SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH MATEMATIKA MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH Obsah 1. Číselné obory.................................................................................................................3 2. Algebraické výrazy.........................................................................................................9 3. Rovnice a nerovnice......................................................................................................13 4. Funkce..........................................................................................................................19 5. Posloupnosti a finanční matematika..............................................................................25 6. Planimetrie....................................................................................................................30 7. Stereometrie..................................................................................................................39 8. Analytická geometrie.....................................................................................................46 9. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika................................................................52 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 1 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 2 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 1. Číselné obory 1 5 1 Vyznačte na číselne ose obrazy čísel - a -. 2 Na číselné ose vyznačte interval (2- n; n - 3) pro n = 5. -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-h 0 1 3 Najděte nejmenší přirozené číslo n, pro které existuje interval (2 - n; n - 3), a tento interval vyznačte na číselné ose. -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-h— 0 1 4 Vypočtěte, kolikrát větší je číslo 1017 než součet čísel 3,2 ■ 1015 a 8 ■ 10 \Í4 výchozí text a obrázek k úloze 5 U mapy je grafický převod vzdáleností na mapě a ve skutečnosti. 1 cm 0 7,5 km Měřítko mapy se vyjadřuje ve tvaru 1: x, tedy 1 cm na mapě představuje x cm ve skutečnosti. (CERMAT) 5 Uvedie měřítko mapy. 6 Vypočtěte: [104 - (8 ■ 104 - 73 ■ 103)]2 = Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 7 Vypočtěte, kolik korun je 5 setin procenta ze 2 miliard korun. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Auto vyjíždělo na cestu s polovinou nádrže. Po 100 kilometrech jízdy zbývala ještě třetina nádrže a při příjezdu do cíle jen pětina nádrže. Množství spotřebovaného paliva v nádrži je přímo úměrné ujeté vzdálenosti. _(CERMAT) 8 Vypočtěte, kolik kilometrů auto ujelo. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Podle jízdního řádu má být vlak za 10 minut ve stanici. K nádraží mu zbývá 32 km jízdy. Vlak za každé 2 minuty ujede 3 kilometry kromě posledního dvoukilometrového úseku, který mu trvá 5 minut. _(CERMAT) 9 Jaké předpokládané zpoždění se objeví na nádražní informační tabuli? A) žádné zpoždění B) 5 minut C) 10 minut D) 15 minut E) jiné zpoždění VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Firma si účtuje za vybavení kanceláře žaluziemi celkem 2 650 Kč. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kč dražší než jejich instalace. _(CERMAT) 10 Kolik procent z účtované částky tvoří instalace žaluzií? A) 42% B) 37,5 % C) 36% D) 32% E) 26,5 % Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Eva má hotovost 450 000 Kč a peněžní ústav jí nabízí roční termínový vklad s 3% roční úrokovou mírou. Před vyzvednutím částky se z úroku odpočítá státem stanovená daň ve výši 15 %. _(CERMAT) 11 Kolik korun bude z tohoto ročního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) 13 500 korun B) 2 250 korun C) 2 025 korun D) 1 000 korun E) jiná suma VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 Podle daňového sazebníku platného pro rok 2010 stál výrobek včetně 20% daně 6 000 korun. _(CERMAT) 12 Kolik korun by stál, pokud by byl zatížen pouze 10% daní? (Výsledek je zaokrouhlen na celé koruny.) A) 5 280 korun B) 5 400 korun C) 5 500 korun D) 5 700 korun E) 5 980 korun VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 Na trh se zavádí nový výrobek. V prvním týdnu se prodává za sníženou zaváděcí cenu. Pět výrobků pořízených za zaváděcí cenu stojí tolik jako tři výrobky koupené za běžnou cenu. Porovnávají se ceny přepočítané na jeden výrobek. _(CERMAT) 13 O kolik procent je zaváděcí cena za jeden výrobek nižší než běžná cena za jeden výrobek? A) více než o 30 % B) o 30 % C) o 20 % D) méně než o 20 % E) Bez uvedené ceny nelze požadovaný údaj určit. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Pan Novák si za večer vydělal o čtvrtinu víc než pan Dung. Pan Dung za večeři utratil 20 % svého výdělku, pan Novák utratil stejnou částku. (CERMAT) 14 Kolik procent svého večerního výdělku utratil pan Novák? A) 16 % B) 18 % C) 20 % D) 25 % E) jiné řešení VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 15 Celkem 960 obyvatel města odpovědělo v referendu na otázku, má-li radnice i nadále podporovat provoz kina a divadla. Jejich odpovědi jsou zaznamenány v následující tabulce. podporovat divadlo nepodporovat divadlo podporovat kino 200 540 nepodporovat kino 170 50 (CERMAT) 15 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (15.1-15.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). 15.1 Celkem 50 účastníků referenda odmítá jak podporu kina, tak i divadla. 15.2 Podpora provozu kina má dvakrát více příznivců než podpora provozu divadla. 15.3 Necelých 18 % účastníků referenda nechce podporovat provoz kina. 15.4 Asi 74 % účastníků referenda by rádo podpořilo pouze jeden zobou provozů. A N Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Ve fitcentru si vedou měsíční statistiky. Dvě pětiny návštěvníků chodí do fitcentra alespoň dvakrát týdně, osmina z nich dokonce denně. Čtvrtina návštěvníků chodí jedenkrát týdně. Každá dvacátá osoba se po první návštěvě fitcentra víckrát nevrátí. Zbytek návštěvníků chodí několikrát do měsíce, ale nepravidelně. _(CERMAT) 16 Přiřaďte ke každé otázce (16.1-16.4) odpovídající výsledek (A-F): 16.1 Kolik procent návštěvníků chodí do fitcentra alespoň dvakrát týdně? _ 16.2 Kolik procent návštěvníků chodí do fitcentra denně? _ 16.3 Kolik procent návštěvníků chodí do fitcentra pravidelně? _ 16.4 Kolik procent návštěvníků chodí několikrát do měsíce, ale nepravidelně? _ A) 5% B) 25% C) 30% D) 40% E) 65% F) jiná hodnota 17 Při radle ke každému zápisu s absolutní hodnotou (17.1-17.3) takové číslo a (A-E), aby po dosazení platila rovnost: 17.1 \a - 30| = 0 17.2 \a - 30| = a 17.3 a + 30 = - \a\ A) a = -30 B) a = -15 C) a = 15 D) a = 30 E) jiné číslo Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝSLEDKY ÚLOH - Číselné obory 1 0 12 5 2 3 6 2 -1-1-1-í-1-1-1-1-1-1-1-1-r— -3 0 12 3 n = 3 ^ q -1-1-1-1-1-4—l-1-1-1-1-1-r— -1 0 1 4 25krát 5 1 : 50 000 6 9 000 000 7 1 000 000 8 180 km 9 D 10 D 11 C 12 C 13 A 14 A 15 ANO, ANO, NE, ANO 16 D, A, E, C 17 D, C, B Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 2. Algebraické výrazy 1 Vytkněte a rozložte na součin: 3y2 _ 12 = 2 Proveďte: (3x2 - 12)2 = 3 Proveďte: 3.1 2a — -a — -a = 4 8 3.2 6b--b = 2 3.3 (c3 - c ) = (c - 1) = pro c ^ 1 4 Pro x e R\{-0,5} je dán výraz: x-1 1-- 2x + 1 l 4.1 Vypočtěte hodnotu výrazu pro x = -. 4.2 Vypočtěte, pro kterou hodnotu proměnné x je výraz roven nule. 5 Pro x e R určete podmínky, pro něž má smysl výraz: x — 3 6 Pro cŕOacŕl proveďte a upravte na co nejjednodušší tvar: 3 3 c — 1 c2 — c Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 7 Pro n e N zjednodušte: v n + V \ n) 8 Pro x e R\{1} proveďte: x-1 2 + 1-x 9 Pro a > 0 proveďte a zjednodušte: a3 /2^"3 10 Pro d > 0 zjednodušte: V2d3 ■ VTŠď = 11 Vyjádřete jako jedinou mocninu se základem 2: 2200 . 2100 _|_ gioo _ 12 Pro m e Z zjednodušte: X —1 13 Jsou dány dva výrazy -; —-— s proměnnou x e R. X ~\~ 1 x ~\~ x Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (13.1-13.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). A N 13.1 Pro x = -1 má první z obou výrazů smysl. | | | | 13.2 Pro x = 1 má druhý z obou výrazů smysl. | | | | 13.3 Společný jmenovatel obou výrazů může být x2 + x. \ | | | 13.4 Pro kladné hodnoty proměnné x je součet obou výrazů roven-. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 10 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH c2 — 4 c 14 Za jakých podmínek pro c e R má výraz-■-smysl' c2 + 2c c2 + 4 A) c * ±2 B) c±0;c±±2 C) c^0;c^2; D) c^0;c^-2 E) za jiných podmínek 15 Jaká je hodnota výrazu-prox = VŠ-l? A) 5 +VŠ B) -0,5 - VŠ C) -2 D) -2,2 E) -3 16 Pro které reálné hodnoty proměnné x není definován výraz —--—' A) pro x = 0 B) pro x = 1 a pro x = -2 C) pro x = -1 a pro x = 2 D) pro jiné dvě hodnoty E) Výraz je definován pro všechna reálná čísla. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 11 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝSLEDKY ÚLOH - Algebraické výrazy 1 3(y + 2)(y-2) 2 9x4 - 72x2 + 144 3 3.1 3.2 3Ď2; 3.3 c ■ (c + 1) = c2 + c o 4 5 4.1 -; 4.2 x = -2 4 5 iíó; resp. x e R \ {6} 6 3 c 7 n - 1 n 8 1 9 a3 "Š" 10 6d2 11 2301 12 42m 13 NE, ANO, ANO, ANO 14 D 15 C 16 E Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 12 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 3. Rovnice a nerovnice 1 V oboru R řešte: Řešení rovnic zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru. 2 Z každého z následujících vztahů vyjádřete proměnnou f. 2.1 s = 0,5(t + u) 2.2 t~1 + z = 2 3 V oboru R řešte nerovnice a výsledek zapište intervalem. 3.1 ^^<2x + 5 2 3.2 2x-l<-3 4 V oboru R řešte soustavu nerovnic a výsledek zapište intervalem. 2x - 1 < -3 3x + 10 > 1 5 Pro i£R;y6R\ {0} je dána soustava rovnic: - = 4 y 2x — 5y = —3 5.1 Vypočtěte hodnotu neznámé x. 5.2 Vypočtěte hodnotu neznámé y. 6 V oboru R řešte: 6.1 2x2 — 2 = 3x 6.2 a2 - 2a + 6 = 5(2 - a) 6.3 x(x - 2) + (x - 2)0 + 2) = 0 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 13 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH výchozí text k úloze 7 Neznámé číslo nejprve zmenšíme o třetinu své hodnoty, poté ještě o 40. Po vynásobení výsledku dvěma získáme původní neznámé číslo. _(CERMAT) Určete neznámé číslo. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pan Vlk má dvě zaměstnání. V prvním zaměstnání vydělává 400 Kč za hodinu, ve druhém 300 Kč za hodinu. V prvním zaměstnání stráví týdně o 10 hodin více než ve druhém a vydělá si tam za týden dvakrát více. _(CERMAT) 8 Vypočtěte, kolik hodin týdně stráví pan Vlk v prvním zaměstnání. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Za nákup 2,5 kg meruněk a 1,5 kg broskví se zaplatilo celkem 85 korun. Kilo broskví je o 2 koruny levnější než kilo meruněk. _CERMAT) 9 Užitím rovnic vypočtěte, kolik korun se zaplatilo za meruňky. Uveďte celý postup řešení. 10 Pro x ^ 0 a n e N je dáno: n n = — 3 x Které z následujících tvrzení platí? A) X 2 B) i 1 - 3n C) i 3 — n 3 D) i n + 3 n E) i n n + 3 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 14 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 11 Neznámá x e R splňuje podmínky: x < 6 < -2x + 4 Který zápis je ekvivalentní daným podmínkám? A) X E (—oo; —6) B) X E (-oo; -1) C) X E (-2; 6) D) X E (-1; 6) E) žádný z uvedených 12 Jaké je řešení nerovnice - 0. 1.3 Určete, pro kterou hodnotu proměnné x je y = ±. 2 Vypočtěte obě souřadnice bodu P, v němž se protínají grafy funkcí / a g: 2.1 /: 2x - y + 4 = 0 g:2x + 3y-4- = 0 2.2 f:y = 2x-9 g:y = 3 — 2x Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 19 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH A) y = \ (4 - x) B) y = \ (x + l)(x - 3) C) x2 3 y =--x + -J 2 2 4.1 D) x2 y =--2x J 2 4.2 E) y = - (x2 - 4) 4.3 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 21 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 5 Grafem kvadratické funkce /: y = x2 - 6x je parabola s vrcholem V[m; n]. Jakou hodnotu má druhá souřadnice n vrcholu VI A) n = -9 B) n = -6 C) n = -3 D) n = 0 E) n = 6 6 V oboru R řešte: 6.1 £f = 4-4* 6.2 53-59 = (5*)3 6.3 53y = 5 ■ 5y 7 Pro a > 0 vypočtěte: 4 log--log 400 + loga 8 V oboru R řešte: 8.1 log2-logx = l 8.2 log3x + log3 27 = 1 8.3 log 0,1 + log(2x) = 1 8.4 log2 2x - log2 8 = 1 8.5 log 1000 + logx = 4 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝSLEDKY ULOH - Funkce 1.1 1.2 1.3 x 1 2 y 2 1 \y i 0 - x x = 4 2.1 P[-l;2]; 2.2 P[3;-3] E, A, B 6.1x = --; 6.2 x = 4; 6.3 x = 0,5 3 8.1 x = 0,2; 8.2 x = -; 8.3 x = 50; 8.4 x = 8; 8.5 x = 10 D, A, B, F Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 5. Posloupnosti a finanční matematika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1-2 Vzorec pro n-tý člen posloupnosti je: an = 5n — 3, kde jiéN (CERMAT) 1 Vypočtěte rozdíl: an+l~ an ~ 2 Určete, kolikátý člen posloupnosti je jedenáctkrát větší než druhý člen, tj. an = lla2. VÝCHOZÍ TEXT K ULOHAM 3-5 Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, z nichž první tři jsou -140; -132; -124 a poslední tři 236; 244; 252. _(CERMAT) Vypočtěte dvacátý člen posloupnosti. 4 Vypočtěte součet všech 50 členů posloupnosti: -140 + (-132) + (-124) + ••• + 236 + 244 + 252 = 5 Určete, kolikátým členem posloupnosti je číslo 100. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 25 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ OBRÁZEK A TEXT K ÚLOHÁM 6-7 _4.__ V zámecké dlažbě byla vytvořena spirála, jejíž část je znázorněna na obrázku. / / N \ Spirála je složena z 15 navazujících půlkružnic. Délka první půlkružnice je % = 22 dm a každá \ \ 1 / 1 následující půlkružnice je o 22 dm delší. \ •........• / S S 3 ' (CERMAT) 6 Vypočtěte délku a3 třetí půlkružnice. 7 Uveďte v metrech délku s celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze část spirály.) 8 Rozhodněte o každé následující čtveřici čísel (8.1-8.4), tvoří-li geometrickou posloupnost (ANO), či nikoli (NE): 8.1 (4; 2; -2; -4) A N 8.2 (1; 4; 16; 64) 8.3 (8; -4; 2; -1) 8.4 (0; 4; 8; 12) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Posloupnost tvoří sedmnáct po sobě jdoucích přirozených lichých čísel seřazených vzestupně od nejmenšího k největšímu. Prostřední člen ag je číslo 23. (CERMAT) 9 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (9.1-9.4), je-li pravdivé (ANO), či nikoli (NE). A N 9.1 Rozdíl dvou sousedních členů je 1. 9.2 a12 = 29 9.3 Všechny členy jsou větší než 5. 9.4 Součet čtyř nejmenších členů je 40. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 26 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 10 Třicátý člen aritmetické posloupnosti je a30 = 100 a diference d = 3. Kolikátým členem posloupnosti je číslo 280? A) 60. členem B) 90. členem C) 120. členem D) 180. členem E) členem s jiným pořadím VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Počítač byl pořízen za 10 000 Kč. Každým následujícím rokem se z ceny počítače odepisuje vždy stejné procento ceny z předchozího roku. Po čtyřech letech se hodnota počítače sníží přibližně na 1 300 Kč. _(CERMAT) 11 Kolik procent (s přesností na 1 %) se každým rokem odepisuje z ceny počítače? A) méně než 22 % B) 22% C) 34% D) 40% E) více než 40 % VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 Zdeněk si potřebuje půjčit částku 15 000 Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po 3 000 Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to 5 % z 15 000 Kč, při poslední už jen 5 % ze 3 000 Kč.) _(CERMAT) 12 Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce? A) 2070 Kč B) 2250 Kč C) 2750 Kč D) 3750 Kč E) jinou částku Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 27 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 V Kocourkově se příjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti příjmům z předchozího roku. Během každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. _(CERMAT) 13 Jak se změní hodnota příjmů po uplynutí 10 let? (Výsledek zaokrouhlete na procenta.) A) Zvýší se více než o 200 % B) Zvýší se o 80 %. C) Nezmění se. D) Sníží se o 69 %. E) Sníží se o 94 %. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Čtveřice alt a2, a3,aA, kde a2 = -20, a3 = 10, představuje čtyři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, čtveřice glt g2, g3, gA, kde g2 = -10, g3 = 20, čtyři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. _(CERMAT) 14 Přiřaďte ke každému členu (14.1-14.4) odpovídající hodnotu (A-F). 14.1 ax _ 14.2 a4 _ 14.3 9l _ 14.4 gA _ A) -50 B) -40 C) -10 D) 5 E) 40 F) 50 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 28 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝSLEDKY ÚLOH - Posloupnosti a finanční matematika 1 5 2 16 3 a20 = 12 4 s50 = 2 800 5 n = 31 6 a3 = 66 dm 7 5 = 264 m 8 NE, ANO, ANO, NE 9 NE, ANO, ANO, ANO 10 B 11 D 12 B 13 B 14 A, E, D, B Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 6. Planimetrie VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Úsek, který se ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu znázorněn úsečkou délky 1 cm. Kruh na plánu má poloměr 2,5 cm. _(CERMAT) 1 Vypočtěte, kolika kroky se obejde po obvodu skutečný kruh. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁCH 2-3 Ve čtvercové síti je umístěn rovnoběžník ABCD. \D l C A I ßl CIT l (CERMAT) 2 Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD a výsledek uveďte v cm2. 3 V rovnoběžníku ABCD určete poměr velikostí obou výšek. (Výsledek uveďte v základním tvaru.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Vzor na dlaždici tvoří čtyři shodné obdélníky a čtverec uprostřed. Obvod každého z obdélníků je 30 cm. (CERMAT) 4 4.1 Vypočtěte obvod celé dlaždice (o). 4.2 Vypočtěte obsah dlaždice (5). Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Do kružnice se středem S a poloměrem r = 3 cm je vepsán šedý obrazec ASBCD. (CERMAT) 5 Vypočtěte v cm2 obsah šedého obrazce ASBCD. 6 Délky základen lichoběžníku jsou a = 4,2 ■ 108 metrů, c = 8 ■ 107 metrů, výška v má velikost 4,8 ■ 105 metrů. Vypočtěte obsah plochy lichoběžníku. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 7-8 Pozemek tvaru obdélníku je dočasně přerušen stavebním záborem (šedá plocha). Rovnoběžné hranice záboru na obvodu pozemku jsou dlouhé 15 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokračuje v oplocování 190 m dlouhé strany pozemku. 25 190 236 / d N, v. 15 Rozměry v obrázku jsou uvedeny v metrech. (CERMAT) 7 Vypočtěte obsah plochy stavebního záboru. 8 S přesností na celé metry vypočtěte šířku pozemku (d). Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 31 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH výchozí text k úloze 9 Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce dlouhé 29 metrů vede pěšinka. _(CERMAT) 9 Určete délku a šířku okrasné zahrady. (Šířka pěšinky se při výpočtu zanedbává.) výchozí text k úloze 10 Čtvercový travnatý pozemek se obchází po dvou stranách jeho obvodu celkem třemi sty kroky. Neukázněný chodec dostal pokutu za to, že pozemek přešel po úhlopříčce. _(CERMAT) 10 Vypočtěte, kolik kroků neukázněný chodec ušetřil a výsledek zaokrouhlete na desítky. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 V trojúhelníku jkl platí: / V5 COS (O = — r 3 V5 ^ v \ j 1— --\ k (CERMAT) 11 Určete hodnotu sin cp. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ULOHAM 12-13 V pravoúhlém trojúhelníku ABC je pravý úhel při vrcholu C, úhel CAB má velikost a = 60° a strana AC má délku b = 6VŠ. a C b A (CERMAT) 12 Vypočtěte délku strany BC. 13 Vypočtěte velikost výšky v na přeponu AB. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 32 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14 Na plánu jsou stanovišť A a B. vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže V ze dvou A \45ys 1,5 km \ 1100° e V (CERMAT) 14 14.1 Určete nejmenší úhel, pod kterým je možné od věže V sledovat současně obě stanoviště A a B. 14.2 Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Pozemek tvaru půlkruhu je třeba oplotit. Na rovnou část plotu se použije 28 metrů pletiva. 28 m (CERMAT) 15 Kolik celých metrů pletiva bude nejméně potřeba na zbytek plotu po oblouku? A) 44 metrů B) 48 metrů C) 52 metrů D) 56 metrů E) jiný počet Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 33 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 16 Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Jaká je délka nejdelší strany podobného trojúhelníku? A) 20 cm B) 19,5 cm C) 19 cm D) 18 cm E) jiná délka VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17 Vnitřní úhel trojúhelníku ABC má velikost a = 40°. Pro délky stran platí vztah a2 + b2 = c2. (CERMAT) 17 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (17.1-17.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). A N 17.1 Nejdelší strana je c. 17.2 Největší úhel má velikost 100°. 17.3 Trojúhelník je rovnoramenný. 17.4 Osa strany b je rovnoběžná se stranou a. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 18 Světelné paprsky svírají s vodorovnou podložkou úhel 50°. Tyč postavená kolmo k podložce je vysoká 180 cm. _(CERMAT) 18 Jak dlouhý stín (v cm) vrhá tyč na položku? 180 A)-- sin 50° B) 180-sin 50° 180 C) - ' cos 50° D) 180-tg 50° E) ™- tg 50° Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 34 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19 V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB platí: \AC\ = \BC\ = 10; a = \ > L '1 0 A X P[-2;3] -'ABCD = 74 4.1 4.2 í \ \ 1^ N 0 1 \ X p\ P[0;3] p: 2x + 3y — 6 = 0 6.1 6.2 p:x + 2y + 4 = 0 i 7 ■i o i X ■ D D D 10 11 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 51 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH 9. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 V kódu je na prvním místě jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné číslo od 11 do 45. (Existují např. kódy B22, A45 apod.) _(CERMAT) 1 Určete počet všech takto vytvořených kódů. 2 Určete neznámé číslo k, jestliže platí: 100! = fc-98! 3 Určete neznámé číslo m, jestliže platí: m!-28 = 2-4-6-8-10-12-14-16 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Cesta prochází několika křižovatkami. Na každé křižovatce je možné zahnout doleva (L), doprava (P), nebo pokračovat v přímém směru (S). Průjezd dvěma křižovatkami je možné zapsat dvojicí znaků, např. PP. _(CERMAT) 4 Kolika možnými způsoby lze projet dvěma křižovatkami? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 52 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznačena hlavní a vedlejší diagonála. (CERMAT) 5 Kolika způsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tři stejné figury tak, aby byly všechny tři buď jen na hlavní, nebo jen na vedlejší diagonále? A) 16 B) 20 C) 30 D) 32 E) 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Frontu na lístky tvoří čtyři dívky a šest chlapců. _(CERMAT) 6 Kolika různými způsoby se mohou osoby ve frontě seřadit? A) 10! B) 4! + 6! C) 4-6 D) 4! ■ 6! E) (4 ■ 6)! VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Při zkoušce se zadávají tři otázky. První otázka se vybírá ze skupiny 10 otázek. Další dvě otázky se vybírají z jiné skupiny 20 otázek. _(CERMAT) 7 Kolik různých trojic otázek lze při zkoušce zadat? A) 4 600 B) 4 000 C) 3 800 D) 1 900 E) jiný počet Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 53 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Dětské soutěže se pravidelně účastní malí i velcí chlapci a malá i velká děvčata. Pravděpodobnost, že zvítězí dívka, je 0,6. Pravděpodobnost, že zvítězí malá dívka, je 0,4. Malý chlapec zvítězí s pravděpodobností 0,3. Jen občas zvítězí velký chlapec. _(CERMAT) 8 Přiřaďte ke každé otázce (8.1-8.4) správnou odpověď (A-F). 8.1 Jaká je pravděpodobnost, že zvítězí chlapec (malý nebo velký)? _ 8.2 Jaká je pravděpodobnost, že zvítězí velká dívka? _ 8.3 Jaká je pravděpodobnost, že zvítězí malé dítě (chlapec nebo dívka)? _ 8.4 Jaká je pravděpodobnost, že nezvítězí malá dívka? _ A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 F) 0,7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V osudí jsou 2 bílé a 3 černé koule. Koule se vytahují po jedné a do osudí se nevracejí. _(CERMAT) 9 Přiřaďte ke každému jevu (9.1-9.3) pravděpodobnost (A-E), s níž může nastat. 9.1 První tažená koule bude bílá. _ 9.2 První dvě tažené koule budou černé. _ 9.3 V první tažené dvojici koulí budou zastoupeny obě barvy. _ 2 A) - 3 2 9 c) — ' 25 3 3 E) To Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 54 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Součet dvaceti položek je 6 000 korun. Po odebrání dvou položek v celkové hodnotě 960 korun se průměrná hodnota položky změní. _(CERMAT) 10 Vypočtěte, o kolik korun se změní průměrná hodnota. VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 11 V obchodním centru zákaznice testovaly tři druhy parfémů A, B, C. Svůj hlas mohly dát pouze jednomu z parfémů. Některé zákaznice se nedokázaly rozhodnout. Preference zákaznic jsou zaznamenány v tabulce. A B C nerozhodnuté Celkem Četnost 40 20 200 Relativní četnost 20% (CERMAT) 11 Vypočtěte, kolik zákaznic preferovalo vítězný parfém. VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 12-13 Celkem 20 studentů psalo dva závěrečné testy A a B. V tabulce jsou uvedeny výsledky testů, chybí pouze počet jedniček a dvojek v testu B. Známky 1 2 3 4 Počet žáků Průměr Medián Modus Četnost známek Test A 3 8 9 0 20 Test B 9 2 20 (CERMAT) 12 Určete medián a modus známek z testu A. 13 V obou testech bylo dosaženo stejné průměrné známky. Vypočtěte průměrnou známku z testu A a počet jedniček v testu B. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 55 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Divadlo nabízí pro každé představení celkem 220 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. Během deseti představení bylo šestkrát zcela vyprodáno a čtyřikrát se neprodala právě polovina dražších lístků. _(CERMAT) 14 Jaká je průměrná tržba na jedno z deseti představení? A) 98 000 Kč B) 97 000 Kč C) 96 000 Kč D) 95 000 Kč E) jiná tržba VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 15 V grafu jsou uvedeny průměrné počty filmových diváků v milionech (sledujte na ose vpravo) a průměrná výše vstupného do kina v době od r. 1988 do r. 2004 (sledujte na ose vlevo). Návštěvnost klesala, ale vstupné se průběžně zvyšovalo. 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 --- průměrné vstupné počet diváků (CERMAT) 15 Průměrná roční tržba za vstupné do kina se od roku 1990 do roku 2000: A) v podstatě nezměnila. B) zvýšila jen velmi mírně, nejvýše o 20 %. C) zhruba zdvojnásobila. D) zvýšila téměř pětkrát. E) zvedla více než o 500 %. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 56 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT A DIAGRAM K ULOZE 16 Na druhý stupeň základní školy v Postrkově chodí místní pěšky, ale všech 56 žáků, kteří jsou z okolních obcí, dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení počtu žáků podle místa bydliště. Počty žáků z jednotlivých obcí v procentech Chvalduby 10% (CERMAT) 16 Kolik žáků dojíždí z Nemanína? A) 14 žáků B) 18 žáků C) 20 žáků D) 24 žáků E) jiný počet žáků Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 57 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 17 Každý z 20 hráčů prováděl tři trestné hody na Počet Proměněné trestné koš a třikrát střílel po otočce. účastníků hody V tabulce jsou hráči rozděleni podle úspěšnosti 3 2 1 0 v obou střeleckých disciplínách. (Například čtyřem 3 2 3 hráčům se podařilo proměnit jeden trestný hod a >• TD dva hody po otočce.) =né ho točce 2 1 4 1 oměni po o 1 2 1 5 k_ Q. 0 1 (CERMAT) 17 Přiřaďte ke každé otázce (17.1-17.4) odpovídající výsledek (A-F): 17.1 Kolik hráčů dalo stejný počet košů v obou disciplínách? 17.2 Kolik hráčů dalo celkem 4 koše? 17.3 Kolik hráčů udělalo alespoň 4 chyby? 17.4 Kolik hráčů bylo lepších při trestných hodech než ve střelbě po otočce? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 F) 9 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013 58 MATEMATIKA SOUBOR VZOROVÝCH ÚLOH VÝSLEDKY ÚLOH - Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika 1 4-35 = 140 2 k= 9 900 3 m = 8 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C, A, F, E 9 B, E, D 10 klesne o 20 korun 11 100 12 medián 2; modus 3 13 průměrná známka 2,3; počet jedniček 7 14 A 15 C 16 C 17 E, C, D, A Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání-CERMAT Jankovcova 933/63,170 00 Praha 7, tel.: +420 224 507 507 www.cermat.cz, www.novamaturita.cz ©CERMAT, 2013