Škola úpravy výrazu
V následujících úlohách Vám zkusím představit různé užitečné typy úprav a rovnou poskytnout jednoduché úlohy, na nichž byste si je mohli procvičit. Složitější výrazy pak často můžete upravit tím, že použijete těchto prvků několik po sobě.
Roznásobení. Mám-li součin součtu s čímkoli jiným, např. (a + b + c)x, můžu ho zapsat
jako součet, v němž je každý sčítanec postupně násoben tím druhým činitelem. Takže zde by to bylo ax + bx + cx. Funguje to pro libovolný počet sčítanců.
i. (a + b)(c + d); 2. (a + b)2 (tj. (a + b)(a + b)); 3. (a — b)2; 4. (a — b)(a — d) — (a + b)(a + d); 5. (a + b + i)(c +i) + {a + b- i)(i - c).
Vytknutí. Jde o opačný postup k roznásobení: vidím-li například ax + bx + cx, můžu x
„vytknout" a převést to zpět na součin (a + b + c)x. Občas je ale možného vytknutí trochu těžké si povšimnout.
i.ab+ac—2a; 2.x2y3+y2x3; 3. x2+ xxy -\-y2 (viz bod 2 předchozí úlohy); 4.ab+ac+bd+cd (vytkněte zvlášť z prvních a druhých dvou);     5. xy3 + yx3 + ix2y2.
3   Zkusíme přepsat na součin a2 — b2. Pomůžeme si trikem: doprostřed přidáme — ab + ab. To
je nula, takže tím se nic nezmění, ale pak máme a2 — ab + ab — b2. Vytkněte z prvních i druhých dvou členů a třetím vytknutím přepis na součin dokončete.
Krácení ve zlomcích. Přejdeme k počítání se zlomky. Jelikož zlomek je prostě podíl čitatele
a jmenovatele, je jasné, že pokud obojí násobíme týmž číslem, výsledek se nezmění. Proto můžeme stejný nenulový činitel v čitateli i jmenovateli odstranit. Třeba můžu psát a (č+d) = 7+ď — °bou a se
můžu zbavit. To funguje jen pro součiny!!
abc ab+ac a2+ab a^+za+i
a(b+cý bc+c2'      3* a2-b2'      4*    az-i '
ý    Rozšíření ve zlomcích. Je to opačný proces ke krácení — čitatele i jmenovatele zlomku
vynásobíme týmž nenulovým číslem. Upotřebíme ho často při zacházení s odmocninami společně se vztahem pro a2 — b2 ze čtvrté úlohy. V následujících bodech zkuste „usměrnit zlomky" — odstranit odmocniny ze jmenovatelů.
1 1 JW 1
6   Sčítání zlomků. Důležité je, že bezprostředně sčítat (a odčítat) se smí jen zlomky se stejným
jmenovatelem. Pak platí 7 + 7 = Upravte:
a2___zab    i      1 ab   . ac
„2_L2 „2_/,2     \      J,2_L2~1 2.   7, -|-
£2' o      * b+c \ b+c'
Pokud jsou jmenovatele různé, musíme oba zlomky rozšířit tak, aby se staly stejnými. Třeba takto: sčítáme-li | + |, rozšíříme druhý zlomek dvěma a dostaneme § + §• Zde už můžeme sečíst, protože
jsou jmenovatelé stejní, a dostaneme | = \.
a _      b_ a _|_ a        <£_i_£        /i i+x  ,   1—x
3- £ 4- £     c'     5- ^ i- ^;     o.      -t- 1+x.
Rozklad zlomku na součet. Jde o opačný proces ke sčítání. Pokud máme například ab^c,
____— t_i_£ ttv. KrccT rwr:
ab ab
můžeme to rozbít na součet dvou zlomků se stejným jmenovatelem: + ^ = 1 + ^. To NEFUNGUJE se jmenovatelem!!
1. gi7 (napište n - 1 = (n + 1) - 2);     2. ^± (zkuste obdobně);     3. (napište 1 = (n + 1) - «);
4. (využijte toho, že 3 = («2 + n + 1) - (n + z)(n - 1)).