Domácí úkoly
Kvadratické formy
1. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru V4 je dána kvadratická forma F. Určete její normovanou
polární bázi, normální tvar rovnic, typ formy, signaturu a transformační rovnice přechodu k normovaným
polárním bázím.
F(x) = −2x2
1 − 6x2
2 − 2x2
3 − x2
4 − 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3 + 2x2x4 − 2x3x4
2. V ortonormální bázi na euklidovském vektorovém prostoru V3 je dána kvadratická forma G. Pomocí
ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy, ortonormální polární bázi a rovnice
transformace souřadnic, které převádí formu do kanonického tvaru.
G(x) = x2
1 + 2x2
2 + 2x2
3 − 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3
Kuželosečky v projektivní rovině
3. Určete rovnici kuželosečky, která prochází body A = (1, −1, −1), B = (0, 3, 1), C = (2, 2, 1), D = (3, 0, 1)
a E = (0, 1, −1).
(Vyzkoušejte si ověření vašeho výsledku v GeoGebře – převeďte homogenní souřadnice do afinních souřadnic,
zaneste body do GeoGebry a použijte funkci „kuželosečka daná pěti body“. V algebraickém okně pak
uvidíte rovnici kuželosečky.)
4. Je dána kuželosečka k: x2
1 +2x2
2 +2x2
3 +6x1x2 −2x1x3 +6x2x3 = 0 a bod A = (2; 2; 1). Určete bod polárně
sdružený k bodu A vzhledem ke kuželosečce k, který má třetí souřadnici nulovou.
5. Určete tečny kuželosečky k: x2
1 − 6x2
2 + 7x2
3 + 11x1x2 − 8x1x3 + x2x3 = 0, které prochází bodem M =
= (7, 6, −5). Určete také tečné body.
6. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ kuželosečky k, kanonickou rovnici a transformační
rovnice, které převedou rovnici do kanonického tvaru.
k: 3x2
1 − 4x2
3 + 2x1x2 − 4x1x3 − 4x2x3 = 0
Kuželosečky v afinní rovině
7. Určete střed kuželosečky k: x2 + 3y2 − 4xy − 2x − 3 = 0.
(Vyzkoušejte si ověření vašeho výsledku v GeoGebře – zadejte do příkazového řádku rovnici kuželosečky
a nechte si kuželosečku vykreslit.)
8. Určete asymptoty kuželosečky k: 4x2 + 9y2 − 36 = 0.
9. Určete dvojici sdružených průměrů kuželosečky k: 7x2 − 8y2 + 8xy + 26x − 16y − 17 = 0, z nichž jeden
má směrový vektor u = (1; 2).
10. Určete afinní typ kuželosečky, normální tvar rovnic, normovaný afinní polární repér a transformační rovnice
afinních souřadnic do normovaného afinního polárního repéru.
k: 9x2
+ 4y2
− 15xy + 9x + 6y − 18 = 0
11. Určete afinní typ kuželosečky, normální tvar rovnic, normovaný afinní polární repér a transformační rovnice
afinních souřadnic do normovaného afinního polárního repéru.
k: x2
+ 9y2
+ 6xy − 8y − 9 = 0
Malilinkatá nápověda k příkladu 11: Jako nový počátek volte libovolný průsečík kuželosečky s osou x.
Kuželosečky v euklidovské rovině
12. Určete osy a vrcholy kuželosečky k: x2 + 2xy + y2 − 3x − y − 4 = 0.
13. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
k: x2
+ 6xy + 9y2
− 4x − 2y + 4 = 0
14. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
k: 5x2
+ 6xy + 5y2
− 2x − 2y + 1 = 0
15. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
k: x2
+ 4xy + 4y2
− 2x − 4y + 4 = 0