1.4 ^dvto^t-Am'-c -tr> -to :c
Titbu/i'ÍIä •
Přiklad 1
Ve volném rovnoběžném promítáni zobrazte
a) krychli i hranou délky a - A cm,
b) pravidelný čtyřstěn s hranou délky a = 4 cm,
c) pravidelný šestiboký jehlan s podstavnou hranou délky a = 2,5 cm a výškou
v = 3 cm. ě
Uvalujte svislou průmétnu v a tělesa zobrazte v tzv. průčelně poloze: jednu stenu (a, b), či podstavu tělesa (c) umístěte do vodorovné roviny, další stěnu (a), výšku (b) či hranu (c) umístěte do průčelně roviny.
Řešeni
Na obrázcích 6a, b, c jsou zobrazeny po řadě podstava tělesa, volný rovnoběžný průmět podstavy a volný rovnoběžný průmět tělesa.
^ ~7
A /	
	f
I-0 -	
/	/
/	/
__	
B
A       0      B     A      OBA OB
Obr. 6b
/			\
	1 S		7
A			9
Obr. 6c
PHklad 2
Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte
a) knižnici s poloměrem r = 2.5 cm.
b) rotační válec s poloměrem podstavy r = 2,5 cm a výškou v = 4,5 cm,
c) rotační kužel s poloměrem podstavy r = 2,5 cm a výškou v = 4.5 cm.
Pracujte se svislou průmětnou a kružnici (a), podstavu válce (b) i kužele (c) umístěte do vodorovné roviny.
ŘeSenl
a) Obrazem knižnice k (obr. 7a) je v daném případě elipsa (obr. 7b). Elipsa je rovinná křivka, s níž se v matematice blíže seznámíte v analytické geometrii.
Obr. 7b
1 POLOtfovE WJVSTNOSTI
l^r+Ä:* A*p A ?É^> 4«f
4
Príklad 1
Je dána krychle ABCDEFGH (obr. 17)
a) Určete různým způsobem rovinu dolní stčny krychle.
b) Rozhodněte, zda v této rovině leží přímky BD, BH.
Řešeni
a) Rovina dolní stěny může být určena třemi různými body (např. A, B, Q, přímkou a bodem, který na ní neleží (např. přímkou AC a bodem B),
dvčma rťiznobéžkami (např. přímkami AB a BC), dvěma různými rovnoběžkami (např. přímkami AB a CD). b) Přímka BD leží v rovině ABC, protože její body B, D leží v této rovině; přímka BH neleží v rovině ABC, protože bod H v této rovině neleží.
W_ G
Obr. 17
Obr. 18
Příklad 2
Body P, R% 5, ľ jsou po řadě středy hran AB, AE, BC, CG krychle ABCDEFGH (obr. 18). Zjistěte, zda leží v téže rovině body a) P, R, S, T, b) A, C, E, F.
Řešeni
a) Přímka PR leží v rovině přední stěny a protíná přímku B F v bodě X. Trojúhelníky PRA a PXB jsou shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky; proto \BX = -o, kde a je délka hrany krychle. V rovině pravé boční stěny leží přímka 57' a protíná přímku BF v bodě f, Také trojúhelníky SYB a S7"C jsou shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky; proto také \BY\ = ja. Tedy X = Y, přímky />/? a ST jsou ruznobčžné a body P, R, S, T leží v téže rovině.
b) Body A, E, F určují rovinu přední stěny a bod C v této rovině neleží; proto body A,C,E,F neleží v téže rovině.
17 .sou rwv/vo
'O
ITU /M ^
.  ^ Oy.
CFG" -proč It o V-?' itOvUack*   -(o ním i   "^c-/<; ? fOu-/^^
6- 12-) ^ sp^Sr^
Příklad 1
Určete vzájemnou polohu přímek vyznačených na obr. 21a-g. Jsou-li přímky rovnoběžné nebo různoběžné, určete rovinu, v níž přímky leží, pomocí vrcholů krychle. Jsou-li přímky mimoběžné, určete pomocí vrcholů krychle přímku, která obě přímky protíná (tzv. příčku mimoběžek).
Řešení
Na obr. 21c jsou přímky /?, q rovnoběžné, neleží v žádné rovině, kterou bychom mohli určit pomocí vrcholů krychle.
Obr. 21a
Obr. 21b
Příklad 1
Jedán^krychle ABCDEFGH. Rozhodněte :      emné poloze rovin a) ABC, EFH,      b) ABC, BCD,      c) ADH, BCE.
Řešení
a) Roviny ABC a EFH nemají žádný společný bod (obr. 28a), jsou rovnoběžné různé.
b) Roviny ABC a BCD mají všechny body společné (obr. 28b), jsou totožné.
c) Roviny ADH a BCE jsou různoběžné, jejich průsečnice je přímka EH (obr. 28c).
Hjl-mG
Obr. 28a
Obr. 28b
Obr. 28c
V případě různoběžných rovin p a o je třeba umět sestrojit jejich prů-sečnici p. Znamená to najít její dva různé body. A jak? V rovině p najdeme přímku r a v rovině a přímku s tak, aby přímky r, s byly různoběžné. Společný bod přímek r, s je jeden bod průsečnice. Stejným způsobem najdeme její další bod.
Príklad 2
Je dána krychle ABCDEFGH. Určete průscčnici rovin ACE a BDF. Řešení (obx. 29)
Přímka AC roviny ACE a přímka RD roviny BDF leží v rovině dolní stčny; jsou různoběžné a jejich průsečík je bod P - je to jeden bod průsečnicc. Druhý bod průsečnice je bod Q. Je průsečíkem různoběžných přímek EG roviny ACE a 77/ roviny BDF.
Obr. 29
Přímku můžeme určit nejen pomocí dvou různých bodů, ale i jako průscčnici dvou různoběžných rovin. Toto určení přímky je běžné zejména v analytické geometrii, se kterou se budete v matematice seznamovat později.
PRI 5TB
10