Kuželosečky – elipsa v architektuře
Zadání:
S elipsou se můžeme setkat také v architektuře. Sály s eliptickým půdorysem (popř. sály
stavěné jako elipsoidy) mají totiž velice specifické akustické vlastnosti, způsobené odrazem
zvukových vln od stěn sálu. Přesněji řečeno, mluví-li (nebo dokonce šeptá) někdo přímo
v ohnisku elipsy, je jeho hlas velice dobře slyšet v druhém ohnisku, a to i když je velmi
vzdálené. Na jiných, podobně vzdálených místech pak šeptající hlas tak dobře slyšet není.
Zvukové vlny, které vycházejí z jednoho ohniska, se totiž od stěn vždy odráží směrem k druhému
ohnisku (viz obrázek 1). Tato vlastnost je způsobena fyzikálním zákonem odrazu1
a tím, že spojnice ohnisek s bodem elipsy svírají s tečnou v tomto bodě stejný úhel.2
g
i
j
m
α
α
β
β
γ
γ
δ
δ
Obrázek 1: Odraz zvukových vln do druhého ohniska
Petr s Janou stojí v sálu s eliptickým půdorysem. Změřili si, že jeho nejdelší průměr měří
20 Honzových kroků a nejkratší průměr 12 Honzových kroků. Kam se nyní mají postavit
tak, aby každý stál v jednom ohnisku?
Řešení:
Protože ze zadání známe velikost hlavní a vedlejší poloosy (hlavní poloosa a má délku
10 kroků a vedlejší poloosa b má délku 6 kroků) a protože pro každou elipsu platí vztah
a2
= b2
+ e2
(kde e je excentricita elipsy), vypočítáme dosazením excentricitu:
e =
√
a2 − b2 =
√
102 − 62 = 8.
Ohniska se proto nachází na nejdelším průměru, a to 8 kroků od středu
elipsy (nebo také 2 kroky od zdi sálu).
1
Úhel odrazu je stejný jako úhel dopadu, přičemž dopadající i odražené vlnění leží v téže rovině.
2
Přesněji tuto vlastnost elipsy formulujeme a dokazujeme zde.
1
Poznámka. V angličtině se sálům s výjimečnými akustickými vlastnostmi říká „whispering
galleries“ (v doslovném překladu „šeptající galerie“). Samotné vlastnosti i jejich příčina se
však mohou lišit od námi popsaného příkladu.
Třeba ochoz v londýnské katedrále sv. Pavla vede po obvodu kupole s kruhovým půdorysem.
V případě, že je mluvící (nebo šeptající) člověk u zdi ochozu správně natočený,
pohybují se odražené zvukové vlny velmi blízko obvodu ochozu, a proto je možné hlas slyšet
i na vzdálených místech ochozu (viz obrázek 2 – poloha a směrová orientace mluvícího je
znázorněna modrou orientovanou úsečkou).
Obrázek 2: Šíření zvukových vln po obvodu sálu
V České republice můžeme sály s výjimečnými akustickými vlastnostmi najít např. na
zámku Humprecht v Sobotce nebo v kapli Památníku Mohyla míru v Praci.
Literatura
[1] Š. Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie. Academia, Praha 2022, str. 124
[2] Oliver Wright: Gallery of whispers. Physics World, 25(02), str. 31
2