5. domácí úkol - MIN101 - podzim 2021 - odevzdat do 24.12.2021
V prostoru IR4
uvažme přímky
Pi = [1,2,0,-1]+n(l, 1,2,
0)   a p2
[0,3,-1,2]+r2(-l,0,-1,1
a dále body
A =[2,3,1, a]   a B
1,6,26,-5]
s parametry a, b E R.
(a) Určete a G IR tak, aby existovala příčka q mimoběžek p\ a p2 procházející bodem A. Dále pro všechy takové parametry a určete průnik příčky s přímkami p\ a p2, tj. body P\ := pidq a P2 := p2 PI q.
(b) Určete 6 G IR tak, aby existovala příčka q mimoběžek p\ a p2 procházející bodem B. (Zde není nutné určovat průsečíky příčky s přímkami p\ a p2, ale odpověď je třeba zdůvodnit.)
V částech (a) i (b) může existovat jedno, více nebo naopak žádné řešeni. Je-li řešeni více, najděte všechna z nich.
Řešení: Přímky p\ a p2 určují nadrovinu o := p\ + p2, ve které body A a, B nutně musí ležet. Standardním výpočtem se zjistí, že o je určena rovnicí — 2x2 + x3 + rr4 + 5 = 0.
(a) Dosazením bodu A do rovnice pro a se zjistí, že a = 0. Lehce se zjistí, že A E p2, tedy P2 = A a za P\ lze zvolit kterýkoliv bod na bod na p\.
(b) Dosazením bodu B do rovnice pro o se zjistí, že B E a pro každé 6 G IR. Tedy genericky existovat příčka bude, ale ne vždy - příčka nebude existovat, jestliže buď p\ + B \ \ p2 nebo p2 + B || p\. V prvním případě generují vektory (1,1, 2, 0), (—1, 0, —1,1) a B— [1, 2, 0,-1] = (0,6 — 2,2,6 — 4) dvoudimenzionální podprostor, z čehož se dopočítá 6 = —2. V druhém případě generují vektory (1,1,2,0), (-1,0,-1,1) a B - [0, 3,-1, 2] = (1,6-3,26 + 1,-7) dvoudimenzionální podprostor, z čehož se dopočítá 6 = —3. Tedy příčka procházející bodem B existuje pro každé 6 G IR \ {—2, —3}.