Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
Petr Liška
Masarykova univerzita
24.11.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 1 / 7
Definice
Nechť p(x), q(x), r(x) jsou spojité funkce na nějakém otevřeném intervalu
I. Rovnici
y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)
nazýváme lineární diferenciální rovnicí druhého řádu. Navíc, je-li
r(x) ≡ 0, jedná se o homogenní lineární diferenciální rovnici druhého
řádu. Řešením nazveme každou funkci ϕ, která má na intervalu
I spojité derivace prvního i druhého řádu a po dosazení do (1) přejde
v identitu.
Úloha nalézt řešení rovnice (1), které splňuje v bodě x0 ∈ I počáteční
podmínky
y(x0) = y0, y (x0) = y1, y0, y1 ∈ R,
se nazývá počáteční (Cauchyova) úloha.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 2 / 7
Věta o existenci a jednoznačnosti
y + p(x)y + q(x)y = 0 (2)
Věta
Nechť jsou funkce p(x), q(x) spojité na nějakém otevřeném intervalu I.
Pak existuje právě jedno řešení rovnice (2), které je definované na I a
splňuje počáteční podmínky y(x0) = y0, y (x0) = y1, kde x0 ∈ I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 3 / 7
L[y](x) = y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x)
Lemma
1.
L[cy](x) = cL[y](x), c ∈ R
2.
L[y1 + y2](x) = L[y1](x) + L[y2](x)
Věta
1. Je-li yp partikulárním řešením rovnice (2), pak je i c · yp pro c ∈ R
partikulárním řešením této rovnice.
2. Jsou-li y1, y2 partikulární řešení rovnice (2), pak i jejich libovolná
lineární kombinace c1y1 + c2y2 je řešením pro c1, c2 ∈ R.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 4 / 7
Wronskián
Věta
Mějme dvě partikulární řešení y1, y2 HLDR druhého řádu, která jsou
definovaná na intervalu I. Jestliže
W(y1, y2) =
y1(x) y2(x)
y1(x) y2(x)
= 0 ∀ x ∈ I,
pak yo = c1y1 +c2y2 je obecným řešením příslušné HLDR druhého řádu,
c1, c2 ∈ R.
Definice
Determinant W(y1, y2) nazýváme wronskián funkcí y1, y2. Jestliže
W(y1, y2) = 0, pak řešení y1 a y2 tvoří tzv. fundamentální systém řešení
HLDR druhého řádu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 5 / 7
Lineárně nezávislá řešení
Definice
Funkce y1, y2 se nazývají lineárně závislé na intervalu I, jestliže existuje
reálné číslo K, pro které platí
y1 = K · y2 ∀ x ∈ I.
V opačném případě řekneme, že funkce y1, y2 jsou lineárně nezávislé.
Věta
Funkce y1, y2 jsou lineárně nezávislé na nějakém intervalu I, právě
tehdy když W(y1, y2) = 0 na intervalu I.
Věta
Jsou-li y1, y2 lineárně nezávislá řešení HLDR druhého řádu, pak platí,
že yo = c1y1 + c2y2 je obecným řešením téže rovnice.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 6 / 7
Homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu s
konstantními koeficienty
y + py + qy = 0, p, q ∈ R. (3)
Uvážíme tzv. charakteristickou rovnici
λ2
+ p · λ + q = 0.
V závislosti na řešení charakteristické rovnice jsou možné tři případy:
1. λ1, λ2 ∈ R, λ1 = λ2 potom obecné řešení (3) je
yo = c1eλ1x
+ c2eλ2x
.
2. λ1, λ2 ∈ R, λ1 = λ2 = λ potom obecné řešení (3) je
yo = c1eλx
+ c2xeλx
.
3. λ1, λ2 ∈ C, λ12 = α + βi potom obecné řešení (3) je
yo = c1eαx
sin βx + c2eαx
cos βx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 24.11.2022 7 / 7