Kuželosečky
1. Z bodu P jsou vedeny tečny ke kuželosečce k. Najděte rovnici přímky procházející body dotyku tečen.
a) k: 9x2 - 4xy + 6y2 + 6x - 8y + 2 = 0      P = [1, -1]
b) k: 2x2 - 4xy + 5y2 - 8x + 6 = 0 P = [1, -2]
c) : 3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0      P = [3,1]
2. V bodech průniku kuželosečky k s přímkou p jsou sestrojeny tečny ke kuželosečce k. Určete průsečík těchto tečen.
a) k: x2 + Gxy + y2 + 6x + 2y — 1 = 0        p:x + 3y + l= 0
b) k: 2x2 — 4xy + y2 — 2x + Qy — 3 = 0      p: x — 3 = 0
c) k: x2 — 2xy + y2 +2x — 6y = 0 p:3x — y + 6 = 0
3. Na přímce d určete bod G polárně sdružený s bodem H vzhledem ke k.
a) k: 9x2 + 24xy + 16y2 - 40x + 30y = 0       d:4x + 3y-12 = 0 H
b) k: x2 - 6xy + 9y2 - 12x + Uy - 7 = 0      d:4x-y + 30 = 0 H
4. Bodem M veďte tečny ke kuželosečce k.
a) k: 2x2 - xy - y2 - 15x - 3y + 18 = 0      M = [-2,1]
b) k: x2 - xy - y2 - 2x + 2y + 1 = 0 M = [4,-2]
5. Ke kuželosečce k sestrojte tečny rovnoběžné s přímkou p.
a) k: 3x2 + 2xy - y2 + Qx + 4y - 3 = 0      p: 4x + y + 8 = 0 h) k: x2 - xy - y2 - 2x + 2y + 1 = 0 p: 2x + 2y - 1 = 0
6. Určete rovnici kuželosečky k procházející zadanými body.
a) [1,1], [5,3], [-3,-1], [2,-3], [1,-1]
b) [0,1], [1, 0], [1, —1], [—1,1] a nevlastním bodem určeným směrem (1,1)
7. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body: [5,3], [2, —3], [1, —1] a dotýká se přímky t: x-2y + l= 0v bodě T = [1,1].
8. Určete společný průměr kuželoseček k\ a k^.
k\: x2 — xy — y2 — x — y = 0      &2 : x2 + 2xy + y2 — x + y = 0
9. Určete průnik kuželoseček k\ ak^.
k\: 2x2 — 3xy + 2y2 — 2x — 2y = 0 &2 : 5x2 + 16xy + 5y2 — 5x — 5y = 0
fci: 4x2 - 12xy + 9y2 + 4x - 6y + 1 = 0      fc2 : 2x2 + xy - 6y2 - 5x + lly - 3 = 0
= [0,0] = [5,1]
10. Určete sdružené průměry kuželosečky k: 2x2 — 6xy + 5y2 + 22x — 36y + 11 = 0 tak, aby jeden z nich procházel bodem M = [7,11].
11. Nalezněte všechny středy kuželosečky k.
a) k: 29x2 + 24xy + 36y2 + 34x - 48y - 139 = 0
b) k: 25x2 - Wxy + y2 + lOx - 2y - 15 = 0
c) k: x2 - 2xy + y2 - 10 x - 6y + 25 = 0
12. Určete asymptoty kuželosečky k.
a) k: x2 — 5xy + 6y2 — 2x + 1 = 0
b) : 5x2 + 26xy + 5y2 - 16x + 16y - 88 = 0
13. Určete osy kuželosečky k.
a) : 6xy + 8y2 - 12x - 26y + 11 = 0
b) k: x2 - 2xy + y2+x-2y + 3 = 0
14. Najděte vrcholy kuželosečky k.
a) k: x2 — 3xy + y2 + 1 = 0
b) k: 16x2 + 24xy + 9y2 - 74x + 132y + 334 = 0
15. Pomocí transformace projektivních homogenních souřadnic určete normální rovnice a projektivní typ kuželosečky k. Určete transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky do normálního tvaru.
a) k: x\ + x\ + x\ + 2x\x?, = 0
b) k: 4x2 + x\ + x\ — Ax\X2 + 4xia?3 — 2x2X3 = 0
16. Pro zadané kuželosečky určete normální tvar rovnic, afinní typ, normovaný polární afinní repér a transformace afinních nehomogenních souřadnic, které převádějí danou rovnici kuželosečky do normálního tvaru.
a) k: x2 - 2xy + 2y2 - Ax - Qy + 3 = 0
b) k: 4x2 + lOxy + 5y2 - 2x - 4y + 3 = 0
c) k: x2 — 2xy + y2 — 4x — 6y + 3 = 0
d) k: x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 4 = 0
17. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete kanonickou rovnici a typ kuželosečky k. Určete také příslušné transformační rovnice.
a) k: 2x2 + Axy + 5y2 - 6x - 8y - 1 = 0
b) k: x2 - 2xy + y2-x-2y + 3 = 0
c) k: 16x2 - 24xy + 9y2 - 160x + 120y + 425 = 0
d) k: 5x2 - 2xy + 5y2 - 4x + 20y + 20 = 0
e) k: 19x2 + 6xy + lly2 + 38x + 6y + 29 = 0
f) : 7x2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 28 = 0
g) k:7x2 - 24xy - 38x + 24y + 175 = 0
h) k: x2 - 2xy + y2 - 12x + 12y - 14 = 0
18.    a) Geometrické místo bodů, které mají stejnou vzdálenost od roviny a bodu, který v této rovině neleží, je kvadrika. Jaká?
b) Která kvadrika hodnosti 3 je nestředová?
c) Co je průnikem dvojdílného hyperboloidu a jeho asymptotické roviny?
d) Průnik reálného elipsoidu a jeho tečné roviny je kuželosečka. Jaká?
e) Kolik vrcholů má hyperbolický paraboloid?
Kvadriky
1. Určete průnik kvadriky K s rovinou g.
a) K: 3x2 + Ay2 - 5z2 + 2xy - 3yz + 5x - 8 = 0        g: z = 0
b) K: x2 + y2 — 2xy + 5yz + xz — x + 3y — z = 0      g: y = 0
2. Určete tečné roviny kvadriky K rovnoběžné s rovinou g.
K: 4x2 + Qy2 + Az2 + Axz - 8y - Az + 3 = 0      g: x + 2y + 7 = 0
3. Pro kvadriku K určete tečné roviny obsahující osu y.
a) K: 5x2 - 8y2 + 5z2 + Qxz + Ax - 2z = 0
b) K: 5x2 - Ay2 + z2 + 2x - 6y - 3z = 0
4. Určete průměrovou rovinu cr kvadriky K rovnoběžnou s rovinou g.
K: 2x2 - 3y2 - z2 + Axy + Qxz - 8yz + 2x - 8y - liz - 2 = 0      g: 2x - y + 3z + 7 = 0
5. Najděte všechny středy kvadriky K.
a) K: Ax2 + 2y2 + 12z2 - Axy + 8yz + 12xz + 14x - 10y + 7 = 0
b) K: 5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - Qxz + 12x - 3Qz = 0
c) K: Ax2 +y2 + 9z2 - Axy - Qyz + 12xz + 8x - Ay + 12z - 5 = 0
6. Určete hodnost kvadriky K, je-li singulární určete množinu jejích singulárních bodů.
a) K: 2x2 - 3z2 + Axy + 2yz - 5xz - 8x - 12y + 17z + 6 = 0
b) K: x2 - 5z2 + 3xy + 2yz - 7x - Qy - 2z + 10 = 0
7. Určete normální rovnici a projektivní typ kvadriky K. Určete normovanou polární geometrickou bázi a transformaci projektivních homogenních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky do normálního tvaru.
a) K: 3x2 — 2x\X2 — 2x\x^ + 22x\x^ — hx\ + 6x2X3 — 42x2^4 — x\ + IOX3X4 — lQx\ = 0
b) : 3x2 + 8x1X2 + 8x1X4 + 4x2X3 — 4x2X4 + x| + I6X3X4 + llx| = 0
8. Určete rovnici asymptotického kužele zadaného hyperboloidu.
a) K: x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz + 6x2; + 2x - Qy - 2z = 0
b) K: 2x2 + 6y2 + 2z2 + 8xz - 4x - 8y + 3 = 0
9. Určete afinní typ a normální rovnici kvadriky K. Určete normovaný polární afinní repér transformaci afinních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky do normálního tvaru.
a) K: x2 + Ay2 + 5z2 + Axy - 12x + 6y - 9 = 0
b) K: x2 - 2y2 + z2 + 6yz - 4xz - 8x + lOy = 0
c) K: x2 + 25y2 + 9z2 - lOxy - 30yz + 6xz -2x -2y = 0
10. Určete hlavní směry, hlavní roviny, osy a vrcholy kvadriky K.
a) K \ x2 + y2 + 5z2 — 6xy + 2yz — 2xz — 6x + 6y — 6z + 9 = 0
b) K: x2 + y2 - 3z2 - 2xy - Qyz - Qxz + 2x + 2y + 4z = 0
11. Metodou invariantů určete kanonickou rovnici a typ kvadriky K.
a) K:2x2 -y2 +z2 +4x + 8y-4z-6 = 0
b) K: 4x2 + 5y2 + 6z2 - Axy + Ayz + Ax + Qy + Az - 27 = 0
c) K \ x2 + y2 + 5z2 — 6xy + 2yz — 2xz — 6x + 6y — 6z + 9 = 0
d) K: 5x2 + 8y2 + 5z2 + 4xy + 4yz - 8xz -27 = 0
Výsledky
Kuželosečky
1.	a)	p:	lAx - 12y + 9 = 0
	b)	p:	x — Qy + 1 = 0
	c)	p:	5x + y + 2 = 0
2.	a)	P	= [1,-1]
	b)	P	= [3,3]
	c)	P	= [-3,1]
3.	a)	G	= [1,2]
	b)	G	je libovolný bod přímky 4x — y + 30 =
4.	a)	t:	Ax + 5y + 3 = 0
	b)	h	:x + y- 2 = 0aí2:7x + 10y-8 = 0
5.	a)	h	: Ax + y - 1 = 0 a t2: 8x + 2y + 19 = 0
	b)	h	+ y — 2 = 0aÍ2:5x + 5y — 6 = 0
6.	a)	k:	2x2 - 3xy - 2y2 + x + 3y - 1 = 0
	b)	k:	x2 - 2xy + y2 + 3x + 3y - A = 0
7. 2x2 - 3xy - 2y2 + x + 3y - 1 = 0
8. p: 5x + 5y + 2 = 0
9. a) kuželosečky se protínají v bodech [0,1], [1, 0] a dotýkají v bodě [0, 0] b) kuželosečky se protínají v přímce p: 2x — 3y + 1 =0
10. p: x — y + A = 0aq: x — 2y + 7 = 0
11. a) jedinný vlastní střed S = [—1,1]
b) přímka středů s: 5x — y + 1 = O
c) jedinný nevlastní střed určený směrem (1,1)
12. a) u: x — 2y + 4 = 0& v: x — 3y — 6 = 0 b) u: 5x + y + 4 = 0 & v: x + 5y — 4 = 0
13. a) oi: x + 3y — 5 = 0 a o2 : 3x — y + 5 = 0 b) o: Ax - 4y + 3 = 0
14. a) Vi[l,l], F2 = [-l,-l], F3 b) V = [1,-2]
5  ' 5
5   ' 5
15. a) y\ + y\ = 0; dvojice komplexně sdružených přímek; x\= y\— y3, x2 = y2, x3 = ž/3 b) y\ = 0; dvojnásobná přímka; Xí = y2, x2 = yi + 2y2 + y3, %3 = V3
16. a) x'2 +y'2 -1=0; reálná elipsa; P = [7, 5], ex = (-y/26, 0), e2 = (726, 726);
x = v%6x' + v^y' + 7, y = V26y' + 5 b) x'2 _ y'2 + ]_ = 0. hyperbola; p = [i, _|]) ei = (0) |}) e2 = (_4^ __4_);
4 „7  ,  t   „, _ 4^./     _4_„/ 3
5
x = 7Ey' + l,y = -5x'--5y'
c) x'2 - 2y' = 0; parabola; P = [-i f ], ei = (1, 0), e2 = (±, i);
d) x'2 — 1=0; reálné rovnoběžky; P = [—1,0], ei = (\/5, 0), e2 = (—1,1);
x = y/Ex' — y' — 1, y = y'
17-a) if + ¥ -1 = °;reálná eliPsa;x = -\tex' + ^y' + hy = \tex' + 7^ + 1
b) x'2 + ^äy1 = 0; parabola x = -fex' + -j^y' + f§, y = --^x' + -J^y' + g
c) x'2 + 1=0; komplexní rovnoběžky; x = |x' — |y' + 5, y = |x' + |y'
d) 3x/2 + 2y/2 = 0; imaginární různoběžky x = -^x' —       ■> V = ~^2X'    "73^' ~~ ^
e) x/2 + 2y/2 + 1 = 0; imaginární elipsa; x = ~^x' + -j=ž/ - 1, y = ~-^x' + ~^v'
f) 4x/2 - y/2 = 0; různoběžky; x = -i=x' + -k=y' - 2, y = -4=x'--%=y'
cr\ — "Síl. _l_ 1   — O- kmorhnlo-  T* — á „,/   i    3.7   ,1 _ _ 3 „,/   , 4,7
9      16 + 1 = 0; hyperbola; x = |x' + |y' + 1, y = -|x' + |y' - 1
^ + ^ + 6,1, = -^ + ^
h) x/2 — 25 = 0; reálné rovnoběžky; x = -j^x' -\—\=y' + 6, y = —\=x' + -j=y'
18. a) rotační paraboloid
b) válcová plocha
c) singulární kuželosečka (přesněji komplexně sdružené přímky)
d) komplexně sdružené přímky
e) jeden
Kvadriky
1. a) elipsa 3x2 + 4y2 + 2xy + 5x — 8 = 0
b) dvě různoběžky p: x + z = 0, y = 0; q: x — 1=0, y = 0
2. n : x + 2y - 2 = 0, r2 : x + 2y = 0
3. a) r: 2x — z = 0
b) ti : x = 0, r2 : 41x + 12z = 0
4. cr: 2x - y + 3z - 2 = 0
5. a) jedinný vlastní střed S = [—1, |, O]
b) přímka středů s: 2x — 3y = O, y — 2z + 4 = O
c) rovina středů g: 2x — y + 3z + 2 = O
6. a) hodnost 2, přímka singulárních bodů [1 + 2t, 6 — 7i, 4 — 4i] b) hodnost 3, jedinný singulární bod [2,1,0]
7. a) y\ — y\ = 0; dvojice reálných rovin;
b) y\ + y| ~~ v\ = 0; reálná kuželová plocha;
8. a) x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz + Qxz + 2x - Qy - 2z + 1 = 0 b) x2 + 3y2 + z2 + Axz - 2x - Ay + 1 = 0
9. a) eliptický paraboloid; x'2 + y'2 + 2 z' = 0;
např. P = [3, §, 0], ei = (1, 0, 0), e2 = (0, 0, ^=), e3 = (-^, ^, 0);
* = x' " T5Z' + 3' 2/ = T5Z' + §> * = TH^'
b) jednodílný hyperboloid; x'2 — y'2 — z'2 + 1 = 0;
napr. S =      3, i], ei = (^.O, e2 = (2^5, ^, e3 = (0,0,
-=#»'++*»=+3.«=+++é
c) parabolická válcová plocha; x'2 + 2z' = 0; např. P = [0,0,0], ei = (L-h,0), e2 = (5,1,0), e3 = (-1,0, ±;
6'    {3>^7>^ > w7>    -J      V      '     3 7'
x = ^x' + 5y' - z', y = -^x' + y', z = \z'
10. a) hlavní směry: (1,1, 0), (1, -1,1), (1, -1, -2)
hlavní roviny: x + y = 0, x — y + z — 3 = 0, x — y — 2z = 0 osy: [1 +í,-l +í,l], [l+í,-l-í,l+í], [l+í,-l-í,l-2í] vrcholy: [1, —1,1] b) hlavní směry: (1, -1, 0), (1,1, -1), (1,1, 2)
hlavní roviny: x — y = 0, x + y — z = 0, x + y + 2z — 1 = 0 osy: [l + ŕ, l - ŕ, l], [I + t, l + t, l - t], [l + í, l + í, l + 2í'
vrcholy: [0,0,0], [U,§], FšW,^], [HW,¥]>
ri+3t i-3i ii
L   6   '    6   ' 3J
11. a) dvojdílný hyperboloid 2x'2 + y'2 - z'2 + 4 = 0
b) reálný elipsoid 8x/2 + 5y'2 + 2z/2 - 32 = 0
c) reálná kuželová plocha 3x'2 + 6y12 — 2z'2 = 0
d) reálná rotační válcová plocha x'2 + y'2 — 3 = 0
1-3»   1+3» i 6  '   6  ' 3