4. domácí úkol - MIN301 - podzim 2021 - odevzdat do 29.11.2021
Vyřešte následující diferenciální rovnice s neznámou funkcí y(x):
(a) y' = (Ax — y + l)2, přičemž y(0) = 7;
(b) y' = (Ax — y + l)2, přičemž í/(0) = 3;
(c) y' = sinx(sin2x — ?/), přičemž y(0) = 0.
U všech řešení určete maximální interval, na kterém je řešení definované.
Řešení:
(a,b) Po substituci z(x) = Ax — y(x) + 1 dostaneme rovnici z' = 4 — z2, u které lze separovat proměnné ve tvaru = dx. Touto úpravou ovšem ztrácíme případy z = ±2, což jsou dvě konstantní řešení. Integrováním dostaneme ^| = Ce4x, což zahrnuje řešení z = — 2 jestliže uvažujeme libovolné C g IR. Navíc tedy máme jen řešení z = 2. Další úpravou tedy dostaneme z(x) = ^ a dosazením z(x) = Ax — y{x) + 1 dostaneme výsledek:
množina všech řešení je
y(x) =Ax+ \tceX , C ER   a   y(x) = Ax - 1.
Dosazením počátečních podmínek dostaneme řešení y(x) = Ax + frfnr definované na maximálním intervalu (—00, ln \/2) v části (a) a ?/(rr) = 4x + 3 definovaná na celé reálné ose v části (b).
(c) Jedná se o lineární rovnici y' — ysmx = sin3x. U rovnice bez pravé strany y' — ysinx = 0 lze separovat proměnné, její obecné řešení je tvaru y = Cecosx, C g IR. (Pozor na konstantní řešení y = 0, které je při separací proměnných ztraceno.) Dále postupujeme variací konstanty, tj. uvažujeme y = C(x)ecosx a dosadíme do rovnice s pravou stranou. Odtud se spočte C'(x) = e~cosx sin3 x. Při následném integrování se použije substitutce z = cosx. Obecné řešení zadané diferenciální rovnice je tvaru
y(x) = -(cosx + f)2 + Cecosx, CeR.
Počáteční podmínka y(0) = 0 znamená, že C = |, tj. výsledkem je funkce
y(x) = -(cosx + f)2 + \ecosx = -(cosx + f)2 + 4ecosx-1
definovaná na celé reálné ose.