Matematická analýza 1
Diferenciál a Taylorova věta
Petr Liška
Masarykova univerzita
30.11.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 1 / 5
Diferenciál
Definice
Nechť funkce f je definovaná v okolí O(x0) bodu x0 a platí x0 + h ∈
O(x0). Pak číslo h nazýváme přírůstkem nezávislé proměnné a rozdíl
∆f(x0) = f(x0 + h) − f(x0) nazýváme přírůstkem funkce f v bodě x0 s
krokem h neboli přírůstkem závislé proměnné.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 2 / 5
Diferenciál
Definice
Nechť funkce f je definovaná v okolí O(x0) bodu x0 a platí x0 + h ∈
O(x0). Pak číslo h nazýváme přírůstkem nezávislé proměnné a rozdíl
∆f(x0) = f(x0 + h) − f(x0) nazýváme přírůstkem funkce f v bodě x0 s
krokem h neboli přírůstkem závislé proměnné.
Definice
Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x0 ∈ R, jestliže existuje
okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro všechny body x0 + h ∈ O(x0) platí
f(x0 + h) − f(x0) = A · h + τ(h) ,
kde A je vhodné číslo a τ(h) je funkce taková, že limh→0
τ(h)
h = 0.
Je-li funkce f v bodě x0 diferencovatelná, nazývá se výraz A · h diferenciál
funkce f v bodě x0 a značí se df(x0)(h) nebo stručně df(x0).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 2 / 5
Věta
Funkce f má v bodě x0 diferenciál A · h právě tehdy, když existuje
vlastní derivace f (x0). Přitom pro konstantu A platí, že A = f (x0),
a tedy
df(x0)(h) = f (x0) · h.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 3 / 5
Věta
Funkce f má v bodě x0 diferenciál A · h právě tehdy, když existuje
vlastní derivace f (x0). Přitom pro konstantu A platí, že A = f (x0),
a tedy
df(x0)(h) = f (x0) · h.
Píšeme též
df(x0)(h) = f (x0)dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 3 / 5
Věta
Funkce f má v bodě x0 diferenciál A · h právě tehdy, když existuje
vlastní derivace f (x0). Přitom pro konstantu A platí, že A = f (x0),
a tedy
df(x0)(h) = f (x0) · h.
Píšeme též
df(x0)(h) = f (x0)dx .
Pro malá h klademe
f(x0 + h)
.
= f(x0) + f (x0)h .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 3 / 5
Taylorův polynom
Taylorovým polynomem stupně n funkce f se středem v bodě x0
rozumíme polynom
Tn(x) = f(x0)+
f (x0)
1!
(x−x0)+
f (x0)
2!
(x−x0)2
+· · ·+
f(n)(x0)
n!
(x−x0)n
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 4 / 5
Taylorův polynom
Taylorovým polynomem stupně n funkce f se středem v bodě x0
rozumíme polynom
Tn(x) = f(x0)+
f (x0)
1!
(x−x0)+
f (x0)
2!
(x−x0)2
+· · ·+
f(n)(x0)
n!
(x−x0)n
.
Věta (Taylorova)
Nechť má funkce f v okolí bodu x0 vlastní derivace až do řádu n + 1 pro
některé n ∈ N ∪ {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí
f(x) = Tn(x) + Rn(x),
kde
Rn(x) =
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)n+1
,
přičemž ξ je vhodné číslo ležící mezi x0 a x.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 4 / 5
Maclaurinovy vzorce elementárních funkcí
1. Pro každé x ∈ R platí
ex
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ · · · +
xn
n!
+
eξ
(n + 1)!
xn+1
.
2. Pro každé x ∈ R platí
sin x = x−
x3
3!
+
x5
5!
−· · ·+(−1)n+1 x2n−1
(2n − 1)!
+(−1)n
cos ξ
x2n+1
(2n + 1)!
3. Pro každé x ∈ R platí
cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
− · · · + (−1)n x2n
(2n)!
+ (−1)n
cos ξ
x2n+2
(2n + 2)!
4. Pro každé x ∈ (−1, +∞) platí
ln(x+1) = x−
x2
2
+
x3
3
−· · ·+(−1)n+1 xn
n
+(−1)n+2 xn+1
n + 1
·
1
(1 + ξ)n+1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 30.11.2022 5 / 5