1. Zadejte libovolnou přímku p v R3 dvěma body. Zapište její parametrické rovnice. Zapište obecně tuto přímku jako soustavu dvou lineárních rovnic.
2. Zadejte libovolnou rovinu g v R3 třemi body. Zapište její parametrické rovnice. Určete obecnou rovnici této roviny.
3. Rozhodněte o vzájemné poloze dvojice přímek:
a) p : x + y + z — l = 0,2x + 3y + 6z — 6 = 0 q : y + Az = 0, 3x + Ay + 7 z = 0
b) p : x = -1 + 3í, y = -3 - 2í, z = 2 - t q : x = 2 + 2í, y = -1 + 3í, z = 1 - 5í
c) p : x + y + z - 1 = 0, 2x + 3y + 6z - 6 = 0, q : y + Az = 0, 3x + Ay + 7z = 0,
d) p : x = -1 + 3í, y = -3 - 2í, z = 2 - í, q : x = 2 + 2í, y = -1 + 3í, z = 1 - 5í.
4. Rozhodněte o vzájemné poloze roviny a přímky:
a) g : bx — z — A = 0, p : 3x + by — 7z + 16 = 0, 2x — y + z — 6 = 0,
b) g : y + Az + 17 = 0, p : 2x + 3y + 6z - 10 = 0, x + y + z + 5 = 0.
5. Necht skalární součin vektorů a a b je roven velikosti jejich vektorového součinu.
a) Určete všechny úhly, které mohou vektory sad svírat.
b) Víte-li, že vektorový součin má směr osy z a vektor a má směr kladné osy x a navíc velikosti vektorů a & b jsou rovny jedné, zakreslete do obrázku všechny možnosti, které připadají v úvahu. Určete velikost \a x b\.
6. Určete vzdálenost bodu M = (1, 1, 1) od roviny určené bodem A = (0, 0, 0) a vektory u = (1,1, 0), v = (1, 0,1).
7. Jsou dány body A = (0,0,1), B = (0,1,0), C = (-1,1,2). Určete bod D ležící na ose x tak, aby rovnoběžnostěn ABC D měl objem 5 objemových jednotek.
10. Převed kuželosečku na normální tvar a zjisti, zda je to elipsa, hyperbola, parabola...:
a) x2 + 2x + y2 - y - 1 = 0
b) 2(x2 + y2) - 6x + 2y - 26 = 0
c) x2 + y2 - 3x + 7y + 12 = 0
d) 9x2 + Í6y2 + 6x - AOy + 25 = 0
e) x2 - 6x - Í2y + 57 = 0
f) x2 - Ay2 - 6x - 16y - 11 = 0