Diferenciální počet funkcí více proměnných Funkce, limita, spojitost Petr Liška Masarykova univerzita 23.9.2022 Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 1/10 Pojem funkce Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 2/10 Wind-chil index T/v 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 5 4 3 2 1 1 0 -1 -1 -2 -2 -3 0 -2 -3 -4 -5 -6 -6 -7 -8 -9 -9 -10 -5 -7 -9 -11 -12 -12 -13 -14 -15 -16 -16 -17 -10 -13 -15 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -23 -24 -15 -19 -21 -23 -24 -25 -26 -27 -29 -30 -30 -31 -20 -24 -27 -29 -30 -32 -33 -34 -35 -36 -37 -38 -25 -30 -33 -35 -37 -38 -39 -41 -42 -43 -44 -45 -30 -36 -39 -41 -43 -44 -46 -48 -49 -50 -51 -52 1/1/ = 13,12 + 0,62157 - 11,37v0'16 + 0,3965TV0'16 Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 3/10 Funkce Definice Nechť M C Rn, n e N, M ^ 0. Zobrazení f: M IR se nazývá (reálná) funkce n (reálných) proměnných. Množina M se nazývá definiční obor funkce f. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 4/10 Funkce Definice Nechť M C Rn, n e N, M ^ 0. Zobrazení f: M IR se nazývá (reálná) funkce n (reálných) proměnných. Množina M se nazývá definiční obor funkce f. Definice (Speciálně) Nechť D C IR2, D 7^ 0. Předpis ŕ, který každému bodu roviny [x,y] G D přiřazuje právě jedno z G IR, nazýváme funkcí dvou proměnných. Tuto funkci označujeme * = r(x,y)- Množina D se nazývá definiční obor funkce ŕ. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 4/10 Graf funkce Definice Nechť M C IR", f; M —>R. Pak G(0 = • • • >x„,y]; [xi,... ,x„] Gln;y= f(xi,... ,x„)} se nazývá graf funkce f. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 5/1C Graf funkce Definice Nechť M C IR", f; M —>R. Pak G(0 = • • • 5xn,y]; [xi,... ,x„] Gln;y= f(xi,... ,x„)} se nazývá graf funkce f. Definice Nechť M C M2, ŕ: M R, c G R. Množinu fc = {[x,y] e M: ŕ(x,y) = c} nazývame vrstevnice funkce f na úrovni c. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 5/10 Limita a spojitost Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 6/10 Limita Definice Necht f: I" ^ la a G (M*)n je hromadný bod definičního oboru f. Řekneme, že ŕ má v bodě a limitu L, L G M*, jestliže ke každému O(Ľ) existuje ryzí okolí O(a) takové, že pro každý bod x G O(a) n D(f) platí f (x) G O(Ľ). Píšeme lim f(x) = L Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 7/10 Limita Definice Necht f: I" ^ la a G (M*)n je hromadný bod definičního oboru f. Řekneme, že ŕ má v bodě a limitu L, L G M*, jestliže ke každému O(Ľ) existuje ryzí okolí O(a) takové, že pro každý bod x G O(a) n D(f) platí f (x) G O(Ľ). Píšeme lim ŕ(x) = L Definice Necht ŕ:K2^Ka [x0,y0] G D(ŕ) je hromadný bod D(f). Řekneme, že funkce ŕ má v bodě [xo,yo] limitu L, jestliže \/e > 036 > 0 tak, že V(x, y)eD(f):0y)-K*ô>yo) agji»j-i«_L 23.9.2022 Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 7/10 Funkce f má v každém bodě nejvýše jednu limitu. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 8/10 Věta Funkce f má v každém bodě nejvýše jednu limitu. Věta Nechi lim(x,y)-^(x0,yo) ^(x> y) = 0^1/ nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] platí, že \g{x,y)\ < K. Pak lim(x,yH(x0,yo) f{x,y)g(x,y) = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 8/10 Věta Funkce f má v každém bodě nejvýše jednu limitu. Věta Nechi lim(x,y)-^(x0,yo) ^(x> y) = 0^1/ nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] platí, že \g{x,y)\ < K. Pak lim(x,yH(x0,yo) f{x,y)g(x,y) = 0. Věta Nechi h(x,y) < f(x,y) < g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] a platí\\m{Xíy)^{x0íyo)h(x,y) = lim(X)y)^(XOiyo) g(x,y) = L. Pak lim(x,yH(x0,yo) f(*,y) = L Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 8/10 Věta Funkce f má v každém bodě nejvýše jednu limitu. Věta Nechi lim(x,y)-^(x0,yo) ^(x> y) = 0^1/ nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] platí, že \g{x,y)\ < K. Pak lim(x,yH(x0,yo) f{x,y)g(x,y) = 0. Věta Nechi h(x,y) < f(x,y) < g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] a platí\\m{Xíy)^{x0íyo)h(x,y) = lim(X)y)^(XOiyo) g(x,y) = L. Pak lim(x,yH(x0,yo) f(*,y) = L Věta 2 Má-li funkce f v bodě [xo,yo] £ (IR*) vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu [xo,yo] v němž je funkce f ohraničená. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 8/10 Nechť lim(X)yH(x0jyo) ŕ(x,y) = Lx, lim(X)yH(x0)yo) g(x,y) = L2 a Lu L2 € R. Pak pro každé ci,C2 G K platí lim (cif(x,y) + c2g{x,y)) = CiU + c2L2 (*>y)-K*o,yo) , Jim ŕ(*,y)s(*,y) = U • L2 (x>y)-K*o,yo) a je-// L2 ^ O f(x,y) = Li (x,y)^(x0)yo) g-(x, y) L2 im Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 9/10 Nechť lim(x?y)^(xo?yo) f(x,y) = Llr lim(x?y)^(xo?yo) g(x,y) = L2 a U,L2 G IR. Pa/c pro /cažc/é ci, C2 G K. p/ař/' lim (cif(x,y) + c2g{x,y)) = C1/.1 + c2L2 (*,y)^(*o,yo) lim f(x,y)s(x,y) = U > L2 (*>y)-Kxb>yo) a >// L2 ^ 0 f(x,y) = /-i (x,y)^(x0,y0) g(x,y) L2 im Věta Funkce f má v bodě [xo,yo] limitu rovnu L, jestliže existuje nějaká funkce g: [0,oo) —> [0, oc) splňující limr^0+ g{r) — 0 ta ková, že \f(xo + rcos(p,yo + rsin^) — L\ < g(r) pro libovolné cp G [0,27ľ) a r > 0 dostatečně malé. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 9/10 Spojitost Definice Řekneme, že funkce ŕ je spojitá na množině M C IR , jestliže pro každý bod [xo,yo] £ M, který je jejím hromadným bodem, platí lim f(x,y) = f(xd,yo). (*,y)^(*o,yo) (x,y)€M Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 10/10 Spojitost Definice Řekneme, že funkce ŕ je spojitá na množině M C IR , jestliže pro každý bod [xo,yo] £ M, který je jejím hromadným bodem, platí lim f(x,y) = f(xd,yo). (*,y)^(*o,yo) (x,y)€M Věta (Weierstrass) Necht funkce f je spojitá na kompaktní množině M C IR2. Pa/c nabývá na M své nejmenší a největší hodnoty. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 10/10 Spojitost Definice Řekneme, že funkce ŕ je spojitá na množině M C IR , jestliže pro každý bod [xo,yo] £ M, který je jejím hromadným bodem, platí lim f(x,y) = f(xd,yo). (*,y)^(*o,yo) (x,y)€M Věta (Weierstrass) Necht funkce f je spojitá na kompaktní množině M C IR2. Pa/c nabývá na M své nejmenší a největší hodnoty. Věta (Bolzano) Necht funkce f je spojitá na otevřené souvislé množině M C IR2. Nechť pro A, B E M platí f (A) ^ f (B). Pak ke každému číslu c ležícímu mezi f (A) a f(B) existuje C e M tak, že f (C) = c. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 23.9.2022 10/10