4. domácí úkol - MIN101 - podzim 2021 - odevzdat do 29.11.2021
V prostoru IR4 uvažme vektory
= (1,-1,0,0),   v2 = (1,1,2,2),   v3 = (1,1,1,-1),   v4 = (2,2,-1,-1) a lineární zobrazení <p> : M4 —>• IR4, které splňuje
<p{vi) = v2,  f{v2) = v3,  (p(v3) = v4,   ip(vA) = vx.
(a) Určete vlastní čísla a vektory zobrazení <p>. Dále napište IR4 jako přímý součet vlastních podprostorů dimenze nejvýše 2.
(b) Určete vlastní čísla a vektory zobrazení ip2 = ipotp. Dále zobrazení ip2 popište geometricky.
(c) Určete obraz (p222(vi).
Geometrickým popisem rozumíme popis pomocí vlastností, které využívají pojmy jako jsou přímky, roviny, vektorové podprostory a dále, symetrie, kolmé projekce, rotace apod.
Řešení:
(a) Přímo z zadání zobrazení <p> lehce uhodneme, že u\ := V\ + v2 + v3 + v 4 je vlastní vektor s vlastním číslem 1 a u2 := V\ — v2 + v3 — V4 je vlastní vektor s vlastním číslem —1. Obecněji, v bázi a = (v1,v2,v3,v4:) máme
/ 0
1 0
i\
o o
U této (ortogonální) matice lehce spočteme vlastní čísla ilaiia najdeme vlastní vektory (ui)a = (1) 1) 1) 1) a (^2)« = (1) —1) 1) — 1); další jednorozměrné vlastní podprostory zobrazení ip nemá. Lze určit komplexní vlastní vektory pro ±i a následně najít reálnou bázi tohoto dvourozměrného podprostorů. Alternativně lze využít ortogonality matice (<p)a,a a použít ortogonální doplněk k vektorům (1,1,1,1) a (1,-1,1,-1). Tento je generovaný např. vektory
(1,0,-1,0) =: Ma a tj. u3 = v\ — v3 a U4 = v2 — v 4. Tedy
(0,1,0,
=: (uA)c
v3 a U4 = 1
£4 = (^1 + v2 + V3 + V 4) © (vi - v2 + v3 - V4) © (vi - v3, v2 - V4).
(b) Rovnou vidíme, že ip2 má vlastní vektory wi = V\ + v3 a w2 = v2 + V4 s vlastním číslem 1
a vlastní vektory t/73 s maticí
V\ — v3 a W4 = ľ2 — v4 s vlastním číslem —1. Alternativně lze začít
(^
/o
0
1
o\
1 o
a najít její vlastní vektory
(1, 0,1, 0) = (Wl)a,    (0,1, 0,1) = (w2)a,    (1, 0, -1,0) = (w3)a,    (0,1, 0, -1) = (w4) Zobrazení ^2 je tedy symetrií podle dvourozměrého podprostoru {wi,w2). (c) Z předchozího vidíme, že     =        + W3). Tedy
^222M = ^222(|K +    = H(^)mK) + (¥>2)1UM1 = lk - H = «3.