Diferenciální počet funkcí více proměnných
Parciální derivace a spol
Petr Liška
Masarykova univerzita
30.09.2022
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022       1 /
Parciální derivace
Definice
Nechť f:R2^Ka [*o>yo] Je bod. Existuje-li limita
h^O h
X^XQ
x - x0
řekneme, že funkce ŕ má v bodě [x0,yo] parciální derivaci podle x s hodnotou této limity. Tuto derivaci značíme
r ŕ \ df(x0,yo) df . fx(x0,y0) = —-= ^(xo>W = fx(xo,yo)
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022 2/8
Věta
Necht funkce f, g: M? —>> K. mají parciální derivaci podle proměnné x;, i e {1,2}, r?a otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle x\ a platí
9 [f(x)±g(x)] = 4-f(x)±4-g(x),
dxj
dxj
dxj
9 [f(x)g(x)} = S-fMgM+gMS-nx),
ÔX;
ÔX;
ÔX;
je-li navíc g(x) ^ O, pak
d
ÔX; \g(x)
g2(x)
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022
3/8
Derivace vyšších řádů
Nechť [xo,yo] G D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce /x(x,y) podle proměnné x v bodě [xo,yo], nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce 2. řádu podle x funkce f v bodě [xo,yo] a značíme ji /xX(xo,yo)
nebo 0(xo,yo).
Existuje-li parciální derivace funkce /x(x,y) podle proměnné y v bodě [xo>yoL nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací2. řádu funkce f v bodě [x0,y0] a značíme ji rxy(x0,y0) nebo také ^^(xo,yo)-
Věta (Schwarz, Clairaut)
Necht funkce f má v okolí bodu [xo,yo] parciální derivace fXl fy a smíšenou parciální derivaci fxy, která je v bodě [xo,yo] spojitá. Pak existuje také smíšená parciální derivace /ýx(xo,yo) a platí
fxy(x0,y0) = /ýx(x0,yo).
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022
4/8
Řekneme, že funkce ŕ: K ^ R má v bodě [xo,yo] směrovou derivaci ve směru jednotkového vektoru Ú — (ui, u2), jestliže existuje limita
Duf(*6,yo) = lim
h->0
f(xo + uih,y0 + u2h) - r(x0,yo)
Definice
Nechť f \ IR2 —>> IR, pak gradientem funkce f rozumíme vektor Vf (grad f)
Vf(x,y) = (rx(x,y), /ý(x,y)).
Věta
Má-// funkce f(x,y) spojité parciální derivace prvního řádu, pak má funkce směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru Ú — (l/i, u2) a platí
Dúf{x,y) = £(x,y)ui + fy(x,y)u2 = W(x,y) • J.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022 5/8
Diferenciál funkce
Definice
Řekneme, že funkce f: M2 —> IR definovaná v okolí bodu [xo,yo] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí
v        f(xo + h,y0 + k)- f(xa,y0) - (Ah + Bk) _
(/7,/cH(o,o)
Vh2 + k2
Lineární funkce Ah + Bk proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [xo,yo] a značí se df(xo,yo)(h, k), případně dr"(xo,yo). Ekvivalentně: existují A, B e R a funkce r: M? —>• R tak, že platí
f(x0 + h,y0 + k)- f{x0,y0) = Ah + Bk + r{h, k),
kde
r(h,k)
(/i,fcH(0,0) V/72 + /c2
lim
= 0,
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022 6/8
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xo,yo], pak má v tomto bodě parciální derivace a platí
df(x0,y0) = fx(x0,y0)h + fy(x0,y0)k.
Věta
Má-li funkce f v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace 1. rádu, pak má v tomto bodě také diferenciál.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022 7/8
Má-li funkce f (x, y) v bodě [xo,yo] totální diferenciál, má graf funkce v tomto bodě tečnou rovinu o rovnici
z = f(xo,y0) + /x(x0,y0)(x-x0) + ŕy(*o,yo)(y - yo)-
Věta
Necht P, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené jednoduše souvislé množině Q C K2, které mají na této množině spojité parciální derivace Py, Qx. Pak výraz P(x,y)dx + Q(x,y)dy je diferenciálem nějaké funkce, právě když platí
Py(x,y) = Qx(x,y)      pro každé      [x,y] G Q.
Funkci z předchozí věty se říká kmenová funkce funkcí P a Q
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
30.09.2022 8/8