2. domácí úkol - MIN101 - podzim 2021 - odevzdat do 19.10.2021
Mějme čtverec ABCD, kde A = [—6,2] a C = [0,6], přičemž AC je jeho úhlopříčka. Dále uvažme přímku
p : x + ay — 10 = 0
s parametrem a G IR.
(a) Určete a G IR tak, aby přímka p rozdělila čtverec ABCD na dvě části stejného obsahu.
(b) Určete a G IR tak, aby přímka p rozdělila čtverec ABCD na dvě části stejného obvodu.
(c) Určete a G IR tak, aby přímka p protnula dvě sousední strany čtverce ABCD pod stejným úhlem.
Řešení: Lehce dopočítáme, že B = [—1,1] a D = [—5,7]. Přímka p prochází bodem [10,0] a prochází bodem A pro a = 8, bodem B pro a = 11, bodem C pro a = | a bodem Z) pro a = y. Tedy nás zajímá a G [|, 11], ale z obrázku (nakreslete si ho) je vidět, že pro části (a) a (b) se můžeme omezit na p G [y,8]. Též je vidět, že v obou těchto případech dostaneme stejnou hodnotu a.
(a,b) Potřebujeme průsečíky přímky p se stranami AD a BC, výpočtem zjistíme, že to jsou body
[-6,2]+ ^(1,5)   a      [-1,1] + ^(1,5).
Délka strany čtverce je v 26, pro stejný obsah či obvod obou částí tedy potřebujeme
"^(1,5)11 = ^-11^(1,
5íH
z čehož spočteme a = y G [y, 8]. (c)  Směrový vektor přímky p je (a, —1), tedy podmínka stejných úhlú nám říká, že
|((g,-l),(l,5))| |((a,-l),(-5,l))| ||(a,-l)||. ||(1,5)| ||(a,-l)|H|(-5,l)ľ
Toto má dvě řešení a G {f, — f}, která ale neleží v intervalu [§,11]. Tedy úloha nemá řešení.