Metrické prostory
Zobecnění pojmu vzdálenost
Petr Liška
Masarykova univerzita
16.09.2022
Metrický prostor
Definice
Množinu P / 0 a zobrazení g: P x P —> M+ splňující pro všechna x, y,
ze P
1. £>(x,y) = 0 <^> x = y
2. p(x,y) = ^(y,x)
3. g(x,y) + g(y,z) > g(x,z)
se nazývá metrický prostor. Zobrazení £ se nazývá metrika, £>(x, y) je pak vzdálenost bodů x, y v prostoru (P,g).
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
16.09.2022
2/12
Základní metriky na R"
Euklidovská metrika
Q(X, Y) =
n
w J2(xk-yk):
\ k=l
Součtová metrika
n
Qi
(x,Y) = Y,\><k-yk
k=l
Maximální metrika
Qoo{X, Y) = max \xk - yk
Kk<n
Základní metriky na C[a, b
Metrika stejnoměrné konvergence
Qc{f,g) = max |ŕ(x)-s(x)|
xe[a,b]
Necht (P, g) je metrický prostor. Pro A, B g P, A, B ^ 0 definujeme vzdálenost množin A a B
q{A,B) = \nf{e{x,y),xeA,yeB} a průměr množiny A
d (A) = sup {q(x, y), x, y e A} Jestliže množina d{A) není shora ohraničená, klademe d{A) — oo.
Je-1i d{A) < oo množina se nazýva ohraničená (omezená).
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
16.09.2022
5/
Nechť je posloupnost bodů v (P,g). Řekneme, že posloupnost
konverguje k bodu xq (xn —>► xq), jestliže
^(xn,xo)^0   pro   n —> oo.
Řekneme, že posloupost je cauchyovská, jestliže
£>(xm, xn) —0   pro   min{rn. n\ —>► oc.
Definice
Necht ^i, ^2 jsou metriky na P. Řekneme, že metriky jsou ekvivalentní, jestliže
£1,
xn —>► x0
J_\
Q2K
xn —>► x0
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	16.09.2022 6/12
Prekvapení!
Věta (Někdy také definice)
Metriky g\, q2 na P jsou ekvivalentní, jestliže existují čísla m, M > O taková, že
m • qi(X, Y) < 02(X, Y) < M • Ql(X, Y)      VX, Y g P.
Věta
Je-// P konečnědimenzionální vektorový prostor, pak všechny metriky na tomto prostoru jsou ekvivalentní
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
16.09.2022
7/
Uzavřené množiny
Definice
Nechť A c P. Množina A = {x g P: g(x. A) = 0} se nazývá uzávěr množiny A. Množina A se nazývá uzavřená, pokud A — A.
Věta
Necht A C P. Množina A je uzavřená, právě když pro každou konvergentní posloupnost prvků xn g A, xn —>► xq platíxq g A
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	16.09.2022 8/12
Otevřené množiny a okolí bodu
Definice
Množina A c P se nazývá otevřená, jestliže její komplement P \ A je
uzavřená množina
Definice Nechť a g P a e > 0. Množinu
Oe(a) = {xe P: g(x,a)<e}
nazýváme (epsilonovým) okolím bodu a.
Definice
Množina A c P se nazývá otevřená, jestliže pro každé a £ A existuje O(a) takové, že O(a) c >A.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
16.09.2022 9/12
Necht A c P, a g P. Bod a se nazýva:
i) Vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje O(a) takové, že O(a) c A. Množina všech vnitřních bodů se nazývá vnitřek a značí se A°.
ii) Hraničním bodem množiny A jestliže pro každé okolí O(a) platí
e>(a)n/i^0  a e>(a)n(P\/*)^0.
Množina všech hraničních bodů se nazývá hranice a značí se /7(/\).
iii) Hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí O(a) obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny A.
iv) Izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí O(a) takové, že 0(a)nA = {a}.
Množina je otevřená právě tehdy, když A = A°. Množina je uzavřená právě tehdy, když obsahuje svoji hranici.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
16.09.2022
10/12
Úplný metrický prostor
Definice
Metrický prostor (P,e) se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauchyovská posloupnost má limitu, tj. každá cauchyovská posloupnost je konvergentní.
Věta
Necht (P, g) je úplný metrický prostor a A C P je uzavřená množina. Pak A s metrikou, která je indukovaná metrikou g, je úplný metrický prostor.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)		Metrické prostory	16.09.2022 11/12
Metrický prostor (P, g) se nazýva kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů lze vybrat konvergentní podposloupnost. Množina A c P se nazýva kompaktní, jestliže A s metrikou indukovanou metrikou g je kompaktní prostor.
i) Necht A je kompaktní množina v metrickém prostom (P, g). Pak A je uzavřená a ohraničená.
i i) Necht A je podmnožina vKn. Množina A je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a ohraničená.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Metrické prostory
16.09.2022
12/