Kuželosečky – určení polohy (průsečík dvou hyperbol)
Zadání:
V krajině jsou rozmístěny čtyři přijímače P1, P2, Q1 a Q2 tak, že tvoří vrcholy deltoidu
s úhlopříčkami P1P2 a Q1Q2. Známé vzdálenosti zachycuje obrázek 1.
P2
Q2 Q1
P1
S
60 km 36 km
60 km
Obrázek 1: Zadání úlohy
Adamova turistická navigace vyšle signál ke všem čtyřem přijímačům. Jestliže signál
dorazí k přijímači P2 o 160 µs dříve než k přijímači P1 a k přijímači Q2 o 120 µs dříve než
k přijímači Q1, kde se Adam nachází? Polohu určete v souřadnicích ve vhodně zavedené
soustavě souřadnic. Dále předpokládejte, že signál urazí 300 000 km za sekundu.
Řešení:
Nejprve zavedeme vhodnou kartézskou soustavu souřadnic. Umístíme počátek soustavy O
do průsečíku úseček P1P2 a Q1Q2, kladný směr osy x bude určovat polopřímka OQ1 a
kladný směr osy y bude určovat polopřímka OP2 (viz obrázek 2). Jednotka na osách bude
shodná a bude odpovídat 6 km. Dostáváme tak P1[0; −5], P2[0; 5], Q1[6; 0] a P2[−4; 0].
−4 6
−5
5
P2
Q2 Q1
P1
S
O x
y
Obrázek 2: Zavedení soustavy souřadnic
1
Označme neznámou polohu Adama A. Protože Adamův signál dorazí k přijímači P2
o 160 µs dříve než k přijímači P1, nachází se Adam od přijímače P1 o 48 km dále než od
přijímače P1. Množina všech bodů v rovině, které jsou od bodu P2 vzdáleny o 8 jednotek
(odpovídajících vzdálenosti 48 km) více než od bodu P1, je jedna větev hyperboly h1 s ohnisky
P1 a P2 a středem O. Na této větvi pak musí ležet bod A a je zřejmé, že se jedná
o větev bližší bodu P2, tedy yA > 0.
Obdobně odvodíme, že se Adam nachází od přijímače Q1 o 36 km (tj. o 6 jednotek)
dále než od přijímače Q2, a proto bod A leží také na větvi hyperboly h2 s ohnisky Q1 a Q2
a středem v bodě S [1; 0]. Konkrétně se jedná o větev bližší bodu Q2, tedy xA < 1.
Určeme nyní parametry a středové rovnice obou hyperbol. Využijeme skutečnosti, že
rozdíl |AP1| − |AP2| (resp. rozdíl |AQ1| − |AQ2|) je dvojnásobkem velikosti hlavní poloosy
hyperboly a dále vztahu platného v každé hyperbole e2
= a2
+ b2
(kde e je excentricita a
a, b velikosti poloos).
Parametry hyperboly h1:
• excentricita e1 = |OP1| = 5;
• hlavní poloosa b1 = |AP2|−|AP1|
2
= 4;
• vedlejší poloosa a1 = e2
1 − b2
1 = 3.
Středová rovnice hyperboly:
h1 :
y2
16
−
x2
9
= 1
Parametry hyperboly h2:
• excentricita e2 = |SQ1| = 5;
• hlavní poloosa a2 = |AQ2|−|AQ1|
2
= 3;
• vedlejší poloosa b2 = e2
2 − a2
2 = 4.
Středová rovnice hyperboly:
h2 :
(x − 1)2
9
−
y2
16
= 1
Bod A je průsečíkem obou hyperbol, tedy je řešením soustavy dvou kvadratických rovnic
výše. Vyjádřeme z rovnice hyperboly h1 člen y2
16
a dosaďme do rovnice h2:
(x − 1)2
9
− 1 +
x2
9
= 1
(x − 1)2
− x2
− 18 = 0
−2x − 17 = 0
Jediné řešení je x = −17
2
, které vyhovuje dříve vyslovené podmínce xA < 1. Vypočteme
zbylou souřadnici dosazením do rovnice hyperboly h1:
y2
16
−
−17
2
2
9
= 1
y2
= 16 +
16
9
· −
17
2
2
y2
=
1300
9
2
Podmínce yA > 0 vyhovuje jediné řešení, a to y = 10
√
13
3
. Hledaný bod A má proto
souřadnice −17
2
; 10
√
13
3
. Řešení je znázorněno na obrázku 3.
P2
Q2 Q1
P1
A
S
O x
y
−17
2
10
√
13
3
Obrázek 3: Řešení úlohy
Poznámka. V praxi stačí k určení polohy tři přijímače rozmístěné libovolným způsobem v krajině.
Řešení takového obecného zadání je však mimo rámec středoškolské matematiky. Technické
podrobnosti k metodě lze nalézt např. v článku [1].
Literatura
[1] K. Fujii, Y. Sakamoto, W. Wang, H. Arie, A. Schmitz, S. Sugano: Hyperbolic Positioning
with Antenna Arrays and Multi-Channel Pseudolite for Indoor Localization.
Sensors 2015, 15(10), str. 25157–25175.
3