Kuželosečky – pomocná věta (elipsa)
Pomocné definice:
Buď M libovolný bod elipsy s ohnisky E, F a středem S. Průvodiči bodu M rozumíme
přímky ME a MF. Vnitřními úhly průvodičů rozumíme úhel svíraný průvodiči, který obsahuje
bod S, a příslušný vrcholový úhel. Vnějšími úhly průvodičů rozumíme úhly vedlejší
k vnitřním úhlům.1
Poznámka: Splývá-li bod M s některým z hlavních vrcholů elipsy, pokládáme oba vnitřní úhly za nulové,
zatímco vnější úhly pokládáme za přímé.
S FE
M
Věta:
Tečna k elipse půlí vnější úhly průvodičů svého tečného bodu.
Důkaz:
Buď e elipsa s ohnisky E a F a buď M libovolný bod elipsy. Uvažme dále přímku o,
která je osou vnějších úhlů průvodičů bodu M. Ukážeme, že přímka o má s elipsou
společný právě bod M, tzn. je tečnou elipsy.2
Zvolme na přímce o libovolný bod N různý od bodu M a zobrazme ohnisko E v osové
souměrnosti podle přímky o. Protože je o osou vnějších úhlů průvodičů, leží obraz E′
na
průvodiči FM. Situaci zachycuje obrázek 1. Poznamenejme zde, že z definice elipsy platí
|EM| + |FM| = d, kde d je reálná konstanta, a protože |EM| = |E′
M|, platí také
|E′
M| + |FM| = |E′
F| = d.
Součet |EN| + |FN| se nicméně d nerovná, neboť |EN| + |FN| = |E′
N| + |FN| a
z trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku E′
NF plyne |E′
N| + |FN| > |E′
F| = d.
Bod N tedy na elipse ležet nemůže a přímka o má s elipsou společný pouze bod M.
1
Vnitřní úhly průvodičů bodu M jsou na ilustrativním obrázku vyznačeny červeně, vnější úhly modře.
2
Platnost věty pak plyne z toho, že má elipsa ve svém libovolném bodě jedinou tečnu. To považujeme
za zřejmé.
1
S FE
M
N
E′
e
o
Obrázek 1: Ilustrace důkazu věty
2