1. termín závěrečné zkoušky - MIN101 - podzim 2022 - 3. 1. 2023
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) V prostoru IR3 určete bod A E p a bod B E q tak, že přímka procházející body A a B je kolmá k přímkám p a q:
p : [5, -3, 8] + r(2,1,3),       q : [-3, 9, 7] + s(2, -2, -3).
2. (5 bodů) Nechť ip je lineární zobrazení prostoru IR3 do sebe, které je projekcí na rovinu x + 2y + z = 0. Určete matici zobrazení ip ve standardní bázi.
3. (5 bodů) Určete explicitní formuli pro posloupnost celých čísel, která je dána následující rekurentní formulí a počátečními podmínkami:
xn+2 = ^(xn+l ~ xn) +2,     Xq = 2,  X\ = 8 .
4. (5 bodů) Velká firma poskytuje všem svým 220 zaměstnancům služební notebook. Díky exkluzivní smlouvě se značkovým dodavatelem se notebooky vždy o prázdninách zkontrolují a notebooky s vážnější závadou nahrazují novými notebooky. Statisticky bylo zjištěno, že z notebooků, které jsou v provozu jeden rok, je závadných 20% a z notebooků, které jsou v provozu dva roky, je závadných 50%.
Firma se nejprve rozhodla, že bude používat každý notebook nejvýše tři roky, tj. po třech letech vyřadí všechny notebooky. Dodavatelská firma tedy nahradí závadné notebooky po jednom a dvou letech a všechny notebooky po třech letech. Určete, jak vypadá věková struktura notebooků ve firmě po dlouhodobém vývoji. Dále určete, kolik lze očekávat, že se notebooků o letošních prázdninách vymění za nové.
Příklad řešte jako úlohu na Leslieho populační model pro populaci notebooků, přičemž dokažte primitivnost použité matice. (Ale poznamenejme, že příklad lze řešit i jako Mar-kovův proces.)
Řešení a bodování
1. [5 bodů] Označme v = (a, b, c) směrový vektor v = AÉ . Vektor v je kolmý na vektory (2,1, 3) a (2, —2, —3), [0.5b]. Podmínky d 1 (2,1,3) aw 1 (2, —2, —3) jsou ekvivalentní rovnicím 2a+b+3c = 0 a 2a — 2b—3c = 0, tedy v = r(l,4,-2) pro vhodné t e R, [lb]. Platí A = [5,-3,8] + r(2,1,3) (neboť A e p) a S = [-3, 9, 7] + s(2, -2, -3) (neboť B e g). Jelikož B = A + ŕ(l, 4, -2) (neboť u = AB), dostáváme
[5, -3, 8] + r(2,1, 3) + í(l, 4, -2) = [-3, 9, 7] + a(2, -2, -3),
což znamená
r(2,1, 3) + í(l, 4, -2) - a(2, -2, -3) = [-8,12, -1], [lb]. Maticový zápis této soustavy rovnic je
[0.5b], její řešení je r = -2, t = 2 a s = 3, [lb]. Tedy A = [5,-3,8] - 2(2,1,3) = [1,-5,2], a B = [-3,9,7]+3(2,-2,-3) = [3,3,-2], [lb].
2. [5 bodů] Označme v\ = (1,2, 1) normálový vektor roviny a dále zvolíme dva vektory kolmé k v\\ např. i>2 = (1, —1,1) a i>3 = (2, —1,0), [lb za výběr vhodné báze]. V bázi a = (^1,^2,^3) ma zobrazení ip matici
/O   0 0^
(<p)a,a =010
[lb]. Použijeme vztah (<y3)£í£ = {id)CtCC ■ (f)a,a ■ (iď)a,e, [0,5 bodu], kde pro matici (iď)£,a máme
(id)e,a =
[0.5b]. Matice {id)a^ se určí jako matice inverzní k matici (id)CtCC, [0.5b za úvahu], tj. [lb]. Celkem dostaneme
/I      1 I \ / 5 -I -i\
/6 3 6\ /6 3 6\
! _l _i s ! _i 1 _i!
6        3 6 3 3 3
2 u 2/ \    6 3 6
[lb].
3. [5 bodů] Charakteristický polynom je A2 - 4A + 4 = (A - 2)2, [0.5b], proto xn = A2n + Bn2n, A, B e M je obecné řešení zhomogenizované rovnice, [lb]. Partikulární řešení nehomogenní rovnice je konstanta 2, tedy obecné řešení zadané rovnice je xn = A2n + Bn2n + 2, A, B e R, [1.5b]. Dále hledáme tyto konstanty tak, aby vyhovovaly počátečním podmínkám xq = A + 2 = 2&xi = 2A + 2B + 2 = 8 (pro n = 0) a 2a + 2b = 8, [lb]. Odtud A = 0 a S = 3, tj. xn = 3n2™ + 2, [lb].
4. [5 bodů] Matice Leslieho modelu je v tomto případě
0
0
1
[1.5b], kde A4 je pozitivní, tj. A je primitivní, [0.5b]. Dominantní vlastní číslo je 1, což lze ukázat přímým výpočtem nebo úvahou (celková populace dle zadání je stabilní) nebo z toho, že zadaná matice je stochastická, [0.5b]. Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu 1 je v = (5,4,2), [lb]. Jelikož 5 + 4 + 2 = 11, rozložení populace notebooků ve firmě s 220 zaměstnanci bude dáno vektorem -=y=pt> = (100, 80,40). Nových notebooků tedy bude 100 • \ + 80 • \ + 40 = 100, [1.5b].