3. domácí úkol - MIN101 - podzim 2021 - odevzdat do 12.11.2021
Nechť M je množina všech kružnic v rovině, které protínají osu y. Zadáme-li kružnici se středem [x,y] a poloměrem r jako trojici (x,y,r), pak
M = {(x, y, r) I x, y, r G M, r > \x\}.
Na množině M uvažujme relaci p danou vztahem (a1,b1,r1)p(a2,b2,r2)
(a1,b1,r1)p(a2,b2,r2)        r\-r\ = a\- a22.
Ukažte, že se jedná o relaci ekvivalence a geometricky popište rozklad množiny M na třídy ekvivalence.
Geometrickým popisem rozumíme popis pomocí vlastností, které využívají pojmy jako jsou body, přímky, kružnice, vzdálenosti, úhly, obsahy apod.
Řešení: Po úpravě
(au bu r1)p(a2, b2,r2) ^> r\ - a\ = r\ - a\
se lehce ukáže, že p je ekvivalence. Třída rozkladu [(a1; 61; ri)]p je plně určena hodnotou c := rf — af > 0, tj. množina M/p je bijektivní s IR>o- Pro popis třídy [(a1; 61; ri)]p potřebujeme zjistit, které kružnice (x,y,r) splňují r2 — x2 = c. Z obrázku (a po chvíli přemýšlení) se zjistí, že kružnice (x,y,r) protíná osu y v bodech, jejichž vzdálenost je 2\/r2 — x2 = 2yfč. Tedy M/p je rozklad množiny M na třídy kružnic, jejichž průnik s osou y je úsečka stejné délky.