5. cvičení (17. 10. 2022)
Ortogonální transformace kvadratické formy
Pojmy:
• vlastní čísla a vlastní směry (opakování z lineární algebry);
• Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces (opakování z lineární algebry);
• ortogonální transformace kvadratické formy.
Úlohy:
1. Určete charakteristickou rovnici, vlastní čísla a podprostory vlastních směrů daných matic. Každý vlastní
podprostor navíc vyjádřete jako lineární obal ortonormálních vektorů.
A =


0 1 0
−4 4 0
−2 1 2

 B =


0 2 2
2 3 −1
2 −1 3

 C =




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1




2. V ortonormální bázi na euklidovském vektorovém prostoru V3 jsou dány kvadratické formy F1, F2 a F3.
Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy, ortonormální polární bázi
a rovnice transformace souřadnic, které převádí formu do kanonického tvaru.
F1(x) = 2x2
1 + x2
2 + 2x2
3 − 2x1x2 + 2x2x3
F2(x) = 2x2
1 + x2
2 − 4x1x2 − 4x2x3
F3(x) = x2
1 − 2x2
2 + x2
3 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3
Řešení
Ortogonální transformace kvadratické formy
1. matice A: λ3 − 6λ2 + 12λ − 8 = 0, λ1,2,3 = 2, podprostor vlastních směrů je generován vektory (1; 2; 0) a
(0; 0; 1).
matice B: λ3 − 6λ2 + 32 = 0, λ1,2 = 4, λ3 = −2 podprostor vlastních směrů příslušný λ1,2 je generován
vektory (1; 0; 2) a (1; 2; 0) a podprostor vlastních směrů příslušný λ3 je generován vektorem (−2; 1; 1).
matice C: λ4 − 4λ3 + 16λ − 16 = 0, λ1,2,3 = 2, λ4 = −2 podprostor vlastních směrů příslušný λ1,2,3
je generován vektory (1; 0; 0; 1), (0; 1; 0; −1) a (0; 0; 1; −1) a podprostor vlastních směrů příslušný λ4 je
generován vektorem (1; −1; −1; −1).
2. F1 : 3y2
1 + 2y2
2, kladně semidefinitní forma,
F2 : y2
1 + 4y2
2 − 2y2
3, indefinitní forma,
F3 : 6y2
1 − 3y2
2 − 3y2
3, indefinitní forma,