1. vnitrosemestrální písemka - MIN 101 - podzim 2022 - 1. 11. 2022
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4.5 bodu) V rovině IR2 uvažujme body A, B, R, počátek O a přímku p,
A = [8, 3],   B =[2,5],   i? =[9,7],   O =[0,0]   a  p : [7, -4] + t(2, 3).
a) Určete obsah trojúhelníku ABO.
b) Nechť g je přímka procházející body A a B. Určete průsečík přímek p a q.
c) Určete body C a, D tak, aby AB byla strana čtverce ABCD, který celý leží v 1. kvadrantu.
d) Určete bod P na úsečce AB, jehož vzdálenost od bodu R je rovna 5. V částech c) a d) určete všechna řešení, existuje-li jich více.
2. (3.5 bodu) Skupina osmi spolužáků (čtyři dívky a čtyři chlapci) chce jít do kina, mezi nimi jsou Petr, Honza a Eva. V kině si všichni sednou do stejné řady, ve které je osm sedadel. Do sálu přijdou až za tmy, takže se do této řady rozmístí náhodně. Uvažme následující jevy:
• Jev A: Alespoň jeden z dvojice Petr, Honza sedí na krajním sedadle.
• Jev B: Mezi Petrovými sousedy není Honza.
• Jev C: Petr si sedne vedle Evy.
• Jev D: Žádné dvě dívky nesedí vedle sebe.
Určete pravděpodobnost jevů A, B, C a D.
Poznámka : Výsledek stačí napsat pomocí zlomků a faktoriálů, tj. není třeba ho dále upravovat.
3. (2 body) Je dána relace p na množině M. Ve všech případech rozhodněte, zda se jedná o relaci ekvivalence. Je-li tomu tak, popište třídy rozkladu množiny M podle relace p.
a) M = R2 a
b) M = M2\{(0,0)} a
c) M = M2\{(0,0)} a
Zde h{ ) označuje hodnost matice. Připomeňme, že matice 2x2 má hodnost 1 právě, když po úpravě na schodovitý tvar bude mít pouze jeden řádek.
(a, b)p(c, d) •<=>- det
a o c d
(a, b)p(c, d) -í=?- h
a b c d
1.
CL C
(a, b)p(c, d)        det[b   d ) ŕ °-
Řešení a bodování:
[4.5 bodu]
a) [1 bod] Hledaný obsah S je roven
S4drt(l!) 1 = ^(2 !|)l = 5Ko-oi = ".
b) [1 bod] Potřebujeme řešení soustavy
[7,-4] + í(2, 3) = [8,3] + s(-6,2), což je t = 2 a s = -\. Průsečík je tedy [7,-4] +2(2,3) = [11,2]..
c) [1.5 bodu] Platí AB = (—6,2), tedy směr kolmý na AB je dán vektorem n = (2,6), kde ||n|| =
Jelikož AB má být strana čtverce, nutně buď C = B + na,D = A + n nebo C = B — n a D = A — n (rozmyslete si obrázek!). V prvním případě máme
C* = [2,5]+ (2,6) = [4,11]   a   D = [8, 3] + (2, 6) = [10, 9],
a tedy všechny body A, B, C i D leží v 1. kvadrantu, [0.1b]. V druhém případě máme D = [8, 3] — (2, 6) = [6, —3], tj. bod D by se ocitl mimo 1. kvadrant. Existuje tedy jediné řešení.
d) [1 bod] Bod P je tvaru P = [8, 3] +r(-6, 2), kde 0 < r < 1, [0.1b], přičemž chceme ||AP|| = 5. Tedy
5 = ||fíP|| = ||(-1 - 6r,-4 + 2r)|| = y/(-í - 6r)2 + (-4 + 2r)2 = \/40r2 - 4r + 17.
Toto vede na rovnici 10r2 — r — 2 = 0, [0.1b], která má kořeny 5 a — |. Pouze řešení ^ vyhovuje podmínce 0 < \ < 1, tedy jediným řešením je bod P = [8, 3] + ^(—6, 2) = [5, 4].
[3.5 bodu] Jev A, [1 bod]: Pro případ, kdy Petr a Honza sedí na krajních sedadlech, existuje 2(8 — 2)! možností. Případů, kde právě jeden z dvojice Honza, Martin je na krajním sedadle, je 4 • 6 • 6!. Tedy
= 2-61+4-6-6! = 13 1 ' 8! 28'
J ev B, [1 bod]: Sedí-li Petr na jednom z krajních sedadel, pak je 6 • 6! možností. Sedí-li Petr na některém pevně zvoleném sedadle „uvnitř", máme 6 • 5 • 5!. Tedy
= 2 -(6 -6!) + 6 -(6 -5 -5!) = 3 1  ' 8! 4'
Jiná úvaha: doplněk Bc jevu B znamená, že Petr a Honza sedí vedle sebe. Tedy P(BC) = P(C) = 2'g,6! = ^ (viz úvaha níže).
Jev C, [0.5 bodu]: Dvojici Petr + Eva chápeme jako jednu osobu, tedy
Jev D, [1 bod]: Máme dvě možnosti pro „střídavé" rozmístění CDCDCDCD nebo DCDCDCDC, tedy celkem 2 • (4!)2 rozesazení. Dále jsou možné případy, kde je právě jedna dvojice sousedních chlapců, např. DCCDCDCD. Pak jsou nutně dívky na krajních sedadlech a pro umístění dvojice sousedních chlapců máme 3 možností. Celkem tedy
1   ' 8! 14
[2 body]
a) [0.5 bodu]: Relace p není tranzitivní: např. (0, 0)p(l,l) a (0, 0)p(l,2), ale (1,1)^/(1,2).
b) [1 bod]: Relace p je ekvivalence, přičemž třída rozkladu určená prvkem (a, b) je
[(a, b)]p = {(ka, kb)\keR,k^ 0},
což lze interpretovat jako přímku v rovině procházející počátkem, ze které počátek odstraníme.
c) [0.5 bodu]: Relace p není reflexivní: např. (1,1)//(1,1).