PODOBNÉ TROJÚHELNÍKY (2 cvičení)
(1) Vlastnosti středních příček trojúhelníku jsme dříve dokázali pomocí vět
o shodnosti ∆. Ukažte nyní, jak snadno plynou z vět o podobnosti ∆.
(2) Je dán trojúhelník ABC. Dokažte, že pro vnitřní bod K strany AB a vnitřní
bod L strany AC platí KL BC, právě když oba poměry |AK| : |KB| a
|AL| : |LC| mají stejnou hodnotu.
(3) Úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku ABCD se protínají v bodě P. Dokažte,
že platí AB CD, právě když |AP| · |DP| = |BP| · |CP|.
(4) Dokažte, průsečík P úhlopříček lichoběžníku ABCD, v němž AB CD,
je středem té úsečky s krajními body na jeho ramenech, která prochází
bodem P rovnoběžně se základnami. Pak vyjádřete její délku pomocí délek
a = |AB| a c = |CD| (vyjde jejich harmonický průměr).
(5) Je dán trojúhelník ABC a kladná reálná čísla p, q. Body K a L leží po řadě
na stranách BC a AC tak, že |BK| : |KC| = 1 : p a |AL| : |LC| = 1 : q.
Dokažte, že úsečka AK je úsečkou BL proťata v bodě M, pro který platí
|AM| : |MK| = (p + 1) : q. [Návod: Uvažte ještě bod N ∈ LC, pro který
platí KN BL.]
(6) Je dána kružnice k(S, r) s průměrem AB a tečnou t v bodě A. Vypočtěte
poloměr R té kružnice l(O, R) s neznámým středem O na kružnici k, která
prochází bodem B a dotýká se přímky t. [Návod: Užijte jednu z Eukleidových
vět pro trojúhelník ABO k sestavení rovnice pro hledaný poloměr R.]
(7) Z úseček daných délek a, b, c, d sestrojte úsečky délek
a) a2 + b2 + 2c2, b)
a
√
a2 − b2
c
(a > b), c)
a2
b
cd
,
d)
√
ab + cd, e) a
4
√
2.
[Návod: Využijte toho, že a 4
√
2 = a
√
2 · a.]
(8) Ukažte, že rovnosti v2
= ca ·cb a a2
= ca ·c z Eukleidových vět jsou důsledky
obecného poznatku o mocnosti bodu ke kružnici.
(9) Nechť BP a CQ jsou výšky ostroúhlého trojúhelníku ABC. Dvojím způsobem
dokažte podobnost △APQ ∼ △ABC, a to užitím úhlů, resp. mocnosti.
(10) Dvě tětivy AB, CD téže kružnice se protínají v bodě M. Dokažte rov-
nost
|AC| · |AD|
|AM|
=
|BC| · |BD|
|BM|
. [Návod: Zlomky
|AC|
|BD|
a
|AD|
|BC|
vyjádřete
z dvojic podobných trojúhelníků a pak je mezi sebou vynásobte.]
(11) V kružnici opsané trojúhelníku ABC sestrojme libovolnou tětivu CN, která
protne stranu AB ve vnitřním bodě, který označíme M. Dokažte, že rovnost
|CM| · |CN| = |AC|2
nastane právě v případě, kdy |AC| = |BC|. [Návod:
Rovnost upravte na |CM| : |CA| = |CA| : |CN| a pak uvažte dva vhodné
trojúhelníky.]
Konec dokumentu
Typeset by AMS-TEX