Diferenciální rovnice
Proč se lineární rovnice jmenuje lineární?
Exaktní rovnice a proč nemůžeme většinu rovnic vyřešit?
Geometrická interpretace a numerické řešení
Petr Liška
Masarykova univerzita
4.11.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 1 / 9
Lineární rovnice
y + p(x)y = q(x)
Je-li q(x) ≡ 0 mluvíme o homogenní lineární diferenciální rovnici.
Zavedeme tzv. operátorovou symboliku
L[y](x) = y (x) + p(x)y .
Operátor L je lineární, tj.
L[c1y1 + c2y2] = c1L[y1] + c2L[y2] .
pro libovolné c1, c2 ∈ R a y1, y2 ∈ C1(a, b).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 2 / 9
Princip superpozice
Věta
Nechť
y1 je řešením rovnice y + p(x)y = q1(x)
y2 je řešením rovnice y + p(x)y = q2(x).
Pak funkce
y = c1y1 + c2y2
je řešením rovnice
y + p(x)y = c1q1(x) + c2q2(x)
pro libovolné c1, c2 ∈ R.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 3 / 9
Důsledky
1. Je-li funkce y0 řešením HLDR, tak i cy0, c ∈ R je řešením.
2. Je-li funkce yp řešení LDR a y0 je řešení příslušné HLDR, pak
funkce y = y0 + yp je řešení LDR.
3. Jsou-li funkce y1, y2 dvě různá řešení LDR, pak y = c(y1 − y2) je
obecné řešení příslušné HLDR.
Věta
Je-li yp libovolné partikulární řešení LDR a y0 obecné řešení příslušné
HLDR, pak funkce
y = y0 + yp
je obecným řešením LDR.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 4 / 9
Bernoulliova rovnice
Definice
Nechť p(x), q(x) jsou spojité funkce na nějakém otevřeném intervalu I
a nechť r ∈ R \ {0, 1}. Pak diferenciální rovnici prvního řádu ve tvaru:
y + p(x)y = q(x)yr
nazýváme Bernoulliovou rovnicí.
Substituce
u = y1−r
převede Bernoulliovu rovnici na lienární diferenciální rovnici prvního
řádu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 5 / 9
Exaktní diferenciální rovnice
Definice
Nechť P, Q jsou funkce dvou proměnných x, y a nechť mají spojité parciální
derivace prvního řádu. Potom rovnici
P(x, y) + Q(x, y) · y = 0
nazýváme exaktní diferenciální rovnicí, je-li
∂
∂y
P(x, y) =
∂
∂x
Q(x, y) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 6 / 9
Eulerova metoda
y = f(x, y), y(x0) = y0
y(x0) = y0
y1 = y0 + h · f(x0, y0)
y2 = y1 + h · f(x1, y1)
...
yn+1 = yn + h · f(xn, yn)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 7 / 9
Vylepšená Eulerova metoda
y = f(x, y), y(x0) = y0
yn+1 = yn +
h
2
[f(xn, yn) + f (xn + h, yk + hf(xn, yn))]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 8 / 9
Runge-Kutta (druhého řádu)
y = f(x, y), y(x0) = y0
yn+1 = yn + h · f(xn, yn) +
h2
2
df
dx xn,yn
yn+1 = yn + h · f(xn +
1
2
h, yn +
1
2
hf(xn, yn))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální rovnice 4.11.2022 9 / 9