Kuželosečky – první Keplerův zákon
Zadání:
První Keplerův zákon říká:
„Planety se pohybují kolem Slunce po eliptických trajektoriích, v jejichž jednom
ohnisku je Slunce.“
Určete excentricitu a délky hlavní a vedlejší poloosy eliptické trajektorie Země užitím informací
na obrázku (záměrně zkresleném; vzdálenosti jsou uvedeny v milionech kilometrů).1
S
afel
(4. 7.)
perihel
(4. 1.)
slunovrat
(21. 12.)
slunovrat
(21. 6.)
rovnodennost
(20. 3.)
rovnodennost
(22. 9.)
147,105
152,100
147,176152,028
148,969
150,162
Řešení:
Perihel (resp. afel) je definován jako místo na trajektorii, kde je Země2
nejblíže (resp.
nejdále) Slunci. Protože se Slunce nachází v ohnisku elipsy, jsou afel a perihel její hlavní
vrcholy. Součet vzdáleností Slunce od Země v afelu a perihelu je proto dvojnásobkem délky
hlavní poloosy a a tedy
a =
152,100 · 106
km + 147,105 · 106
km
2
.
= 149,603 · 106
km.
1
Data v závorkách odpovídají roku 2022, vzdálenosti byly vyčteny z programu Stellarium (https:
//stellarium.org/cs/).
2
Obecně to však může být libovolné těleso.
1
SOafel perihel
a e
Obrázek 1: Vztah parametrů a a e k vzdálenosti Slunce–Země v afelu
Jak je patrné z obrázku 1 (bod O zde značí střed elipsy), součet délky hlavní poloosy a
a excentricity e je vzdáleností Slunce od Země v afelu. Tedy
e = 152,100 · 106
km − 149,603 · 106
km = 2,497 · 106
km.
Protože pro elipsu platí vztah a2
= b2
+e2
(kde b je délka vedlejší poloosy), určíme nyní
délku vedlejší poloosy:
b =
√
a2 − e2 .
= 149,582 · 106
km.
Poznámka. Pokud nyní obrázek ze zadání překreslíme tak, aby poměr velikostí poloos
odpovídal skutečnosti, je z něj vidět, že se trajektorie velmi podobá kružnici se Sluncem v
jejím středu.
S
afel
(4. 7.)
perihel
(4. 1.)
slunovrat
(21. 12.)
slunovrat
(21. 6.)
rovnodennost
(20. 3.)
rovnodennost
(22. 9.)
147,105
152,100
147,176
152,028
148,969
150,162
2