2. termín zkoušky - MIN101 - podzim 2022 - 24. 1. 2023
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (5 bodů) V prostoru IR3 je dána rovina p a přímka 7r,
p : [-2, -3, 0] + r(l, 1, -4) +      -1,0),       tt : [0,1, 2] + í(l, 0,1). Dále je dán bod B = [3,4,5] a počátek O = [0, 0, 0].
a) Najděte nějaký vektor n, který je kolmý na rovinu p.
b) Určete parametrický popis roviny a, která je rovnoběžná s rovinou p, přičemž vzdálenost těchto dvou rovin je 6.
c) Rozhodněte, zda bod B leží v rovině p.
d) Určete průsečík roviny p s osou z.
e) Určete velikost úhlu a, který svírá rovina p a přímka tt.
2. (5 bodů) Mějme kvadratickou formu / : IR3 —y IR danou předpisem
f(xi,X2, x3) = x\ — 6xxX3 + 4^2 + 4:X2x3 + lCteg.
a) Určete matici A této kvadratické formy ve standardní bázi.
b) Najděte nějakou polární bázi (3 kvadratické formy / a napište matici B této formy v bázi (3.
c) Rozhodněte, zdaje kvadratická forma / pozitivně či negativně definitní či semidefinitní nebo indefinitní (nebo ani jedno z předchozího).
3. (5 bodů) Mějme matice
/l 0 0\ /l 1 o\
,4=111 a   5=0 11.
\0  0   1/ \0 0 1/
a) Najděte Jordánův kanonický tvar J matice A spolu s transformační maticí P, tj. A = PJP-1.
b) Uvažme lineární zobrazení ip : IR3 —^ IR3 dané předpisem f{v) = B ■ v, kde v G IR3 chápeme jako sloupcový vektor. Rozhodněte, zda existuje báze IR3, ve které má zobrazení ip matici A.
4. (5 bodů) Firma se rozhodla tajně sledovat čas příchodu svých zaměstnanců. Směna začíná v 6:00 a firemní statistik vždy ráno u každého zaměstnance eviduje, jestli přišel buď předčasně (tj. o více než 15 minut před 6:00) nebo včas (o maximálně 15 minut před 6:00) nebo s mírným zpožděním (o maximálně 15 minut po 6:00) nebo s velkým zpožděním (o více než 15 minut po 6:00). Statistik dlouhodobým sledováním zjistil následující údaje.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den předčasně, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/4 opět předčasně, s pravděpodobností 1/2 včas a s pravděpodobností 1/4 s mírným zpožděním.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den včas, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/2 předčasně, s pravděpodobností 1/4 včas a s pravděpodobností 1/4 s velkým zpožděním.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den s mírným zpožděním, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/2 předčasně, s pravděpodobností 1/4 včas a s pravděpodobností 1/4 s velkým zpožděním.
— Přišel-li některý zaměstnanec v daný den s velkým zpožděním, pak následující pracovní den přijde s pravděpodobností 1/4 předčasně, s pravděpodobností 1/2 včas a s pravděpodobností 1/4 s mírným zpožděním.
Jeden z řadových zaměstnanců se jmenuje Rudolf. Jednou večer po mnoha měsících sledování se majitel firmy naštval na nedochvilné zaměstnance a rozhodl se je potrestat: kdo následující pracovní den dorazí s velkým zpožděním, ten bude za trest celý den umývat záchody, a kdo přijde s mírným zpožděním, bude celý den drhnout podlahu. S jakou pravděpodobností stráví Rudolf následující den čištěním záchodu a s jakou pravděpodobností bude drhnout podlahu? Úlohu řešte jako Markovův proces, přičemž dokažte primi-tivnost použité matice.
Řešení a bodování:
[5 bodů]
a) [lb] Vektor n = (x, y, z) musí být kolmý k vektorům ze zaměření roviny p, a proto musí splňovat rovnice x + y — 4z = 0 a x — y = 0. Řešením této soustavy je (až na násobek) vektor n = (2, 2,1).
b) [lb] Rovina u má stejné zaměření jako rovina p, zbývá tedy najít nějaký bod D G u. „Posunutím" bodu [—2,-3,0] E p ve směru normálového vektoru dostaneme bod D = [—2,-3,0] + a(2, 2,1); pak vzdálenost rovin p a u (která má být 6) bude rovna velikosti vektoru a(2,2,1), a G R. Jelikož ||(2, 2,1)|| = 3, musíme tedy zvolit a = 2 nebo a = —2. Úloha má dvě řešení: pro Di = [—2, —3, 0] + 2(2, 2,1) = [2,1, 2] a D2 = [-2, -3, 0] - 2(2, 2,1) = [-6, -7, -2] dostáváme roviny
ox : [2,1,2] + r(l, 1, -4) + s(l, -1,0)   a   <r2 : [-6, -7, -2] + r(l, 1, -4) + s(l, -1,0).
c) [lb] Potřebujeme zjistit, zda existují parametry ras takové že, jejich dosazením do parametrického popisu roviny p dostaneme bod B. Hledáme tedy r, s G R takové, že —2 + r + s = 3, —3 + r — s = 4 a —4r = 5. Tato soustava nemá řešení, tedy bod B v rovině p neleží.
d) [lb] Body na ose z mají souřadnice x a y nulové, tj. potřebujeme nalézt parametry ras takové, že —2 + r + s = 0 a —3 + r — s = 0. Tato soustava rovnic má řešení r = | a s = —^. Hledaný průsečík je tedy [-2, -3, 0] + |(1,1, -4) - ±(1,-1, 0) = [0, 0,-10].
e) [lb] Nejprve určíme úhel /?, který svírá normála n roviny p s přímkou tt. Dostaneme
((2, 2, !),(!, 0,1)) V2 P     ||(2,2,1)||.||(1,0,1)|| 2'
tj. p = f. Úhel a je doplněk tohoto úhlu do 90°, tj. a = § - f = f. [5 bodů] a) Je to matice
i = I 0    4    2  I , [0.5b]
b) Úpravou na čtverec dostaneme
f(x1,x2,x3) = (xi - 3x3)2 +4(x2 + \x3)2, [1.5b], tj. yi = xi — 3aľ3, y2 = x2 + tjX3 a y3 = x3 jsou souřadnice v polární bázi f3 s maticí přechodu
/l   0 -3N
(id)/3,£ =01 H . [°-5b] \0 0
Tato matice matice má inverzi
(id)Cíf3 = ((id)^)-1 = I 0   1   -i I , [lb].
Báze j3 je tvořena sloupci předchozí matice, tj.
P= ((1,0,0), (0,1,0), (3,-\, 1)), [0.5b]
1   0 0\ S =   0   4   0   , [0.5b]. \0   0 0/
c) Z matice B vidíme, že kvadratická forma / je pozitivně semidefinitní, [0.5b].
[5 bodů]
a) [4b] Spočteme det(A — XE) = (1 — A)3, tedy matice A má jediné vlastní číslo 1, [0.5b]. Z matice
A-E
vidíme, že prostor vlastních vektorů pro vlastní číslo 1 je generovaný vektory v\ = (0,1,0) a f2 = (1,0,—1), [lb]. Než z prostoru vlastních vektorů vybereme vhodou bázi, najdeme si vektor w splňující (A — E)w = aii>i + a2t>2, [0.5b], pro nějaké parametry a\, a2 G R - vektor w spolu s vlastním vektorem ol\V\ + a2f2 pak budou odpovídat Jordánově buňce 2x2. Z matice
(A - E\aivi + a2v2) =
vidíme, že nutně a2 = 0 a dále můžeme zvolit např. a± = 1 a w = (1, 0, 0), tj. a\V\ + a2v2 = v\, [lb za vektor w]. Tedy v bázi a = (i>i, w, f2) bude Jordánův kanonický tvar
[0.5b]. Vztah A = PJP 1 používá matice přechodu P 1 = (id)^ a P = (id)eQ,, kde e je standardní báze. Sloupce matice P jsou tedy bázové vektory báze a, tj.
P =
[lb].
b) [lb] Matice B je v Jordánově kanonickém tvaru a tedy je to Jordánův tvar zobrazení ip; ten je tvořen jedinou buňkou a tedy je dán jednoznačně. Matice tohoto zobrazení v libovolné bázi proto musí mít Jordánův tvar B. Jelikož má matice A má jiný Jordánův tvar, požadovaná báze neexistuje.
[5 bodů] Uvažujeme-li pořadí stavů (předčasně, včas, mírné zpoždění, velké zpoždění), jedná se o Mar-kovův proces se (stochastickou) maticí
B =
/1/4 1/2 1/2 1/4^
1/2 1/4 1/4 1/2
1/4 0 0 1/4
V 0 1/4 1/4 0 )
[1.5b]. Je třeba najít vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu 1, [0.5b]. Hledáme tedy řešení homogenní soustavy rovnic s maticí
B-Ea =
/-3/4 1/2
1/2 -3/4
1/4 0
V   0 1/4
1/2 l/4\
1/4 1/2
-1 1/4
1/4 -iy
	0	0	-3\
0	1	0	-3
0	0	-1	1
	0	0	0/
kde £4 je jednotková matice 4x4. Její řešení je (až na násobek) vektor v = (3, 3,1,1), [1.5b]. My ale potřebujeme pravděpodobnostní vektor, což je w = 3+3^_1+1v = |(3,3,1,1) = (|, |, |, |), [0.5b]. Rudolf tedy bude čistit záchod pravděpodobností ^, a bude drhnout podlahu s pravděpodobností také |, [lb].