Jak kreslit grafy funkcí
1 Z druhé strany papíru s předchozími úlohami jsou dvě kolmé osy s pár vyznačenými čísly.
Vemte si folii s načmáranou parabolou a položte ji tak, aby znázorňovala následující funkce:
1. 𝑥2
; 2. 𝑥2
+ 1; 3. 1 − 𝑥2
; 4. (𝑥 + 1)2
; 5. 2 − (𝑥 − 1)2
; 6. ±√𝑥 ; 7. 2 ± √𝑥 − 1 .
Co by bylo potřeba udělat s touto folií, abyste obdrželi funkci 8. 2𝑥2
? (Nezkoušejte to ale prosím!)
2 Obecně: jestliže znáte graf funkce 𝑓(𝑥), jaké s ním musíte udělat operace, abyste dostali funkce:
1. 𝑓(𝑥) + 𝑐; 2. 𝑓(𝑥 + 𝑐); 3. −𝑓(𝑥); 4. 𝑓(−𝑥); 5. 𝑎𝑓(𝑥); 6. 𝑓(𝑎𝑥).
(Zde 𝑎 > 0 a 𝑐 jsou reálné konstanty.)
3 Načrtněte grafy funkcí: 1. 1
𝑥, 1
𝑥−2 a 1
𝑥 + 1
𝑥−2; 2. 1
𝑥−1, 1
𝑥+1 a 1
𝑥2−1.
4 Načrtněte grafy funkcí 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = −𝑥. Jaký úhel tyto přímky svírají s vodorovnou osou? Pak
načrtněte grafy funkcí 𝑦 = 2𝑥 a 𝑦 = 3𝑥.
Kvadratické funkce
5 Opět se chopte folie s parabolou a položte ji na graf na předchozím papíru tak, aby vznikla
kvadratická funkce, která: 1. nemá žádný kořen; 2. má dva kořeny; 3. má jeden dvojnásobný
kořen (jsou míněny kořeny v reálných číslech).
6 Řešte rovnice: (a pozor: pokud kořeny existují, pak jsou dva!)
1. 𝑥2
= 4; 2. (𝑥 + 2)2
= 9; 3. −2(𝑥 − 1)2
= −8; 4. (𝑥 − 3)2
= −1.
Jakmile dokážeme přepsat kvadratický trojčlen do tvaru jako v předchozí úloze (tj. 𝑎(𝑥+𝑏)2
+𝑐
pro některé 𝑎, 𝑏, 𝑐), je už nalezení kořenů snadné. Teď se ten způsob naučíme. Tomu se říká doplnění
na (úplný) čtverec.
7 Ověřte si, že se dá psát:
1. 𝑥2
+ 4𝑥 + 7 = (𝑥 + 2)2
+ 3; 2. 𝑥2
− 2𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)2
− 3; 3. 2𝑥2
− 4𝑥 = 2(𝑥 − 1)2
− 2;
4. −𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = − (𝑥 − 3
2)
2
+ 13
4 .
8 Sami zkuste do tohoto tvaru přepsat následující polynomy:
1. 𝑥2
− 6𝑥 + 8; 2. −2𝑥2
+ 3𝑥 − 5. 3. −𝑥2
− 9;
9 V rovnici 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 doplňte vlevo na čtverec. Výslednou rovnici pak řešte stejně jako
v úloze 6. Napište, kdy přesně má rovnice 0 a kdy 2 reálné kořeny. Měli byste dostat profláklé vzorce ze
základní školy.
10 Pokud jste si na minulém papíře nevyřešili úlohu 9, vyřešte si teď aspoň první bod a objevte
Viètovy vztahy pro kvadratický polynom.
11 Mějme rovnici 𝑥2
+ 2𝑥 − 143 = 0. Ta má kořeny 𝑟1 a 𝑟2, které neznáte. Bez počítání kořenů
zjistěte následující:
1. 𝑟1 + 𝑟2; 2. 𝑟1 𝑟2; 3. 1
𝑟1
+ 1
𝑟2
; 4. (𝑟1 + 𝑟2)2
; 5. 𝑟2
1 + 𝑟2
2 ; 6. (𝑟1 − 𝑟2)2
.
(První dva body zjistíte přímo podle Viètových vztahů. Zbylé vykombinujte z prvních dvou.)
12 Mějme rovnici 𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Z Viètových vztahů získejte součet 𝑟1 + 𝑟2 a také čtverec
rozdílu (𝑟1 − 𝑟2)2
. Pak můžeme využít toho, že 𝑟1 = 1
2[(𝑟1 + 𝑟2) + (𝑟1 − 𝑟2)] = 1
2[(𝑟1 + 𝑟2) ± √(𝑟1 − 𝑟2)2 ]
a zase byste měli dostat známý vztah.
13 S pomocí Viètových vztahů nalezněte dvě čísla, jejichž součet je 19 a součin 60.
Absolutní hodnoty
14 Nakreslete si graf funkce |𝑥|. Potom si nakreslete grafy následujících funkcí:
1. |𝑥| + |𝑥 + 2|; 2. |𝑥 − 1| − |𝑥 + 2|; 3. |𝑥| − |𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 1|.
15 S pomocí obrázků z předchozí úlohy řešte následující rovnice a nerovnice:
1. |𝑥| + |𝑥 + 2| = 4; 2. |𝑥 − 1| + |𝑥 + 1| = 1; 3. |𝑥 − 1| − |𝑥 + 2| = 2;
4. |𝑥| − |𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 1| = 3; 5. |𝑥 − 1| − |𝑥| + 2|𝑥 − 2| < 2.
Nerovnosti
16 Řešte kvadratické nerovnice:
1. 𝑥2
> 0; 2. 1 − 𝑥2
< 0; 3. 2𝑥2
− 3𝑥 + 1 < 0; 4. 𝑥2
− 5𝑥 > −6.
17 Řešte následující nerovnosti:
1. 1
𝑥−1 > 1
𝑥−2; 2.
𝑥(𝑥−1)
(𝑥+1)(𝑥+2)
< 0; 3.
𝑥2
(𝑥−2)
(𝑥+1)2(𝑥−1)3 > 0.