test Mějme datový soubor 21-goldman-shells.csv a proměnnou tibia.LR popisující délku lýtkové kosti z pravé strany. Na hladině významnosti a = 0.05 testujte hypotézu, že délka lýtkové kosti z pravé strany u žen z neolitické japonské populace je stejná jako u žen současné japonské populace (uif = 329.40 mm, Sf = 17.3 mm, rif = 342). Řešení příkladu 10.2 29 data <- read.delim(...) # načteni datového souboru 30 tibia.LRF <- data[... & .......] # vyber proměnné tibia.LR pro zeny z populace Yoshigo S.M. 31 tibia.LRF <- na.omit(...) # odstraněni NA hodnot z vektoru tibia.LRF 32 n <- ... # rozsah náhodného vyberu 33 tab <- data.frameC...) # souhrnná tabulka výsledku (n, min, max) n mm max 1 8 299 331.5 34 35 Náhodný výběr obsahuje údaje o délce lýtkové kosti z pravé strany ................. žen neolitické japonské populace. Naměřené hodnoty se pohybují v rozmezí................-................mm. Nyní ověříme normalitu naměřených hodnot. Test normality • Hq : Data...................................... z normálního rozdělení. • Hi : Data...................................... z normálního rozdělení. Hladina významnosti a =................ n =...............je menší / větší než 50 —> Shapirův-Wilkův / Lillieforsův test. [1] 0.03395534 36 Náhodný výběr délek lýtkových kostí z pravé strany u žen z neolitické japonské populace ................................. z normálního rozdělení (p-hodnota = ...................... je menší / větší než a = 0.05). Protože data nepochází z normálního rozdělení, použijeme na ověření otázky ze zadání neparametrický test. Vhodný neparametrický test vybereme v závislosti na výsledku testu symetrie. Test symetrie • Hq : Data...................................... z rozdělení symetrického okolo mediánu. • Hi : Data...................................... z rozdělení symetrického okolo mediánu. Hladina významnosti a =................ Miaové test. 37 lawstat::symmetry.test(..., boot = option = ...)$p.val # Miaove test symetrie [1] 0.03567783 38 Náhodný výběr délek lýtkových kostí z pravé strany u žen z neolitické japonské populace ................................. z rozdělení symetrického okolo mediánu (p-hodnota = ......................je menší / větší než a = 0.05). Protože data nepochází ze symetrického rozdělení, použijeme na ověření otázky ze zadání znaménkový jednovýběrový test. 3 n-1-1-1— 301.5 319.5 délka lýtkové kosti (v mm) Znaménkový jednovýběrový test • Hn : ....................................... -1.5 -0.5 0.5 1.0 1.5 teoreticky kvantil 301.5 319.5 délka lýtkové kosti (v mm) • Hi alternativa). Hladina významnosti a 39 x0 <- ... # hodnota x0 z HO 40 alpha <- ... # hladina významnosti alpha 41 m <- sum C tibia.LRF - xO != 0) # počet nenulových rozdilu X - xO 42 BSDA::SIGN.test(..., md = xO, alternative = conf.level = .. 43 qbinomC•••) - 1 # hôrni hranice kritického oboru 44 qbinomC ...) - 1 # dolni hranice kritického oboru .) # jednovýberový znaménkový test One-sample Sign-Test data: tibia.LRF s = 1, p-value = 0.07031 alternative hypothesis: true median is not equal to 329.4 95 percent confidence interval: 299.6750 325.7625 sample estimates: median of x 322 Achieved and Interpolated Confidence Intervals: Lower Achieved CI Interpolated CI Upper Achieved CI Conf.Level 0.9297 0.9500 0.9922 L . E.pt 300.000 299.675 299.000 U.E.pt 323.0000 325.7625 331.5000 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 ql q2 10 6 a) Test kritickým oborem Hodnota testovací statistiky s e = ..................., kritický obor W má tvar ........................................... Protože .............................., Hq .............................. na hladině významnosti a = .................... b) Test intervalem spolehlivosti Pro Znaménkový test vynecháváme testování intervalem spolehlivosti. c) Test p-hodnotou P-hodnota =.....................Protože..................., H0..............................na hladině významnosti a =................... Interpretace výsledků: Mezi délkou lýtkové kosti z pravé strany u žen neolitické japonské populace a u žen novověké japonské populace je / není statisticky významný rozdíl. B 350 6 >. 340 1 330 H M oj g 320 £• 310 - cti M S 300 neolitická p. současna p. 4 5 Dataset: 21-goldman-tigara.csv Datový soubor 21-goldman-tigara.csv obsahuje osteometrické údaje (Goldman, 2006) o anteroposteriorním průměru hlavice stehenní kosti z pravé a levé strany u skeletů aljašské populace z kmene Tigara a z kmene Ipituaq. Popis proměnných v datasetu: • sex ... pohlaví jedince (m - muž, f - žena); • pop ... populace (Tigara - aljašská populace z kmene Tigara, Ipituaq - aljašská populace z kmene Ipituaq); • femur.HDL ... anteroposteriorní průměr hlavice stehenní kosti z pravé strany (v mm); • femur.HDR ... anteroposteriorní průměr hlavice stehenní kosti z levé strany (v mm). Příklad 10.3. Wilcoxonův párový test Mějme datový soubor 21-goldman-tigara.csv a proměnnou femur.HDR (resp. femur.HDL) popisující anteroposteriorní průměr hlavice stehenní kosti z pravé (resp. z levé) strany. Na hladině významnosti a = 0.10 zjistěte, zda je u skeletů žen z kmene Ipituaq anteroposteriorní průměr hlavice stehenní kosti z levé strany menší než z pravé strany. Řešení příkladu 10.3 65 data <- read.delimC...) # načteni datového souboru 66 data.F <- data[... & c(.......)] # vyber femur.HDR a femur.HDR pro zeny z kmene Ipituaq 67 data.F <- na.orait(...) # odstraněni NA hodnot 68 femur.HDL <- data.F$... # vyber sloupce femur.HDL z tabulky data.F 69 femur.HDR <- data.F$... # vyber sloupce femur.HDR z tabulky data.F 70 diff <- ... # rozdil vektoru femur.HDL a femur.HRD (v poradi leva - pravá) 71 n <- ... # rozsah náhodného vyberu rozdilu 72 tab <- data.frame C ...) # souhrnná tabulka výsledku (n, min.L, max.L, min.R, max.R) n min.L max.L min.R max.R 1 12 38 44.02 37.85 44.09 73 74 Náhodný výběr obsahuje údaje o anteroposteriorních průměrech stehenních kostí .......... žen z kmene Ipituaq. Naměřené hodnoty z levé strany se pohybují v rozmezí ............-............mm, naměřené hodnoty z pravé strany se pohybují v rozmezí............-............mm. Nyní ověříme normalitu rozdílů hodnot naměřených z levé a pravé strany. Test normality rozdílů na levé a pravé straně • Hq : Rozdíly mezi levou a pravou stranou ...................................... z normálního rozdělení. • H\ : Rozdíly mezi levou a pravou stranou ...................................... z normálního rozdělení. Hl. významnosti a =........... n =..........je menší / větší než 50 —> Shapirův-Wilkův / Andersonův-Darlingův test. [1] 0.02463559 75 Náhodný výběr rozdílů z levé a z pravé strany.................................z normálního rozdělení (p-hodnota =................. je menší / větší než a = 0.10). Protože rozdíly nepochází z normálního rozdělení, použijeme na ověření otázky ze zadání neparametrický párový test. Konkrétní test vybereme v závislosti na výsledku testu symetrie. Test symetrie • Hq : Rozdíly mezi levou a pravou stranou ...................................... z rozdělení symetrického okolo mediánu. • Hi : Rozdíly mezi levou a pravou stranou ...................................... z rozdělení symetrického okolo mediánu. Hladina významnosti a =................ Miaové test. 76 lawstat::symmetry.test(diff, boot = option = ...)$p.val # Miaove test symetrie rozdilu [1] 0.475678 77 Náhodný výběr rozdílů z levé a z pravé strany ................................. z rozdělení symetrického okolo mediánu (p- hodnota = ................. je menší / větší než a = 0.10). Protože rozdíly pochází z rozdělení symetrického okolo mediánu 2:0.50 = 0.04, použijeme na ověření otázky ze zadání Wilcoxonův párový test. 5 Wilcoxonův párový test -2.48 -0.80 0.88 rozdil průměru L - P (v mm) -1.5 -0.5 0.5 1.5 teoreticky kvantil -2.48 rozdil průměru -0.80 0.88 L - P (v mm) • Hn alternativa). Hladina významnosti a 78 z0 <- ... # hodnota zO z HO 79 alpha <- ... # hladina významnosti alpha 80 m <- sumCdiff - zO != 0) # počet nenulových rozdilu Z - 81 wilcox.test(diff, mu = zO, conf.int = T, alternative = 82 qsignrankC•••) - 1 # horni hranice kritického oboru zO conf.level = correct = F) Wilcoxon signed rank test data: diff V = 43, p-value = 0.6232 alternative hypothesis: true location is less than 0 90 percent confidence interval: -Inf 0.3199681 sample estimates: (pseudo)median 0.04502772 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 q 1 21 a) Test kritickým oborem Hodnota testovací statistiky s e = ..................., kritický obor W má tvar .............................., Hq .............................. na hladine významnosti a = ... Protože b) Test intervalem spolehlivosti Interval spolehlivosti má tvar ..... na hladině významnosti a = ....... Protože .............................., Hq c) Test p-hodnotou P-hodnota =.......... . Protože . ., H o..............................na hladině významnosti a ■■ Interpretace výsledků: Anteroposteriorní průměr hlavice stehenní kosti u žen z aljašské populace z kmene Ipituaq je / není statisticky významně menší z levé strany než z pravé strany. pravá strana leva strana Alternativní syntaxe funkce wilcox.test() pro použití párového testu: 96 wilcox.test C femur.HDL, femur.HDR, 97 alternative = 'less 1 . paired = T, conf.int correct = F) = T, conf.level = 0.95. 6 Dataset: 19-more-samples-correlations-skull.txt Datový soubor 19-more-samples-correlations-skull.txt obsahuje údaje o šířce nosu a o interorbitální šířce mužů z německé, malajské, čínské, peruánské a bantuské populace. Data pochází z archivních materiálů (Schmitd, 1888). Popis proměnných v datasetu: • pop ... populace (nem - německá, mal - malajská, cin - čínská, per - peruánská, ban - bantuská); • sex ... pohlaví jedince (m - muž); • nose.B ... šířka nosu (v mm); • intorb.B ... interorbitální šířka (v mm). Příklad 10.4. Wilcoxonův dvouvýběrový test Mějme datový soubor 19-more-samples-correlations-skull.txt a proměnnou (intorb.B) popisující interorbitální šířku. Na hladině významnosti a = 0.10 otestujte, zdaje interorbitální šířka u mužů bantuské populace menší nebo rovna interorbitání šířce u mužů peruánské populace. Řešení příkladu 10.4 98 data <- read.delim(...) # načteni datového souboru 99 intorb.BB <- na.omit(data[.......]) # vyber intorb.B múzu bantuské populace + odstraněni NA 100 intorb.BP <- na.omit(data[.......]) # vyber intorb.B muzu cinske populace + odstraněni NA 101 nl <- length ( ...) # rozsah náhodného vyberu bantuské populace 102 n2 <- length ( ...) # rozsah náhodného vyberu cinske populace nl n2 1 14 46 103 104 V rámci tohoto příkladu pracujeme se...........................náhodnými výběry. První výběr obsahuje údaje o interorbitální šířce..............mužů..............................populace, druhý výběr obsahuje údaje o interorbitální šířce.............. mužů..............................populace. Nyní ověříme normalitu naměřených hodnot (zvlášť v každém výběru!!!). Test normality naměřených hodnot pro muže bantuské populace • Hq : Data...................................... z normálního rozdělení. • Hi : Data...................................... z normálního rozdělení. Hladina významnosti a =................ n =...............je menší / větší než 50 —> Shapirův-Wilkův / Lillieforsův test. [1] 0.4537105 105 Náhodný výběr interorbitálních šířek mužů bantuské populace ................................. z normálního rozdělení (p- hodnota = ......................je menší / větší než a = 0.10). Test normality naměřených hodnot pro muže peruánské populace • Hq : Data...................................... z normálního rozdělení. • Hi : Data...................................... z normálního rozdělení. Hladina významnosti a =..............n =............je menší / větší než 50 —> Shapirův-Wilkův / Lillieforsův test. [1] 0.08481863 106 Náhodný výběr interorbitálních šířek mužů peruánské populace ................................. z normálního rozdělení (p- hodnota = ...................... je menší / větší než a = 0.10). Protože naměřené hodnoty interorbitální šířky mužů peruánské populace nepochází z normálního rozdělení, použijeme na otestování hypotézy ze zadání neparametrický Wilcoxonův dvouvýběrový test. 7 21 25 29 interorb. sirka - bantuska p. Wilcoxonův dvouvýběrový test • H0 : ....................................... • //: : ...................................... (■ • Hladina významnosti a = ........ T T -i o i teoreticky kvantil 28 26 24 22 20 r /S m o oo 1 1 1 -2 -1 0 1 1 1 2 interorb. sirka - peruánská p. alternativa). teoreticky kvantil 107 x0 <- ... # hodnota xO z HO 108 alpha <- ... # hladina významnosti alpha 109 wilcox.test(intorb.BB, intorb.BP, conf.level = altenative = 110 exact = F) # Wilcoxonův dvouvyberovy test 111 qwilcox(...) # dolni hranice kritického oboru conf.int = Wilcoxon rank sum test with continuity correction data: intorb.BB and intorb.BP W = 504.5, p-value = 0.0006284 alternative hypothesis: true location shift is greater than 0 90 percent confidence interval: 1.999966 Inf sample estimates: difference in location 2.999984 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 q 1 396 a) Test kritickým oborem Hodnota testovací statistiky s e = ..................., kritický obor W má tvar ........................................... Protože .............................., Hq ..............................na hladině významnosti a = .................... b) Test intervalem spolehlivosti Interval spolehlivosti má tvar ..... na hladině významnosti a = ....... Protože .............................., Hn c) Test p-hodnotou P-hodnota =.....................Protože..................., Hq..............................na hladině významnosti a ■■ Interpretace výsledků: Interorbitální šířka u mužů bantuské populace je / není statisticky významně menší než u mužů peruánské populace. T T bantuska peruánská populace 8 Dataset: 23-3D-sken.txt Datový soubor 23-3D-sken.txt obsahuje hodnocení programového softwaru pro 3D skenování lidského těla nabízeného 12 softwarovými firmami. Hodnotitelem byl jednak tým IT profesionálů, který posuzoval výpočetní náročnost, implementaci a softwarové zpracování programu, a jednak tým antropologů, který posuzoval uživatelskou přívětivost softwaru a rozsah nabídky poskytovaných funkcí. Oba týmy seřadily programy od nejhoršího (1) po nejlepší (12). Popis proměnných v datasetu: • rank.IT .. .pořadí programového vybavení z hlediska hodnocení IT týmu; • rank.ant ... pořadí programového vybavení z hlediska hodnocení antropologického týmu. Příklad 10.5. Spearmanův pořadový exaktní test o nezávislosti Mějme datový soubor 23-3D-sken.txt, proměnnou rank.IT popisující hodnocení IT týmu a proměnnou rank.ant popisující hodnocení týmu antropologů. Na hladině významnosti a = 0.01 zjistěte, zda mezi hodnocením IT týmu a antropologického týmu existuje přímá závislost. Řešení příkladu 10.5 125 data <- read.del im C 323-3D-sken.txt3 , sep = , header = F, row.names = 1, 126 col.names = c('', paste C 3sf3 , 1:12, sep = '_'))) ) 127 it <- as.numeric(data[1, ]) # vyber hodnoceni IT tymu a zmena na proměnnou typu numeric (cisla) 128 ant <- as.numericC data[2, ]) # vyber hodnoceni ANT tymu a zmena na proměnnou typu numeric (cisla) 129 n <- ... # 12; rozsah náhodného vyberu Náhodný výběr obsahuje údaje o pořadí ................. programových vybavení stanovené IT týmem a týmem an- tropologů. Pořadí jsou typickým příkladem ordinálních dat. Proto otázku ze zadání ověříme pomocí neparametrického testu. Protože rozsah náhodného výběru n = 12, je menší / větší než 20, použijeme Spearmanův exaktní test o nezávislosti. 130 131 132 133 Spearmanův exaktní test o nezávislosti • //• : ....................................... • Hi : ...................................... (.................................................. alternativa). • Hladina významnosti a = ................ alpha <- ... # hladina významnosti source C ...) # načteni souboru 3Sbirka-AS-1-2018 - funkce-II.R 3 (resp. .txt) Spearman.testCit, ant, alternative = conf.level = exact = T) # Spearmanův ex. test q <- SuppDists::qSpearmanC•••) # horni hranice kritického oboru rS sE p.value 1 0.714537 0.714537 0.005316266 q 1 0.6678322 134 135 136 137 a) Test kritickým oborem Hodnota testovací statistiky s e = ..................., kritický obor W má tvar ........................................... Protože .............................., Hq .............................. na hladině významnosti a = .................... b) Test intervalem spolehlivosti Pro Spearmanův exaktní test vynecháváme testování intervalem spolehlivosti. c) Test p-hodnotou P-hodnota =.....................Protože..................., H0..............................na hladině významnosti a =.................. Interpretace výsledků: Mezi hodnocením IT týmu a antropologického týmu existuje / neexistuje přímá lineární / pořadová závislost. Mezi hodnocením obou týmů existuje ........................ stupeň ................................................ závislosti (rs =....................)• Závěr testování lze také vyložit tak, že čím vyšší je úroveň programu z hlediska implementace, tím nižší / vyšší je zpravidla také jeho uživatelská přívětivost. 9 n i i i i r 2 4 6 8 10 12 hodnoceni IT tymu Dataset: 22-kralik-WHR.csv Datový soubor 22-kralik-WHR.csv obsahuje údaje o věku a poměru obvodu pasu a boků u dětí ve věku do 16 (Králík, nepublikovaná data). Popis proměnných v datasetu: • sex ... pohlaví dítěte (m - muž, f - žena); • age ... věk dítěte (v letech); • WHR ... poměr obvodu pasu a boků (bez jednotky). Příklad 10.6. Spearmanův pořadový asymptotický test o nezávislosti Mějme datový soubor 22-kralik-WHR.csv, proměnnou age popisující věk dětí a proměnnou WHR popisující poměr obvodu pasu a boků. Na hladině významnosti a = 0.05 testujte hypotézu o nezávislosti věku a poměru obvodu pasu a boků u chlapců starších deseti let (včetně). Řešení příkladu 10.6 138 data <- read.delim(...) # načteni datového souboru 139 data.M <- data[... & .......] # vyber proměnných age a WHR pro muze ve veku od 10 let (age >= 10) 140 data.M <- ... # odstraněni NA hodnot 141 age . M <- ... # vyber proměnné age z tabulky data.M 142 WHR.M <- ... # vyber proměnné WHR z tabulky data.M 143 n <- ... # rozsah náhodného vyberu (napr. délka vektoru age.M) 1 121 144 145 Náhodný výběr obsahuje údaje o věku a poměru obvodu pasu a boků ................. chlapců starších deseti let. Nyní ověříme dvourozměrnou normalitu naměřených hodnot. Test dvourozměrné normality naměřených hodnot • Hq: Data................................z dvourozměrného normálního rozdělení. • H\: Data................................z dvourozměrného normálního rozdělení. Hladina významnosti a =................ Mardiův test. Test Statistic p value Result 1 Mardia Skewness 11.6015195834152 0.0205740346585907 NO 2 Mardia Kurtosis 3.67511531498358 0.000237742009634667 NO 3 MVN NO 146 147 148 149 Náhodný výběr věku a poměru obvodu pasu a boků u chlapců starších deseti let ................................. z dvou- rozměrného normálního rozdělení. Protože data nepochází z dvourozměrného normálního rozdělení, použijeme neparametrický test. Protože rozsah náhodného výběru n = 121 je menší / větší než 20, použijeme Spearmanův asymptotický test o nezávislosti. 10 Spearmanův asymptotický test o nezávislosti • //• : ....................................... • Hi : ...................................... (.................................................. alternativa). • Hladina významnosti a = ................ 150 alpha <- ... # hladina významnosti alpha 151 source ( . . .) # načteni souboru 3Sbirka-AS-1-2018 - funkce-II.R 3 152 Spearman.test C age.M, WHR.M, alternat ive = conf.level = 153 ql <- qnormC•••) # hôrni hranice kritického oboru 154 q2 <- qnormC•••) # dolni hranice kritického oboru (nebo .txt) . . , exact = F) # Spearmanuv as. rS sA p.value 1 -0.2751465 -3.014078 0.002577612 155 156 ql q2 1 -1.959964 1.959964 157 158 a) Test kritickým oborem Hodnota testovací statistiky sa = ..................., kritický obor W má tvar ........................................... Protože .............................., Hq .............................. na hladine významnosti a = .................... b) Test intervalem spolehlivosti Pro Spearmanův asymptotický test vynecháváme testování intervalem spolehlivosti. c) Test p-hodnotou P-hodnota =.......................Protože.................., H0..............................na hladině významnosti a =............... Interpretace výsledků: Mezi věkem a poměrem obvodu pasu a boků u chlapců starších deseti let existuje / nexistuje statisticky významná lineární / pořadová závislost. Mezi věkem a poměrem obvodu pasu a boků u chlapců starších deseti let existuje........................ stupeň ................................................ závislosti (r$ =....................)• 11