Kuželosečky – eliptický kulečník
Poznámka. Tuto úlohu je lepší zařadit do výuky za úlohou o aplikaci elipsy v architektuře, kde si
žáci osvojí některé potřebné poznatky. Sami tak budou moci přijít na princip této úlohy.
Zadání:
Tomáš má pseudokulečníkový stůl ve tvaru elipsy o rozměrech uvedených na obrázku.
Své kamarády ohromuje tím, že kouli postaví na stůl, zaváže si oči, soustředí se a silným
šťouchem pošle kouli do díry. To se mu podaří vždy, bez ohledu na to, kam šťouch míří.1
• Kde přesně má Tomáš umístit kouli, aby se mu to pokaždé povedlo?
• Kolik různých drah může koule pro všechny možné směry urazit? Tyto dráhy určete.2
156 cm
144 cm
Řešení:
Aby trik fungoval, musí být díra i počáteční pozice koule v ohniscích elipsy. Princip pak
vyplývá ze zákona odrazu a z toho, že spojnice ohnisek s bodem elipsy svírají s tečnou
v tomto bodě stejný úhel.
Z informací v obrázku známe velikost hlavní poloosy a a vedlejší poloosy b. Můžeme
tak určit excentricitu e dosazením do vztahu a2
= b2
+ e2
, který platí v každé elipse:
e =
√
a2 − b2 =
√
782 − 722 cm = 30 cm.
Můžeme nyní odpovědět na první otázku – Tomáš musí kouli umístit do ohniska
elipsy, tj. na hlavní osu a 30 cm od středu (resp. 60 cm od díry).
Je zřejmé, že jestliže Tomáš pošle kouli do díry přímo (tj. bez odrazu), urazí koule
vzdálenost 2e, tj. 60 cm. Šťouch kterýmkoliv jiným směrem povede k odrazu od okraje
stolu směrem do díry. Z teoretických poznatků o elipse přitom víme, že pro každý bod X
1
Ilustrativní video: https://www.youtube.com/watch?v=Wm9rpG2R60s
2
Pro upřesnění – dráhou myslíme délku trajektorie, po které se koule do díry dostane.
1
elipsy s ohnisky E a F platí |EX| + |FX| = 2a. To však znamená, že při každém takovém
šťouchu urazí koule vždy stejnou vzdálenost, a to 156 cm.
Koule tedy může urazit dvě možné dráhy, a to 60 cm a 156 cm. Na obrázku 1
jsou znázorněny čtyři různé trajektorie kulečníkové koule – zatímco ta značená plnou čarou
měří 60 cm, každá ze tří trajektorií značených přerušovaně měří 156 cm.
E F
Obrázek 1: Možné trajektorie kulečníkové koule
2