Diferenciální počet funkcí více proměnných
Co ještě ještě pod stromeček...
Petr Liška
Masarykova univerzita
14.10.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 1 / 14
Ještě trocha aplikací
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 2 / 14
Příklad
Nalezněte a interpretujte PK(200, 120) a PL(200, 120) pro CobbDouglasovu
funkci
P(K, L) = 20K0,4
L0,6
.
Řešení:
PK(K, L) = 20 · 0,4K−0,6
L0,6
.
Dosazením K = 200 a L = 120 dostaneme
PK(200, 120) = 8 · 200−0,6
· 1200,6
≈ 5,9 .
Toto číslo se nazývá marginální produktivita kapitálu.
PL(K, L) = 20 · 0,6K0,4
L−0,4
.
Dosazením K = 200 a L = 120 dostaneme
PL(200, 120) = 12 · 2000,4
· 120−0,4
≈ 14,7
Toto číslo se nazývá marginální produktivita práce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 3 / 14
Soutěž a koluze
Představme si, že jsme producentem nějakého produktu, jehož nefixní
produkční náklady jsou minimální (např. minerální voda, mobilní data
atd.), a zároveň máme monopol, tj. jsme jediným producentem. Pro
konkrétnost uvažujme, že cena našeho produktu je
p = 6 − 0,01x, 0 ≤ x ≤ 600,
kde x značí množství prodaného produktu. Jaký je náš maximální zisk?
Co se stane, když budeme mít dalšího konkurenta, tj. půjde již o
duopol? V tomto případě uvažujte cenovou funkci
p = 6 − 0,01x − 0,01y,
kde x značí množství produktu, který prodáme, a y značí množství,
které prodá náš konkurent.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 4 / 14
Vektorová funkce a operátory
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 5 / 14
V rovině je vektorová funkce takový předpis, který každému bodu
z množiny D ⊆ R2 přiřadí vektor v rovině. Zapisujeme
F(x, y) = P(x, y), Q(x, y) , (1)
kde P(x, y), Q(x, y) jsou funkce dvou proměnných. Podobně vektorová
funkce v prostoru je takový předpis, který každému bodu z množiny
D ⊆ R3 přiřadí vektor v prostoru. Zapisujeme
F(x, y, z) = P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) , (2)
kde P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) jsou funkce tří proměnných.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 6 / 14
Uvažujme vektorové pole v rovině a označme jednotkové vektory ve
směru os x a y
ı = (1, 0),  = (0, 1).
Pak vektorové pole (1) lze zapsat
F(x, y) = P(x, y)ı + Q(x, y)
nebo stručně F = Pı + Q.
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+a+vector+field
Označíme-li jednotkové vektory ve směru os x, y, a z
ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1),
pak vektorové pole (2) lze zapsat
F(x, y, z) = P(x, y, z)ı + Q(x, y, z) + R(x, y, z)k.
https://www.geogebra.org/m/u3xregNW
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 7 / 14
Divergence
Nechť F = Pı + Q + Rk je vektorové pole v prostoru. Jestliže existují
parciální derivace Px, Qy, Rz, pak divergence vektorového pole F je
skalární funkce
div F(x, y, z) = Px(x, y, z) + Qy(x, y, z) + Rz(x, y, z).
Pomocí Hamiltonova operátoru můžeme divergenci vektorového pole
zapsat jako skalární součin
· F =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
· (P, Q, R).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 8 / 14
Rotace
Nechť F = Pı + Q + Rk je vektorové pole v prostoru. Jestliže existují
všechny parciální derivace 1. řádu, pak rotace vektorového pole F je
vektorové pole definované jako vektorový součin:
rot F(x, y, z) = × F = (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py).
Věta
Nechť f je funkce tří proměnných, která má spojité parciální derivace
druhého řádu. Pak
rot grad f = o.
Věta
Nechť F je vektorové pole definované na jednoduše souvislé množině
v prostoru, jehož složky jsou spojitě diferencovatelné funkce. Pak
rot F = 0 ⇔ F je konzervativní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 9 / 14
Taylorova věta
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 10 / 14
Definice
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] spojité parciální derivace
až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce f v bodě
[x0, y0] rozumíme funkci
dm
f(x0, y0)(h, k) =
m
j=0
m
j
∂mf
∂xj∂ym−j
(x0, y0)hj
km−j
.
Věta
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace
až do řádu n + 1 včetně, pak pro každý bod [x, y] z tohoto okolí platí
f(x, y) = Tn(x, y) + Rn(x, y),
kde
Tn(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0)(h, k) +
1
2!
d2
f(x0, y0)(h, k) + · · · +
1
n!
dn
f(x0, y0)(h, k)
Rn(x, y) =
1
(n + 1)!
dn+1
f(x0 + νh, y0 + νk)(h, k), ν ∈ (0, 1), h = x − x0, k = y − y0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 11 / 14
Funkce daná implicitně
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 12 / 14
Definice
Nechť F je funkce dvou proměnných. Označme
M = {[x, y] ∈ D(F): F(x, y) = 0}
a nechť F(x0, y0) = 0. Jestliže existují čísla δ > 0 a ε > 0 taková, že
množina
{[x, y] ∈ M : |x − x0| < δ, |y − y0| < ε}
je totožná s grafem funkce y = f(x) pro |x−x0| < δ, řekneme, že funkce
f v okolí bodu [x0, y0] definována (dána) implicitně rovnicí F(x, y) = 0.
Náš vztah k matematice
shorturl.at/vAIK3
Descartův list
shorturl.at/kntv6
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 13 / 14
Věta
Nechť je funkce F spojitá na čtverci
R = {[x, y] ∈ D(F): |x − x0| < a, |y − y0| < a}
a nechť F(x0, y0) = 0. Dále předpokládejme, že funkce F má spojitou
parciální derivaci ∂
∂y F(x, y) v bodě [x0, y0] a platí ∂
∂y F(x0, y0) = 0.
Pak existuje okolí bodu [x0, y0], v němž je rovností F(x, y) = 0 implicitně
definována právě jedna funkce y = f(x), která je spojitá.
Má-li navíc funkce F na R spojité parciální derivace 1. řádu, pak má
funkce f derivaci v bodě x0 a platí
f (x0) = −
Fx(x0, y0)
Fy(x0, y0)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Co ještě s derivací? 14.10.2022 14 / 14