3. domácí úkol - MIN101 - podzim 2022 - odevzdat do 2.12.2022
Mějme soustavu rovnic
x\ + ax2 + 2bx = 6 + 2, —x\ + bx + 2ax^ = 3a, —x\ + (—a + b — l)x2 — 2x% = a — 2 kde a, b G BL Určete, všechny hodnoty parametrů a a b, pro které tato soustava
a) má právě jedno řešení,
b) má nekonečně mnoho češení, b) nemá žádné řešení.
Řešení: Nejprve upravíme matici soustavy
1 a	2b	6 + 2 >	\
-1 b	2a	3a	
-1   -a + b-1	-2	a-2 j	I
1     a 26 0  a + b  2(a + 6) 0  6-1 2(6-1)
Odstraněním posledního sloupce dostaneme matici s nulovým determinantem, tj. soustava nemůže mít právě jedno řešení. Dále také hned vidíme, že případ nekonečně mnoha řešení se dvěma volnými parametry - tj. případ, kdy druhý i třetí řádek jsou identicky nulové -nastane pro 6 = 1 aa = — 1.
Nekonečně mnoho řešení dostaneme, jestliže se druhý a třetí řádek liší o násobek, tj. |^ = . Až na případy 6=1 nebo a = —6 toto ekvivalentně znamená
•ja+b+2 a+b
(a + b)2 = (6- l)(3a + 6 + 2)
3a
6(a
-1 V6
neboť a2 + 3a + 2 = (a + l)(a + 2). Je-li 6=1, dostaneme nekonečně mnoho řešení pro a + 6 = 0 (ze třetího řádku), tj. a = —1; je-li a = —6, dostaneme nekonečně mnoho řešení pro a = — 1 (z druhého řádku), tj. 6 = 1. Tedy zadaná soustava rovnic
• má nekonečně mnoho řešení, jestliže a = — 1 nebo 6 = a + 2,
• nemá řešení, jestliže a / -1 +