Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy
Picardova-Lindelöfova věta
Petr Liška
Masarykova univerzita
11.11.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy 11.11.2022 1 / 5
Definice
Nechť (P, ) je metrický prostor a F : P → P. Řekneme, že bod x ∈ P
je pevným bodem zobrazení F, jestliže platí:
F(x) = x.
Definice
Nechť (P, ), (Q, σ) jsou metrické prostory a F : P → Q. Pak zobrazení
F je lipschitzovské, jestliže existuje L ∈ R+
0 takové, že
σ (F(x), F(y)) ≤ L · (x, y) ∀ x, y ∈ P
Je-li navíc L < 1, nazveme zobrazení F kontrakce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy 11.11.2022 2 / 5
Banachova věta (1922)
Věta
Nechť (P, ) je úplný metrický prostor a nechť zobrazení F : P → P je
kontrakce. Pak zobrazení F má právě jeden pevný bod.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy 11.11.2022 3 / 5
Picard-Lindelöfova věta (1890-1893)
Věta
Nechť je dána množina
R = [x, y] ∈ R2 | |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b ,
kde a, b ∈ R+ a x0, y0 ∈ R. Předpokládejme, že f : R → R je spojitá a
lipschitzovská vzhledem k proměnné y, tj. ∃ L ∈ R+
0 takové, že
∀ [x, y1], [x, y2] ∈ R platí, že |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| .
Pak existuje právě jedno řešení Cauchyho úlohy
y = f(x, y), y(x0) = y0,
které je definované na intervalu I = x0, x0 + δ , kde δ = min{a, b
m } pro
m = max
[x,y] ∈ R
|f(x, y)|.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy 11.11.2022 4 / 5
Věta (Peanova)
Nechť je dána množina
R = [x, y] ∈ R2 | |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b ,
kde a, b ∈ R+ a x0, y0 ∈ R. Dále mějme funkci f : R → R, která je
spojitá na R. Pak existuje řešení Cauchyho úlohy
y = f(x, y), y(x0) = y0,
které je definované na intervalu I = x0, x0 + δ , kde δ = min{a, b
m } pro
m = max
[x,y] ∈ R
|f(x, y)|.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy 11.11.2022 5 / 5