Kuželosečky – určení polohy (průsečík přímky a hyper-
boly)
Zadání:
V krajině jsou rozmístěny tři přijímače P1, P2 a P3. Známé vzdálenosti zachycuje obrázek 1.
P1P2
P3
48 km 12 km
36 km
Obrázek 1: Zadání úlohy
Adamova turistická navigace vyšle signál ke všem třem přijímačům. Jestliže signál dorazí
k přijímači P2 o 80 µs později než k přijímači P1 a k přijímači P3 dorazí signál ve stejnou
dobu jako k přijímači P1, kde se Adam nachází? Polohu určete ve vhodně zavedené soustavě
souřadnic. Předpokládejte, že signál urazí 300 000 km za sekundu.
Řešení:
Nejprve v obrázku vhodně zvolíme kartézskou soustavu souřadnic. Volbu zdůvodníme
takto: protože se Adam nachází stejně daleko od P1 jako od P3, nachází se jeho poloha na
ose úsečky P1P3. A protože se nachází od P2 o danou vzdálenost1
dále než od P1, nachází se
jeho poloha také na větvi hyperboly h s ohnisky P1 a P2. Proto je výhodné umístit počátek
do středu úsečky P1P2, aby měla hyperbola h co nejjednodušší rovnici.
Označme tedy počátek soustavy O a položme jej do středu úsečky P1P2, kladný směr
osy x bude určovat polopřímka OP1 a kladný směr osy y zvolíme tak, aby byla druhá
souřadnice bodu P3 kladná. Jednotky na obou osách budou odpovídat vzdálenosti 12 km.
Situaci znázorňuje obrázek 2.
1
Tato vzdálenost odpovídá zpoždění signálu o 80 µs.
1
−2 −1 1 2 3
1
2
3
P1
O
P2
P3
x
y
Obrázek 2: Zavedení soustavy souřadnic
Označme neznámou polohu Adama A. Víme, že bod A leží na ose úsečky P1P3, proto
si tuto osu (označme ji o) vyjádříme parametricky:
o: X = SP1P3 + t · −→uo, kde SP1P3
5
2
; 3
2
a −→uo = (3; −1)
x = 5
2
+ 3t
y = 3
2
− t, t ∈ R.
Protože Adamův signál dorazí k přijímači P2 o 80 µs později než k přijímači P1, nachází
se Adam od přijímače P2 o 24 km (tedy dvě jednotky) dále než od přijímače P1. Jak bylo
řečeno dříve, množina všech bodů v rovině, které jsou od bodu P1 vzdáleny o dvě jednotky
více než od bodu P2, je jedna větev hyperboly h. Určeme její rovnici.
Jelikož jsou body P1 a P2 ohniska hyperboly h, je středem hyperboly bod O a její
excentricita e je rovna polovině |OP1|, tedy e = 2. Dále, protože je rozdíl |AP1|−|AP2| = 2
dvojnásobkem hlavní poloosy hyperboly, je hlavní poloosa a rovna 1. Velikost vedlejší
poloosy b vypočítáme dosazením do vztahu b =
√
e2 − a2 =
√
4 − 1 =
√
3. Můžeme tak
napsat rovnici hledané hyperboly
h : x2
−
y2
3
= 1.
Bod A leží na její „pravé“ větvi, tj. nutně musí být jeho první souřadnice xA > 0.
Vypočítejme nyní souřadnice průsečíků přímky o a hyperboly h – dosazením parametrických
rovnic úsečky do rovnice hyperboly tak dostáváme
2
5
2
+ 3t
2
−
3
2
− t
2
3
= 1
3 ·
5
2
+ 3t
2
−
3
2
− t
2
= 3
52t2
+ 96t + 27 = 0
Kořeny této kvadratické rovnice jsou t1 = − 9
26
a t2 = −3
2
. Dosadíme t do parametrických
rovnic:
x1 = 5
2
+ 3 · − 9
26
= 19
13
y1 = 3
2
− − 9
26
= 24
13
A1
19
13
; 24
13
x2 = 5
2
+ 3 · −3
2
= −2
y2 = 3
2
− −3
2
= 3
A2 [−2; 3]
Bod A2 však nevyhovuje podmínce xA > 0 (leží na druhé větvi hyperboly), tedy
dostáváme jedinou možnou Adamovu polohu, a to A 19
13
; 24
13
. Řešení je znázorněno
na obrázku 3.
19
13
24
13
P1
SP1P3
h
o
A
O
P2
P3
x
y
Obrázek 3: Řešení úlohy
Poznámka. Jestliže by Adam nebyl stejně vzdálený od přijímačů P1 a P3, řešit úlohu by znamenalo
hledat průsečíky větví dvou hyperbol. To je však pro zadanou polohu přijímačů nad rámec
středoškolské matematiky. Technické podrobnosti k metodě v obecném případě lze nalézt např. v
článku [1].
3
Literatura
[1] K. Fujii, Y. Sakamoto, W. Wang, H. Arie, A. Schmitz, S. Sugano: Hyperbolic Positioning
with Antenna Arrays and Multi-Channel Pseudolite for Indoor Localization.
Sensors 2015, 15(10), str. 25157–25175.
4