O polynomech obecně
1 Sečtěte polynomy 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥); určete stupně 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) i součtu:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥4
− 3𝑥2
+ 9𝑥 − 16; 𝑔(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 9;
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥5
− 3𝑥4
+ 4𝑥3
− 5𝑥2
; 𝑔(𝑥) = 𝑥4
− 2𝑥3
+ 3𝑥2
.
2 Násobte polynomy 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) a opět určete stupně obou polynomů i jejich součinu:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 + 5; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 7; 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 − 2; 𝑔(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 1.
3 Dělte polynomy 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥). Opět určete stupně obou polynomů, a pokud je podílem polynom,
určete i jeho stupeň. 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥5
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 1;
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥7
+ 3𝑥6
− 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥4
− 𝑥 + 1.
4 Rozložte na součin: 1. 𝑥2
− 1; 2. 𝑥3
+ 8; 3. 𝑥4
− 1; 4. 𝑥4
+ 1; 5. 𝑥4
+ 𝑥2
+ 1.
5 Nechť 𝑓(𝑥) je polynom stupně 𝑛 a 𝑔(𝑥) polynom stupně 𝑘. Určete obecně, jaký stupeň budou
mít polynomy: 1. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥); 2. 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥); 3. 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) (za předpokladu, že je to polynom).
6 Dokažte, že dělíme-li polynom 𝑓(𝑥) faktorem 𝑥 − 𝑐, bude zbytek po tomto dělení roven 𝑓(𝑐).
(Dělení můžeme zapsat takto: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑔(𝑥) + 𝑟, kde 𝑔(𝑥) je podíl a 𝑟 zbytek. Položte 𝑥 = 𝑐.)
7 S pomocí předchozí úlohy dokažte, že polynom 𝑓(𝑥) má kořen 𝑐 právě tehdy, když je 𝑓(𝑥)
dělitelné beze zbytku faktorem 𝑥 − 𝑐. (Musíte dokázat oba směry!)
8 Napsal jsem si důkaz, že každý polynom 𝑓(𝑥) může mít nanejvýš tolik rozličných kořenů,
kolik je jeho stupeň, ale kočka mi ho nějak rozdrápala a zůstalo z něj jen tohle:
Řekněme, že polynom 𝑓(𝑥) stupně 𝑛 by měl 𝑝 > 𝑛 rozličných kořenů 𝑥1,
𝑥2,…, 𝑥𝑝. Pak musí být dělitelný polynomy až 𝑥 − 𝑥𝑝,
tzn. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) 𝛲(𝑥), kde 𝛲(𝑥) je nějaký polynom
stupně 𝑟 ≥ 0. Polynom vlevo má stupeň 𝑛, zatímco ten vpravo má stupeň
> 𝑛, a to je spor. ■
Doplňte důkaz tak, aby dával smysl.
9 Dokažte, že pokud se dva polynomy stupně 𝑛 shodují v 𝑛+1 bodech, pak musí být úplně stejné.
(Jejich rozdíl je taky polynom stupně 𝑛 a v bodech, kde se polynomy shodují, má kořeny.)
10 Ukažte, že pokud má polynom stupně 𝑛 právě 𝑛 rozličných kořenů 𝑥1, 𝑥2, až 𝑥𝑛, pak musí jít
zapsat ve tvaru
𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛),
kde 𝑎 je konstanta.
11 S pomocí výsledku předchozí úlohy můžeme přijít na některé docela zajímavé vztahy:
1. Uvažme kvadratický polynom se dvěma kořeny 𝑟1, 𝑟2. Ten se musí dát napsat jako 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2).
Roznásobením závorek ukažte, že vznikne polynom 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, kde −𝑏/𝑎 = 𝑟1 + 𝑟2 a 𝑐/𝑎 = 𝑟1 𝑟2.
2. Zkuste totéž s kubickým polynomem s kořeny 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3. Napište ho jako 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2)(𝑥 − 𝑟3)
a roznásobením dostanete 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥+ 𝑑, kde (doplňte) −𝑏/𝑎 = , 𝑐/𝑎 =
a −𝑑/𝑎 = .
3. Zkuste totéž s obecným polynomem stupně 𝑛 a kořeny 𝑟1, 𝑟2 až 𝑟𝑛. Po roznásobení dostanete výsledek
𝑎𝑥 𝑛
− 𝑎𝑆1 𝑥 𝑛−1
+ 𝑎𝑆2 𝑥 𝑛−2
− ⋯ + (−1) 𝑘
𝑎𝑆𝑘 𝑥 𝑛−𝑘
+ ⋯ + (−1) 𝑛
𝑎𝑆𝑛.
𝑆𝑘 jsou docela hezké funkce kořenů. Řekněte, jak je pomocí nich zapsat. Těmto výrazům, které popisují,
jak vypadají koeficienty polynomu v závislosti na jeho kořenech, se říká Viètovy vztahy.
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2