Matematická analýza 1
Posloupnosti/Elementární funkce
Petr Liška
MUNI
5.10.2022
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 1 / 13
Další vlastnosti limit
Věta
Nechť je dána posloupnost {an} .
1. Jestliže lim
n→∞
|an| = +∞, pak lim
n→∞
1
an
= 0.
2. Jestliže lim
n→∞
an = 0 a existuje n0 takové, že pro všechna n > n0 je
an > 0, pak lim
n→∞
1
an
= +∞.
Věta
Každá neklesající shora ohraničená posloupnost {an} má vlastní limitu.
Každá nerostoucí zdola ohraničená posloupnost {bn} má vlastní limitu.
Definice
Limitu e: = lim
n→∞
1 + 1
n
n
nazýváme Eulerovo číslo.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 2 / 13
Vybraná podposloupnost
Definice
Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost a nechť {nk}∞
k=1 je rostoucí posloupnost
přirozených čísel. Pak posloupnost {ank
}∞
k=1 se nazývá vybraná podposloupnost
z posloupnosti {an}∞
n=1.
Věta
Nechť {ank
} je vybraná posloupnost z posloupnosti {an} a lim
n→∞
an = a.
Potom lim
k→∞
ank
= a.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 3 / 13
Hromadný bod posloupnosti
Definice
Číslo a ∈ R se nazývá hromadný bod posloupnosti {an}, jestliže pro
každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n ∈ N, pro které
platí, že an ∈ O(a).
Věta
Číslo a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje
vybraná podposloupnost {ank
} taková, že lim
k→∞
ank
= a.
Věta
Každá posloupnost má nejmenší a největší hromadný bod.
Věta (Bolzano-Weierstrass)
Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 4 / 13
Definice
Nechť je dána posloupnost {an}. Pak největší hromadný bod této posloupnosti
nazveme limita superior a označujeme
lim sup
n→∞
an,
nejmenší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita inferior a
označujeme
lim inf
n→∞
an,
Věta
Posloupnost {an} má limitu právě tehdy, když
lim sup
n→∞
an = lim inf
n→∞
an.
Všechny tři hodnoty jsou pak stejné.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 5 / 13
Elementární funkce
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 6 / 13
Polynom
Definice
Funkci P : R → R tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R,
nazýváme polynomem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li
an = 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu.
Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P, jestliže
P(α) = 0.
Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q
takový, že
P(x) = (x − α)k
Q(x),
a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) = 0. Číslo k ∈ N se pak nazývá
násobnost kořene α polynomu P.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 7 / 13
Věta
Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R je
polynom stupně n ≥ 0.
1. (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem
C právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho
násobnost.
2. Je-li komplexní číslo α k-násobným kořenem reálného polynomu
P, je číslo komplexně sdružené ¯α též k-násobným kořenem polynomu
P.
3. (Rozklad polynomu v oboru reálných čísel.) Jsou-li α1, . . . , αr
všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k1, . . . , kr a
(c1 ±id1), . . . , (cs ±ids) všechny navzájem různé dvojice komplexně
sdružených kořenů s násobnostmi r1, . . . , rs, platí
P(x) = an(x−α1)k1
· · · (x−αr)kr
[(x−c1)2
+d2
1]r1
· · · [(x−cs)2
+d2
s]rs
.
4. Nechť an = 1. Je-li celé číslo α kořenem polynomu P s celočíselnými
koeficienty, pak α je dělitelem čísla a0.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 8 / 13
Racionální lomená funkce a parciální zlomky
Definice
Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce
R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce. Tuto funkci nazveme ryze lomenou,
platí-li st P < st Q, a neryze lomenou, platí-li st P ≥ st Q.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 9 / 13
Rozklad na parciální zlomky
Každou ryze lomenou funkci R(x) = P(x)
Q(x) lze rozložit na součet
parciálních zlomků následujícím způsobem:
a) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad
obsahuje součet k parciálních zlomků tvaru
A1
(x − α)
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ak
(x − α)k
.
b) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené k-násobné kořeny
polynomu Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomky tvaru
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
.
kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 10 / 13
Goniometrické a cyklometrické funkce
Definice
Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod
je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru,
resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak
první souřadnici bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále definujme
tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.
cos x
sin x
tg x
cotg x
1
1
P
x
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 11 / 13
Definice
Inverzní funkce k funkci sin x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje
arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické
funkce.
Věta
Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.
1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x
jsou klesající.
2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché.
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 12 / 13
0 1 π
2
−1− π
2
1
π
2
−1
− π
2
x
y = arcsin x
y = sin x
0 1 π
2
π
−1
π
π
2
−1
x
y = arccos x
y = cos x
0 π
2− π
2
π
2
− π
2
y
x
y = arctg x
y = tg x
0 π
π
π
2
π
2
y
x
y = arccotg x
y = cotg x
Petr Liška (MUNI) Matematická analýza 1 5.10.2022 13 / 13