logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Hřebíček, J. Kalina
Analýza neurčitosti
Analýza citlivosti
6. Nejistota
E3101 Úvod do matematického modelování

logo-IBA logomuni
—Neurčitost chápeme jako vlastnost systému, který nelze přesně matematicky popsat nebo kdy
matematický popis neumožňuje dostatečně přesně predikovat jeho budoucí chování.
—Zdrojem neurčitosti je nedostatek informací. Informace, ze kterých při tvorbě modelu vycházíme,
mohou být nekompletní, vzájemně si odporující, nespolehlivé, vágní nebo jinak nedostačující.
—Neurčitost lze rozdělit do následujících kategorií:
¡neurčitost v matematickém popisu modelu,
¡Neurčitost v datech,
¡neurčitost v aplikaci modelu.
¡
Neurčitost v matematickém modelování

logo-IBA logomuni
—Neurčitost v matematickém popisu modelu je výsledkem nedostatečné znalosti chování modelovaného
systému, neúplných exaktních dat, či zjednodušení, které bylo nutné provést pro matematický popis.
Také bývá označována jako strukturální (konstrukční) chyba, konceptuální chyba, neurčitost v
konceptuálním modelu, nebo chyba/neurčitost modelu
—Neurčitost v datech je způsobena chybami měření, nepřesností analytických metod a omezeným
množstvím vzorků při sběru a zacházením s daty.
Datovou neurčitost někdy nazýváme odstranitelnou neurčitostí, neboť je možné ji dalším studiem
(měřením) minimalizovat. Speciálně pro tento druh neurčitosti používáme v češtině termín nejistota.
—Neurčitost v aplikaci modelu vyjadřuje neurčitost (chybu), která vznikne použitím modelu. V tomto
případě se jedná zejména o řešení matematických rovnic popisujících model pomocí nástrojů ICT.
Typicky jde o chybi v numerické reprezentaci, při využití přibližných řešení apod.
Neurčitost v matematickém modelování

logo-IBA logomuni
—Analýza neurčitosti (nejistoty ) je proces kvantifikace nejistoty na výstupu modelu v závislosti
na nejistotách jak vstupů modelu, tak samotné struktury modelu. Uplatňuje se více technik, např.
intervalová aritmetika, fuzzy techniky, pravděpodobnostní analýza.
—Analýza citlivosti předpokládá, že některé informace jsou náhodné veličiny, nebo že některé
procesy jsou popsány náhodnými funkcemi.
¡Lokální analýza citlivosti se zabývá citlivostí výstupu na změny každého ze vstupů samostatně.
Obvykle jde o parciální derivaci modelu (pokud lze analyticky zjistit).
¡Globální analýza citlivosti se zabývá celkovou citlivostí modelu na změny vstupů v rámci množiny
všech variant vstupů.
Modelování nejistoty (neurčitosti) a rizika

logo-IBA logomuni
Modelování nejistoty (neurčitosti) a rizika


logo-IBA logomuni
Inverzní problém
—Určení vstupních parametrů modelu, které neznáme, při znalosti výstupních hodnot (naměřených dat).
—Nazývá se inverzní, protože známe výsledek modelovaného procesu, ale neznáme počáteční stav.
—Opakem je dopředný problém, kdy známe vstupy (parametry) a chceme zjistit výstupy (data).
—Data bývají zatížena chybami, které mohou ztěžovat určení parametrů modelu.
—Inverzní problémy jsou typicky špatně postulované (ill-posed).

logo-IBA logomuni
Příklad
—Uvažujme diskrétní stochastický model z prvního domácího úkolu.
—Budeme znát pouze počty jedinců v prvních deseti generacích a máme odvodit pravděpodobnost se
kterou se za časovou jednotku jedinec rozmnoží (pB-pD).
—Proveďte výpočet v R včetně stanovení 95% intervalu spolehlivosti pro odhad koeficientu růstu r.

logo-IBA logomuni
Dobře/špatně postulovaný problém
—Well posed × Ill posed problems.
—Říkáme, že problém je dobře postulovaný pokud splňuje Hadamardovu definici (3 podmínky):
¡existuje řešení problému;
¡toto řešení je jednoznačné;
¡vlastnosti řešení se mění spojitě se vstupními parametry.
—Inverzní problémy jsou typicky špatně postulované, mohou trpět numerickou nestabilitou díky
diskretizaci, nepřesnosti v datech apod.
—I když je problém dobře postulovaný, může být stále špatně podmíněný.

logo-IBA logomuni
Dobře/špatně podmíněný problém
—Well conditioned × Ill conditioned problems.
—Za dobře podmíněný problém považujeme problém s nízkou podmíněností (číslem podmíněnosti), za
špatně podmíněný problém považujeme problém s vysokou podmíněností.
—Podmíněnost udává, jak moc závisí změny modelových výstupů na (malých) změnách modelových vstupů.
—Podmíněnost je mírou citlivosti modelu na chyby ve vstupních hodnotách.
—Podmíněnost (číslo podmíněnosti) je definována jako maximální poměr relativní chyby výstupů a
vstupů modelu.

logo-IBA logomuni
Dopředná a zpětná stabilita


logo-IBA logomuni
Dopředná a zpětná stabilita
f
y
x*
y*
Δx
Δy
f
f*
x
vstupní data modelu
řešení modelu
řešení s chybou
dopředná chyba
zpětná chyba
vstupní data zatížená chybou
optimální model
numerický model

logo-IBA logomuni
Číslo podmíněnosti


logo-IBA logomuni
Monte Carlo modelování (DÚ 3 do 23. 11. 2023)
—Využijte spojitý deterministický model se zahrnutím úživnosti prostředí (hodnotu úživnosti zvolte
dle vlastního uvážení tak, aby K > 0).
—Generujte náhodně koeficient porodnosti pB a koeficient úmrtnosti pD jako normálně (gaussovsky)
rozdělené náhodné veličiny se středy v hodnotách 0,35 a 0,25 a směrodatnou odchylkou 0,05.
—Proveďte 10 000 simulací s počáteční hodnotou N0 = 100 jedinců.
—Vykreslete histogram výsledného počtu jedinců v populaci po 10 generacích.
—Vykreslete časový vývoj velikosti populace (vykreslete všech 10 000 řešení do jednoho grafu, lze
využít průhledných čar).