1 Máte provázek o délce 𝐿, jehož konce jsou svázány dohromady. Máte z něj vymezit obdélník
o co největší ploše. Jak to uděláte? Jaké budou jeho strany a jaká jeho plocha? (S pomocí Viètových vztahů
napište rovnici, jejíž dva kořeny budou strany obdélníka. Protože rovnice musí mít 2 reálné kořeny, musí
být 𝐷 ≥ 0.)
2 Vytvořte polynom stupně 𝑛, který má v zadaných bodech 𝑟1 až 𝑟𝑛 kořeny a v bodě 𝑟 hodnotu 1.
3 Chceme najít polynom 𝑓(𝑥), který by měl stupeň 𝑛 a v zadaných bodech 𝑥1 až 𝑥𝑛+1 by měl
zadané hodnoty 𝑎1 až 𝑎 𝑛+1 (tj. 𝑓(𝑥1) = 𝑎1 atd.)
1. Dokažte, že pokud se takový polynom najde, existuje jen jediný.
2. Vhodně zkombinujte polynomy, které jste vytvořili v předchozí úloze, a utvořte z nich polynom,
který bude mít 𝑓(𝑥1) = 𝑎1 atd. Z předchozího bodu víte, že to, co jste napsali, je jediný takový polynom.
Ten se nazývá Lagrangeův interpolační polynom.
4 Jstekapitán(ka)loděamátetajnouschránku,kteráseodemykákódem(tojeceléčíslo).Chcete,
aby v případě nouze mohli vaši schránku společně odemčít i tři lodní důstojníci, ale aby na to museli být
všichni (pokud by některý chyběl, nesmí být schopni ostatní získat o kódu žádnou informaci). Proto
se rozhodnete, že uděláte tajný polynom 𝛲 stupně 2 tak, že váš kód bude 𝛲(0).
1. Ukažte, že jsou-li známy hodnoty 𝛲(𝑎), 𝛲(𝑏), 𝛲(𝑐) ve třech různých nenulových bodech 𝑎, 𝑏, 𝑐, je 𝛲(0)
určeno jednoznačně. (Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom.)
2. Ukažte, že pokud budou známy pouze dvě funkční hodnoty 𝛲(𝑎) a 𝛲(𝑏) (𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 0), nelze vůbec nic
říci o tom, kolik je 𝛲(0). (Pro každou možnou hodnotu 𝛲(0) lze sestrojit L. i. p.)
3. Navrhněte, jak s pomocí tajného polynomu „zašifrujete“ kód 547 — napište kódy pro všechny tři
důstojníky a vysvětlete, jak je mají zkombinovat, aby Váš kód dohromady získali.
5 Řezník váží maso na rovnoramenných vahách. A protože jsou to váhy staré a blbé, nejsou už
ani moc rovnoramenné a jedno rameno je o něco delší než druhé. Řezník to ví a jelikož je poctivý, váží
maso takto: nejdřív dá maso na levou misku a na pravou dává závaží, pak to udělá obráceně, a výsledky
zprůměruje. Určete, jestli tak dostane správnou hmotnost masa. Pokud ne, koho tím šidí? Sebe, nebo
zákazníka? (𝑥 + 1
𝑥 = 𝑥 − 2 + 1
𝑥 + 2. První tři členy můžete napsat jako čtverec.)
6 Dvě železnice ve tvaru úsečky se křižují pod pravým úhlem. Na obou železnicích vyjedou ve
stejné chvíli z konečných stanic vlaky stálou rychlostí 𝑣 směrem k průsečíku. Kdy k sobě budou oba
vlaky nejblíž a jaká bude tato minimální vzdálenost, jestliže první vlak začíná ve vzdálenosti 𝑎 od průsečíku,
zatímco druhý začíná ve vzdálenosti 𝑏? (Zkuste doplnit na čtverec v proměnné 𝑡 (tj. v čase).)