Kuželosečky – určení polohy (průsečík dvou hyperbol)
Zadání:
Na pobřeží jsou rozmístěny tři přijímače P1, P2, P3, které leží v jedné přímce. Známé
vzdálenosti zachycuje obrázek 1.
P2
P1
P3
24 km 9 km
Obrázek 1: Zadání úlohy
Lodní navigace vyšle signál ke všem čtyřem přijímačům. Jestliže signál dorazí k přijímači
P2 o 40 µs dříve než k přijímači P1 a k přijímači P3 o 20 µs později než k přijímači P1,
kde se loď nachází? Polohu určete v souřadnicích ve vhodně zavedené soustavě souřadnic.
Dále předpokládejte, že signál urazí 300 000 km za sekundu.
Řešení:
Nejprve zavedeme vhodnou kartézskou soustavu souřadnic. Umístíme počátek soustavy O
do středu úsečky P1P2, kladný směr osy x bude určovat polopřímka OP1 a kladný směr
osy y zvolíme tak, aby druhé souřadnice polohy na moři byly kladné (viz obrázek 2).
Jednotka na osách bude shodná a bude odpovídat 3 km. Dostáváme tak P1[4; 0], P2[−4; 0]
a P3[7; 0].
−4 4 7
P2 P1 P3
x
y
O
Obrázek 2: Zavedení soustavy souřadnic
Označme neznámou polohu lodi L. Protože se loď jistě vyskytuje na moři, platí pro její
druhou souřadnici yL > 0. Protože signál dorazí k přijímači P2 o 40 µs dříve než k přijímači
P1, nachází se Adam od přijímače P1 o 12 km dále než od přijímače P2. Množina všech
bodů v rovině, které jsou od bodu P2 vzdáleny o 4 jednotky (odpovídajících vzdálenosti
12 km) méně než od bodu P1, je jedna větev hyperboly h1 s ohnisky P1 a P2 a středem O.
Na této větvi pak musí ležet bod L a je zřejmé, že se jedná o větev bližší bodu P2, tedy
xL < 0.
1
Obdobně odvodíme, že se loď nachází od přijímače P3 o 6 km (tj. o 2 jednotky) dále než
od přijímače P1, a proto bod L leží také na větvi hyperboly h2 s ohnisky P1 a P3 a středem
v bodě S 11
2
; 0 . Konkrétně se jedná o větev bližší bodu P1, tedy xL < 11
2
. Připomeňme
však, že jsme v předchozím odstavci omezili xL na záporná čísla, která novou podmínku
splňují.
Určeme nyní parametry a středové rovnice obou hyperbol. Využijeme skutečnosti, že
rozdíl |LP1| − |LP2| (resp. rozdíl |LP3| − |LP1|) je dvojnásobkem velikosti hlavní poloosy
hyperboly a dále vztahu platného v každé hyperbole e2
= a2
+ b2
(kde e je excentricita a
a, b velikosti poloos).
Parametry hyperboly h1:
• excentricita e1 = |OP1| = 4;
• hlavní poloosa a1 = |LP1|−|LP2|
2
= 2;
• vedlejší poloosa b1 = e2
1 − a2
1 = 2
√
3.
Středová rovnice hyperboly:
h1 :
x2
4
−
y2
12
= 1
Parametry hyperboly h2:
• excentricita e2 = |SP1| = 3
2
;
• hlavní poloosa a2 = |LP3|−|LP1|
2
= 1;
• vedlejší poloosa b2 = e2
2 − a2
2 =
√
5
2 .
Středová rovnice hyperboly:
h2 : x −
11
2
2
−
4y2
5
= 1
Bod L je průsečíkem obou hyperbol, tedy je řešením soustavy dvou kvadratických rovnic
výše. Z rovnice hyperboly h1 dostáváme rovnost y2
= 3x2
− 12, kterou dosadíme do druhé
rovnice:
x −
11
2
2
−
4
5
· 3x2
− 12 = 1
x2
− 11x +
121
4
−
12
5
x2
+
48
5
− 1 = 0
28x2
+ 220x − 777 = 0
Řešením kvadratické rovnice dostáváme dvojici kořenů x1 = −21
2
a x2 = 37
14
, z nichž podmínce
xL < 0 vyhovuje pouze x1. Vypočteme zbylou souřadnici dosazením:
y2
= 3x2
− 12
y2
= 3 · −
21
2
2
− 12
y2
=
1275
4
Podmínce yL > 0 vyhovuje jediné řešení, a to y = 5
√
51
2
. Hledaný bod L má proto
souřadnice −21
2
; 5
√
51
2
. Řešení je znázorněno na obrázku 3.
2
P2 SP1 P3
xO
y
L
−21
2
5
√
51
2
h1
h2
Obrázek 3: Řešení úlohy
3
Poznámka. Technické podrobnosti k metodě lze nalézt např. v článku [1].
Literatura
[1] K. Fujii, Y. Sakamoto, W. Wang, H. Arie, A. Schmitz, S. Sugano: Hyperbolic Positioning
with Antenna Arrays and Multi-Channel Pseudolite for Indoor Localization.
Sensors 2015, 15(10), str. 25157–25175.
4