Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Ustav teoretické fyziky a astrofyziky Základy astronomie I Sbírka praktických a laboratorních úloh Miloslav Zejda, Martin Piecka Brno 2021 Obsah Praktické úlohy 1 1. Pozorování dalekohledem 2 2. Otočná mapka a orientace na hvězdné obloze 9 3a. Dírková komora 16 3b. Sluneční cyklus 22 Laboratorní úlohy 28 4. Astronomické souřadnice 29 5a. Mapka Plejád 36 5b. Zpracování dat v programovacím jazyku — mapka hvězdokupy 43 6a. Rotace Merkuru 47 6b. Objev pátého měsíce Jupiteru 53 7. Vlastnosti exoplanet 58 V předkládaném sborníku je uvedeno 10 laboratorních či praktických úloh z astronomie. Nejde vždy o zcela nové a původní úlohy. Některé úlohy jsou převzaty, inovovány, opraveny případné chyby a doplněny. U všech takových úloh je samozřejmě uveden i původní zdroj (e), takže uživatel může porovnat úlohu s jejím předobrazem. Soubor bude nadále doplňován. Vznikl v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na Přírodovědecké fakultě Masarykovy Univerzity, CZ. 1.07/2.2.00/15.0181. Obrázky na začátku kapitol byly převzaty z wikipedie a archivu ESO. Základním učebním textem jsou skripta Základy astronomie, které jsou v aktuální podobě k dispozici v IS. \ \l základy astronomie 1 Praktikum 1 Pozorování dalekohledem 1 Úvod Oko bylo základním přístrojem astronoma, základním detektorem světla po dlouhá tisíciletí, a zůstalo jím dokonce i po vynálezu dalekohledu a jeho využití v astronomii. Prostý pohled do dalekohledu ale zůstal v podstatě jen doménou návštěvníků hvězdáren a milovníků astronomie. Odborná pozorování se vizuálně již téměř neprovádějí. Také fotoelektrický fotometr nebo fotografická deska jsou už překonané a byly v naprosté většině nahrazeny snímáním zorného pole dalekohledu elektronickou kamerou. Přesto se v tomto praktickém cvičení tak trochu vrátíme zpět a ukážeme si vlastnosti oka a optického dalekohledu. Lidské oko je velmi důmyslný nástroj, zejména ve spojení s lidským mozkem. Jeho rozlišovací schopnost si vyzkoušíme jednoduchým pokusem. Budeme zjišťovat z jaké vzdálenosti jste ještě schopni pozorovat dva malé objekty a rozlišit je jako oddělené. Získanou rozlišovací schopnost porovnáme s rozlišovací schopností dalekohledu. S dalekohledem se ve své astronomické praxi setká i ten nejzavilejší teoretik. I on musí být schopen jednoduchý dalekohled nastavit a spočítat jeho parametry. A právě to je mimo jiné cílem této praktické úlohy. Obr. 1: Galaxie M101 se supernovou SN2011fe na kresbě Allara Saviauka a snímek pořízený dalekohledem Palomar Transient Factory 24. srpna 2011. 2 Pracovní postup Rozlišovací schopnost oka vyjádříme pomocí úhlu ů, pod nímž budeme pozorovat vzdálenost dvou bodových objektů d (viz obrázek 2). Bude-li vzdálenost D dvou bodů od oka velká ve srovnání se vzdáleností samotných bodů, můžeme psát zjednodušeně ů = d/D, kde úhel ů je vyjádřen v radiánech. Převedení na stupně je triviální záležitostí, uvědomíte-li si, že plný úhel 360° odpovídá 2tv radiánů. Získaná rozlišovací schopnost je však do značné míry závislá na konkrétní situaci, kdy a kde budete měření provádět. Pro zjištění hodnoty úhlu ů si připravte čtvrtku papíru a na ní dva body 2 Obr. 2: Pokus na rozlišovací schopnost oka. vzdálené 5 až 8 mm o průměru přibližně 1 mm. Hledáme samozřejmě největší vzdálenost, z níž ještě rozlišíte oba body, tedy nejmenší, mezní hodnotu úhlu ů. Navrhněte sami způsob realizace měření, podrobně jej popište včetně tabulky provedených měření. K praktické části praktika je samozřejmě nutné mít k dispozici dalekohled - můžete použít svůj vlastní nebo se dohodnout s pracovníkem hvězdárny. Je doporučeno, abyste pracovali ve skupinkách. Ideálním řešením by bylo společně vycestovat do oblasti s nižším světelným znečištěním než je v Brně, pokud to okolnosti dovolují. Při spolupráci však berte ohled na to, aby každý provedl měření na místě pozorování samostatně (kopírovaní výsledků praktik je možné považovat za plagiát!). Vaším úkolem bude pozorovat jeden ze mnoha zajímavých úkazů na noční obloze (např. fáze Venuše, prstence Saturnu, měsíce Jupitera, případně nějakou kometu, hvězdokupu nebo mlhovinu) viditelných i malým dalekohledem. Pozorovaný objekt si zakreslete. Zaznamenejte si čas, místo a podmínky pozorování. Nezapomeňte si zjistit parametry použitého dalekohledu a zapsat je k záznamu pozorování. Použité zdroje a další materiály ke studiu Steve Joiner, http://threeaxis.sourceforge.net/simulator.html Miroslav Sulc, Jak funguje astronomický dalekohled, části 1,2,3. https://www.astro.cz/clanky/ostatni/jak-funguje-astronomicky-dalekohled-dil-prvni.html, https://www.astro.cz/clanky/ostatni/jak-funguje-astronomicky-dalekohled-dil-druhy.html, https://www.astro.cz/clanky/ostatni/jak-funguje-astronomicky-dalekohled-dil-treti-dokončeni. html Soubor praktických úloh University of Nebraska-Lincoln http: //astro . unl. edu. 3 PRAKTICKÁ ČÁST * _ Úloha: Pozorování dalekohledem Jméno:..................... Datum odevzdání:......... Shrnutí úkolů: 1. Změřte rozlišovací schopnost oka. Navrhněte sami metodu a průběh měření. Zaznamenejte všechna měření do tabulky, kterou si připravíte. Zaznamenejte všechny okolnosti měření, například místo, čas, podmínky. Veškeré záznamy a diskusi přiložte k protokolu. 4 Rozmyslete si odpovědi na následující otázky. Odpovědi stručně zapište. • Bude se nějak lišit, jestliže pozorované body budou černé na bílém podkladě nebo bílé na černém pozadí? Změní se nějak situace, pokud ty dva body budou samy zářit? Bude mít vliv osvětlení na výsledek pokusu? Bude rozlišovací schopnost lepší na prudkém slunečním světle nebo pokud bude pod mrakem? 2. V roce 2009 probíhal Mezinárodní rok astronomie. V jeho rámci byl jako jedna z aktivit prodáván galileoskop - jednoduchý dalekohled srovnatelný velikostí s dalekohledem používaným Galileo Galileim na začátku 17. století. Jeho dalekohledy měly průměry objektivů 51 mm, 26 mm, 37 mm a 58 mm, ale většinou byly kvůli optickým vadám čočky zacloněny na zhruba polovinu průměru. Dosahoval až 34-násobného zvětšení. Galileoskop sestává z objektivu o průměru 50 mm s ohniskovou vzdáleností 50 cm a okulárem s ohniskovou vzdáleností 20 mm. Jaké zvětšení sestava galileoskopu dává? Je možné použít na pozorování s galileoskopem okulár o ohniskové vzdálenosti 2 mm? Svou odpověď zdůvodněte. 3. V novinách jste zahlédli inzerát: „Prodám z pozůstalosti jeden a půl metru dlouhý astronomický dalekohled zvětšující 300x. Cena 3000 Kč." Dejme tomu, že Vás nabídka zaujala a chcete si takový přístroj zakoupit. Nicméně, jistě budete vyžadovat o přístroji další údaje. Na co především se budete prodávajícího ptát? Jinak řečeno, jaké základní údaje by měl astronom znát o svém dalekohledu? 4. Spočtěte poměr rozlišovací schopnosti oka, na světle (Amax — 550 nm) a ve tmě (Ar 510 nm). Uvažujte, že šířka zornice bude dvakrát větší ve tmě. 5 5. Při použití galileoskopu pro vizuální pozorování, žádnou montáž nepotřebujeme. Dalekohled budeme držet v ruce. Větší přístroje montáž vyžadují a kvalitní montáž je opravdu nezbytná pro astrofotografii nebo pozorování se CCD kamerou. Z kurzu víte, že montáží je celá řada typů. Některé jsou jednoduché na stavbu, například typ Dobson, ale mají určité nedostatky při použití. Zkuste nyní odpovědět na několik otázek. • Jednou z nejběžnějších montáží je německá montáž. Jaké výhody nebo nevýhody spatřujete v jejím použití? • Jakou nevýhodu má oproti německé montáži montáž typu Dobson? • Je možné se všemi typy montáží pozorovat hvězdy v okolí světových pólů? 6. V dnešní době používají dalekohledy tzv. goto systémy. To znamená, že je možné zadat dalekohledu název objektu, on si jej najde v katalogu a nastaví se na něj. Případně zadáme souřadnice hledaného objektu (rektascenzi a deklinaci) a dalekohled se na ně nastaví. Dříve se ale u větších přístrojů1) na hvězdárnách využívalo nastavování pomocí souřadných dělených kruhů na montáži dalekohledu. K tomu se využívala jednoduchá závislost mezi délkovou souřadnicí první a druhé rovníkové soustavy souřadnic. Ve druhé rovníkové souřadné soustavě je délkovou souřadnicí rektascenze a, která se měří od jarního bodu proti směru otáčení hodinových ručiček při pohledu od severního světového pólu. V první soustavě rovníkových souřadnic je délkovou souřadnicí tzv. hodinový úhel, což je úhel mezi rovinou místního poledníku a rovinou kolmou na rovinu světového rovníku (deklinační rovinou) procházející sledovaným objektem. Mezi rektascenzi objektu a a jeho hodinovým úhlem 0 je jednoduchý vztah a + 0 = místní hvězdný čas. Jinak řečeno místní hvězdný čas udává aktuální hodinový úhel jarního bodu a všech ostatních objektů s nulovou rektascenzi (viz obrázek 3). Rozuměj přístrojů v rozmezí průměrů 20-100 cm. 6 rovník Obr. 3: Hodinový úhel. Převzato z http://www.aldebaran.cz. • Jaký je hodinový úhel hvězdy, která při pozorování z Brna právě vrcholí nad jižním obzorem? • Jaký úhel bude svírat polární osa pomyslného dalekohledu na německé montáži s vodorovnou rovinou? • Nastavme nyní náš pomyslný přístroj na deklinaci 50° a otáčením podle hodinové osy postavíme dalekohled do svislé polohy. Jakou hodnotu můžeme odečíst na hodinovém kruhu montáže? 7. Přejděme nyní k praxi. Vykonejte libovolným astronomickým dalekohledem alespoň dvě (!) pozorování zajímavého kosmického úkazu (např. detail povrchu Měsíce, fáze Venuše, prstence Saturnu, měsíce Jupitera, kometa, jasná galaxie, hvězdokupa nebo mlhovina). Pozorovaný objekt zakreslete. Zaznamenejte si i podmínky a čas pozorování. Pokud používáte pozorovací deník, pořiďte kopii zápisu v deníku a přiložte k protokolu. Jinak přiložte originál. Podrobně popište parametry použitého dalekohledu - typ, průměr, použitý okulár, použité zvětšení, případně použité filtry na odstranění rušivého městského osvětlení atd. Pokud nemáte vlastní dalekohled, pokuste se jej vypůjčit nebo provést pozorování na blízké hvězdárně. Věnujte pozornost zápisu času a data. Pokud pozorujete v noci běžně se zapisuje datum pozorování ve tvaru večerní datum/ranní datum, měsíc, rok, například 3./4. listopadu 2011, nebo 3./4. XI. 2011. Aby nedocházelo k různým zmatkům ohledně použitého času, zda byl či nebyl letní apod., zapisujte čas přímo jako světový, tedy UT = SEC — 1 = SELČ - 2. 7 8. Kontrolní otázky K zodpovězení závěrečných otázek vám pomohou přednášky, ale třeba i internet: • Jaký je největší čočkový dalekohled světa? Jaký má průměr a kde se nachází? • Proč se observatoře s největšími dalekohledy budují na nehostinných místech vysoko v horách? • Jakým největším dalekohledem jste pozoroval/a? • Jakým dalekohledem byla pořízena fotografie na obrázku 1? Reflektorem nebo refraktorem? Svou odpověď zdůvodněte. • Co je to seeing? 8 základy astronomie 1 Praktikum 2 Otočná mapka a orientace na hvězdné obloze 1 Úvod Každý, kdo se chtěl zadívat na oblohu plnou hvězd a naučit se na ní orientovat, zcela jistě použil mapku hvězdné oblohy, nejlépe tu otočnou. V této praktické úloze se pokusíme takovou otočnou mapku hvězdné oblohy sestrojit a naučit se ji používat. K tomu využijeme speciální program. Takový program zřejmě využijeme jen jednou, ale měli bychom se naučit používat i další dostupné programy zobrazujících hvězdnou oblohu jako Stellarium, Cartes du Ciel, WorldWideTelescope, Guide, či internetové zdroje Aladin, SDSS a podobně. Přehled nejběžnějších programů je uveden v tabulce 5 v úloze Mapka Plejád. 2 Pracovní postup 2.1 Vytvoření otočné mapky hvězdné oblohy Připravte si dva listy tužšího papíru formátu A4. Z učebních materiálů v ISu si stáhněte program Otočná mapka 2.0, který vytvořil Jan Tošovský (om_setup20.exe). Program se ovládá intuitivně. Vytvořte otočnou mapku hvězdné oblohy pro pozorovací stanoviště na 50. stupni severní zeměpisné šířky. Zvolte zobrazení dnů v měsíci a na připravený tužší papír vytiskněte verzi s jemně naznačenými spojnicemi jasných hvězd v souhvězdích a názvy souhvězdí. Zvlášť si pak připravte verze bez spojnic i bez názvů. Takovouto „slepou" mapu stranu 2 z výstupu programu si vytiskněte (stačí na obyčejný papír) a používejte ji dále pro vlastní potřebu. Neodevzdávejte ji. 9 2.2 Znalosti souhvězdí Do mapky hvězdné oblohy na obrázku 3 zakreslete známé skupiny hvězd (asterismy) a souhvězdí. Vyznačte spojnice hvězd tak, aby vynikly známé obrazce. Případně označte i jména jasných nebo významných hvězd, pokud je znáte. 2.3 Orientace na hvězdné obloze Připravte si krátkou prezentaci (maximálně na 10 min), ve které představíte souhvězdí a jejich nejvýraznější objekty ve zvolené části hvězdné oblohy. Půjde o jednu z následujících skupin souhvězdí - jarní, letní, podzimní, zimní, cirkumpolární, případně jižní souhvězdí. Zaměřte se zejména na orientaci, tedy, kde se jaké souhvězdí nachází, kdy je viditelné, s jakým sousedí a případně jaký zajímavý objekt v něm lze pozorovat pouhýma očima nebo malým dalekohledem a jak jej najdeme. Do tohoto pracovního listu napište velmi stručně obsah prezentace. Uveďte, která souhvězdí, významné skupiny hvězd, objekty byly prezentovány, kdy a jak je lze najít apod. Místo výpisu obsahu prezentace můžete přiložit i prezentaci vytištěnou. Prezentaci je možné připravovat ve dvojicích nebo trojicích. O konkrétním zadání - tedy spo-lutvůrci(-ích) a skupině souhvězdí, kterou máte prezentovat, rozhoduje vyučující na cvičení. 2.4 Pozorování hvězdné oblohy Předchozí úkoly byly vesměs teoretické, ale měly vás připravit na praktickou část této úlohy. K jejímu splnění bude zapotřebí dobré počasí a vhodné pozorovací stanoviště, ze kterého budete moci pozorovat dostatečně velkou část hvězdného nebe na obloze a kde vás nebude příliš rušit městské osvětlení. Vyberte si pro toto praktikum také noc bez Měsíce (alespoň po dobu pozorování). Poznačte si do pozorovacího deníku čas a místo pozorování, pozorovací podmínky (rušivé prvky - pouliční osvětlení, projíždějící auta...), počasí a samozřejmě také, co jste pozorovali. Pokud pozorovací deník (někdy též zvaný nočník) nemáte, je nejvyšší čas k jeho založení. Klasická papírová podoba by měla mít podobu sešitu minimálně formátu A5, nejlépe A4 s tuhými deskami. Samozřejmě je možná i elektronická podoba, ale pro kresby u dalekohledu je přece jen stále vhodnější papírová podoba. Na aktuální obloze najděte alespoň pět významných skupin hvězd nebo souhvězdí. Jejich pozorování si poznačte do deníku. Pokuste se nalézt planety, pokud jsou pozorovatelné, a proveďte nákres orientační mapky podle níž by například vaši kolegové měli být schopni planetu na obloze najít. Pokud nebude viditelná žádná planeta, vyberte si jedno z pozorovaných souhvězdí a zakreslete orientační mapku tohoto souhvězdí. Nezapomeňte v nákresu vyznačit obzor a světový směr pro orientaci. 2.5 Demonstrační měření paralaxy Po prvotním seznámení se s hvězdnou oblohou je možné přistoupit i k prvním měřením. Nebudou to měření nijak náročná a navíc, měřící přístroj máte vlastně k dispozici. Jsou jím vaše ruce. Půjde o měření úhlových vzdáleností dvou objektů na obloze, tedy o velikost úhlu mezi směry k těmto objektům.2 K odhadu velikosti tohoto úhlu lze jednoduše použít různých částí ruky na natažené paži. Úvaha je vcelku prostá. Snadno ověříte, že 1 cm dlouhou úsečku kolmou na směr od našeho oka vidíme pod úhlem téměř přesně 1° ve vzdálenosti 57,3 cm. Délka natažené paže u dospělého člověka odpovídá přibližně vzdálenosti 58 cm. To znamená, že pomocí zhruba 2 cm širokého palce můžeme odhadnout úhel 2°. Šířka zavřené pěsti nám pokryje vzdálenost zhruba 10° a vzdálenost mezi malíčkem a palcem rozevřené ruky představuje 20° (viz obrázek 2). Samozřejmě lidé jsou různí, rozměry částí těla se liší, jak poprvé ověřil a prokázal A. Bertillion3. Proto si před vlastním měřením na obloze nejprve zjistěte rozměry vaší paže a ruky, zapište do tabulky 5 a zjistěte, jak velké úhly lze s vašimi fyzickými parametry zjišťovat. Nyní přistupte k vlastnímu měření. Vaším úkolem je 2Připomínám, že směr definujeme v našem kurzu jako polopřímku vycházející z vašeho oka a mířící na daný objekt. 3Antropolog a vedoucí oddělení identifikace pachatelů pařížské policie Alphonse Bertillion hledal způsob, který by mu umožnil identifikovat již jednou odsouzené zločince. Roku 1822 zveřejnil svoji metodu, která spočívala v měření fyzických znaků člověka a byla po něm nazvána bertilionáž. 10 změřit, odhadnout vzájemné úhlové vzdálenosti hvězd ve Velkém voze a úhlovou vzdálenost hvězdy Dubhe od Polárky. Výsledky uveďte do tabulky 5. Chybu v tabulce můžete určit jako směrodatnou odchylku nebo jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru. Obr. 2: Měření úhlů pomocí rukou. Kredit: NASA/ CXC/ M.Weiss. Použité zdroje a další materiály ke studiu Kleczek, J., 2000, Naše souhvězdí, Albatros, Praha Pudivítr, P., 2004, Disertační práce, MFF UK Praha Tošovský, J., 2014, Otočná mapa 2.0., internetové servery stahuj.cz nebo muj.soubor.cz Zajonc, I., 2009, Teleskopie XIX, http://www.jiast.cz/zajimavosti/teleskopie 11 PRAKTICKÁ CAST Úloha: Otočná mapka a orientace na hvězdné obloze Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Vytvoření otočné mapky a slepé mapy hvězdné oblohy. 2. Vyznačení skupiny hvězd a souhvězdí na mapce. ♦ Obr. 3: Část hvězdné oblohy. Vyznačte asterismy a souhvězdí, která znáte. 12 3. Prezentace části hvězdné oblohy Prezentovaná část hvězdné oblohy_ Další členové týmu, kteří se podíleli na prezentaci_ Stručný popis prezentace dle pokynů v zadání úkolu 4. Záznam pozorování hvězdné oblohy Na tomto místě přilepte kopii záznamu z vašeho pozorovacího deníku o pozorování hvězdné oblohy. Pokud je záznam delší než vymezený prostor, přiložte jej na zvláštním listu. 13 5. Měření úhlových vzdáleností Změřte délku své paže, přesněji řečeno vzdálenost od očí k palci při natažené paži a dále šířku palce, šířku zaťaté pěsti a vzdálenost mezi koncem palce a koncem malíčku když budou prsty ruky maximálně roztažené od sebe. Zapište hodnoty do tabulky a spočtěte jak velké úhly můžete pomocí výše uvedených rozměrů zjišťovat. Diskutujte, jak se nepřesnost vašeho měření a nepřesnost v nastavení paže projeví na přesnosti určení úhlových vzdáleností na obloze. Tabulka 1: Rozměry paže měřená vzdálenost [cm] odpovídající úhel [°] vzdálenost oko-palec při natažené paži šířka zaťaté pěsti šířka roztažené pěsti šířka palce Změřte vzájemné úhlové vzdálenosti hvězd ve Velkém voze a vzdálenost nejjasnější hvězdy ze souhvězdí Velké Medvědice Dubhe ke hvězdě Polárce. Parametry Velkého vozu jsou zobrazeny na obrázku 4. Pozorování provádějte během jedné noci s odstupem alespoň jedné až dvou hodin nebo v různých nocích, tak aby pozice Velkého vozu na obloze nebyla stejná. Nezapomeňte si poznamenat čas a místo pozorování. Odhadněte poziční úhel Dubhe vůči Polárce, který udává malá ručička s Dubhe na pomyslném ciferníku, v jehož středu je Polárka (dvanáctka je vždy nahoře). i-y-1--- Obr. 4: Parametry Velkého vozu. Tabulka 2: Měřené úhlové vzdálenosti Měření č. 1 č. 2 č. 3 č. 4 č. 5 průměr chyba délka vozu a vzdálenost spodních kol b délka korby c délka oje d výška vozu e poziční úhel Dubhe-Polárka čas měření 14 Diskuse výsledků v tabulkách 1 a 2: 6. Kontrolní otázky Na závěr ještě odpovězte na následující otázky. K jejich zodpovězení budou třeba nejen zkušenosti z pozorování, ale i znalosti z přednášek a cvičení: a) Jak se pohybují souhvězdí na hvězdné obloze? b) Pohybují se všechna souhvězdí na obloze stejným směrem? c) Kolik je definováno souhvězdí? d) Kolik je takzvaných zvířetníkových souhvězdí a kolik souhvězdí leží na ekliptice? e) Kolik souhvězdí jste dosud našel/našla na skutečné obloze? f) Zřejmě znáte znamení, ve kterém jste se narodil/-a. Kdy je nejlépe pozorovatelné na noční obloze v ČR souhvězdí stejného jména. Souhlasí toto období s datem vašeho narození? Pokud ne, uveďte rozdíl a vysvětlete jej. g) Mohou některá souhvězdí změnit svou orientaci na obloze až o 360°? h) Je možné pozorovat ze Země v průběhu jediné noci postavu Oriona v příslušném souhvězdí stát, ležet a vzhůru nohama? Jestliže ano, napište kdy a za jakých podmínek. Jak se změní orientace postavy Oriona na obloze při pozorování z Brna během jedné noci? 15 základy astronomie 1 Praktikum 3a dírková komora 1 Uvod Pozorování Slunce nepochybně patří k nejstarším pozorováním, jaká kdy člověk prováděl. Samozřejmě zpočátku sledoval jen sluneční kotouč - jeho polohu, pohyby. Všímal si času a místa, kde Slunce vychází a zapadá o rovnodennostech, slunovratech. Teprve mnohem později si občas mohl povšimnout, že na tom zlatavém slunečním kotouči je někdy možné vidět tmavší skvrny. Slunce už nebylo tak božsky čisté a neposkvrněné. S objevem dalekohledu bylo možné sledovat tyto skvrny na slunečním povrchu častěji. Jenže přímé pozorování Slunce končilo zpravidla katastrofálním poškozením zraku a mnohdy slepotou. Dnes existují speciální dalekohledy nebo alespoň speciální filtry, které vám umožní pozorovat Slunce přímo a přitom bezpečně. Ale bezpečně lze pozorovat Slunce i bez speciální výbavy, stačí použít projekci nebo sledovat kotouček Slunce pomocí dírkové komory (camera obscura4). První vyobrazení dírkové komory (a hned využité při sledování Slunce) publikoval v roce 1545 astronom Gemma Frisius, který s její pomocí pozoroval zatmění Slunce v předchozím roce (viz obr. 5). i E!u m irt Tibcrla pe r f id ios So] is, tju i m i ricotlo curi tjn-gif: 1 ioc tfl /i i ii c "konce —--- --- —---> rozdíl akonce - azačátku = —° = — mm; začátku =---°; (Wice =---°5 rozdíl oponce " ^začátku =---° =---mm. 2. Pokud jste se rozhodli mapku zkonstruovat ručně, do tabulky 6 vepište spočtené pravoúhlé souřadnice x, y. 3. Určete optimální velikosti kotoučků vykreslovaných hvězd a výsledky zapište do tabulky 7 a následně tabulky 6. 4. Vykreslení poloh hvězd, velikostí kotoučků. Vytvoření mapky Plejád. Popisky mapky. Vykreslenou nebo vytištěnou mapku přiložte. Pokud použijete kreslení s pomocí počítače, nezapomeňte napsat jaký software jste použili a jak jste postupovali, případně přiložit výpis vlastního programu. 5. Vyberte si z programů v tabulce 5, případně i z jiných podobných programů dva a s jejich pomocí vytvořte mapku stejné oblasti, jakou jste vykreslovali ze zadaných dat. Vždy uveďte s pomocí jakého programu mapka vznikla a případně i jaké nastavení jste při tvorbě použili. Proveďte srovnání a diskutujte výsledek. Vytvořené mapky přiložte k protokolu. 40 Tabulka 6: Hvězdy v otevřené hvězdokupě Plejády jasnější než 7,0 mag. a ]h m sj 5 [°] X [mm] y [mm] Hv. vel. [mag] Pořad. č. kotoučku Poznámka 3 44 48 24 17 22 5.45 16 Tau 3 44 53 24 06 48 3.70 17 Tau 3 45 10 24 50 21 5.65 18 Tau 3 45 12 24 28 02 4.30 19 Tau 3 45 49 23 08 48 6.85 3 45 50 24 22 04 3.88 20 Tau 3 45 54 24 33 17 5.76 21 Tau 3 46 03 24 31 40 6.42 22 Tau 3 46 20 23 56 57 4.18 23 Tau 3 46 59 24 31 13 6.81 3 47 21 23 48 13 6.99 3 47 21 24 06 58 6.30 3 47 29 24 06 18 2.87 25 r) Tau 3 47 29 24 17 19 6.81 3 48 07 24 59 19 6.46 3 48 21 23 25 16 5.44 3 48 30 24 20 43 6.94 3 48 57 23 51 26 6.6 3 49 10 24 03 12 3.63 27 Tau 3 49 11 24 08 12 4.9-5.3 28 Tau = BU Tau 3 49 22 24 22 50 6.62 3 49 44 23 42 42 6.16 3 49 58 23 50 55 6.74 3 50 52 23 57 43 6.93 41 Tabulka 7: Velikosti kotoučků hvězd na mapce. Pořadové číslo kotoučku Hvězdná velikost (mag) Průměr (mm) 1 6.76 - 7.25 2 6.26 - 6.75 3 5.76 - 6.25 4 5.26 - 5.75 5 4.76 - 5.25 6 4.26-4.75 7 3.76-4.25 8 3.26 - 3.75 9 2.76 - 3.25 42 ím\ I) i f základy astronomie 1 ■j-T M 1 i Praktikum 5b -.......\ Zpracování dat v programovacím jazyku - mapka hvězdokupy 1 Úvod Je těžké si představit, že v dobách antického Řecka neexistoval kalkulus či algebra. Matematici té doby prováděli výpočty prakticky výhradně za pomoci geometrie (příkladem je Euklidova práce Základy). I když se může zdát, že takový postup musí mít veliké omezení, podařilo se několika astronomům dosáhnout velice přesných měření týkajících se i naší planety. Například, Eratosthenovi z Kyrény se podařilo určit poloměr Země s poměrně dobrou přesností - odchylka je v porovnání se současnou hodnotou menší než 5 % (vždyť tehdy ani nebylo obecně akceptováno, že Země je kulatá!). Formálně jsou zásluhy za založení moderní matematiky v 17. století připisovány Isaacu Newtonovi a Gottfriedu Leibnizovi. Invence diferenciálního a integrálního počtu představovala důležitý skok kupředu i pro fyziku a astronomii. Řešení rovnic bylo omezeno jenom časem potřebným pro výpočet. Jak už jistě víte, některé výpočty jsou časově celkem náročné - určit složky polohového vektoru pro deset částic by vám zabralo maximálně pár minut s použitím moderní kalkulačky. Sice v druhé polovině 17. století mechanické kalkulačky již existovaly, ale bylo možné je použít jen na sečítání či odečítání malých čísel. V průběhu dalších dvou století byly funkce kalkulaček výrazně vylepšeny - arithmometr představoval velice přesnou (a poměrně drahou) kalkulačku v 19. století. Měl však stále velikou nevýhodu - kdybychom chtěli rychle vypočíst hodnotu logaritmu nebo trigonometrické funkce, museli bychom mít po ruce tabulky s jejich hodnotami. Mechanické počítače a následně jejich elektronické verze vedly k postupnému zkracování výpočetního času, (nejenom) pro vědce. Komerčně dostupné mechanické kalkulačky byly využívány až do druhé poloviny 20. století. V dnešní době vlastní téměř každý člověk alespoň jeden mobilní telefon, který je schopen provést několik miliard operací za sekundu! Moderní procesory CPU a GPU pro osobní počítače jsou ještě výkonnější a cenově dostupné i pro běžného člověka. To je pro astrofyziku velice dobrá zpráva - obrovské množství dat, které máme v současnosti k dispozici, vyžaduje také obrovskou výpočetní kapacitu pro jejich zpracování. Programovací jazyk slouží na komunikaci mezi uživatelem a procesorem počítače. V tomto praktiku si zkusíme několik základních postupů, bez kterých se při efektivním zpracování dat neobejdeme. Pracovat budeme především v jazyce Python, ale můžete použít i jiný jazyk pro řešení zadaných problémů (nejužitečnějšími jsou v astrofyzice jazyky C, C++, Python, Fortran). 43 2 Pracovní postup 2.1 Příprava I kdyby toto bylo vaše první setkání s programovacím jazykem, není důvod pro obavy. V učebních materiálech na ISu na stránce předmětu naleznete jednoduchý návod pro úvod do programovaní v jazyce Python. Vyzkoušejte si sami vyřešit všechny příklady uvedené v návodu, abyste si zvykli na základy psaní v programovacím jazyku. Pro psaní kódu si budete muset Python nainstalovat (doporučujeme nejprve zkusit editor Visual Studio Code, který můžete stáhnout zdarma, nebo si stáhněte přímo Python pro váš operační systém a pracujte v konzoli). Další možností je využít online programovaní v prostředí Jupyter. 2.2 Radiální složka vektoru rychlosti Teď, když jsme se již seznámili se základy programování, pustíme se do prvního problému, který bychom bez počítače řešili docela dlouho. Každý student má k dispozici vlastní vygenerovaný seznam několika stovek hvězd (s jejich polohami a složkami rychlosti). Načítejte si váš soubor pomocí příkazu with open(;cesta/prakt2data.txt;,'r') as filedata: alldata= [x.split() for x in filedata.readlinesO] soubor=array([list(map(str,x)) for x in alldata[l:]]) (příklad na použití je uveden v návodu). Pozorovatel se nachází ve středu souřadnicové soustavy. Vaším úkolem je určit průměrnou hodnotu radiálních složek všech vektorů rychlosti. K tomu využijeme vztah pro skalární součin dvou vektorů, u ■ v = \u\\v\ cos6, kde 6 je úhel, který svírají vektory u a v. Protože vpTOj = \v\ cos 6 (obr. 22), dostáváme pro hodnotu projekce vektoru v na vektor u Obr. 22: Znázornění projekce vektoru na jiný vektor. 2.3 Mapka hvězdokupy Použijte knihovnu matplotlib.pyplot a vykreslete si polohy hvězd na obloze. Velikost bodů si můžete zvolit v příkazu pit.plot() s použitím parametru ms=1.0, doporučujeme také změnit průhlednost bodů pomocí parametru alpha=0.5. Nezapomeňte doplnit popisky grafu. Dávejte pozor na orientaci os (ovládate pomocí příkazu pit .xlim(od,do) v ose x, a podobně pro druhou osu)! Graf si vytiskněte a přiložte k praktiku. 44 Použité zdroje a další materiály ke studiu https://jupyter.org/try https://python.org https://code.visualstudio.com/ https://www.w3schools.com/python/default.asp 45 PRAKTICKÁ CAST Úloha: Zpracování dat v programovacím jazyku Jméno: Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Nainstalujte si do svého počítače Python. Vyzkoušejte si naprogramovat úlohy řešené v poskytnutém návodu. 2. Stáhněte si soubor hvězd, který vám byl přidělen. Soubor má následující strukturu: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m [mag] a [°] S [°] x [pc] y [pc] z [pc] vx [km/s] Vy [km/s] vz [km/s] kde m je pozorovaná hvězdná velikost, a je rektascenze a 5 je deklinace. Nejprve vypočítejte radiální složky vektorů rychlosti. K tomu si za vektory Ú & v v rovnici 3 zvolte v = {vx , Vy, v z) a u = {x, y, z). Následně vypočítejte průměrnou hodnotu < ^rad >• Nezapomeňte na to, že úhly musíte dosazovat do trigonometrických funkcí jazyku Python v radiánech. Průměrná hodnota radiálních rychlostí hvězd je.........km/s. Stručně vysvětlete, proč musíme (obecně) vložit nerovnost do v-—)^{v)- —— \u\ / (u) 3. Vykreslete do grafu mapku vaší hvězdokupy na hvězdné obloze. Graf si vytiskněte a přiložte jej k praktiku. 46 základy astronomie 1 Praktikum 6a Rotace Merkuru 1 Úvod Určování velikosti planet, doby jejich oběhu kolem mateřské hvězdy, délky rotace či hmotnosti jsou důležitou úlohou pozorovací astronomie. Tyto informace jsou vlastně prvním krokem a nezbytným předpokladem pro další studium planetárních světů. Přestože nyní tyto parametry určujeme u vzdáleností planetárních světů mimo naši Sluneční soustavu, ještě před půl stoletím byl problém zjistit tyto parametry například u planety Merkur. Do roku 1900 bylo jedinou možností, jak určit dobu rotace planety, přímé pozorování jejího povrchu. Do 80. let 19. století byl všeobecně přijímán názor, že den na Merkuru trvá přibližně 24 pozemských hodin. V roce 1889 G. V. Schiaparelli zveřejnil zprávu, že pozoroval jisté trvalé útvary na povrchu Merkuru a z nich vyvodil, že doba rotace je stejná jako doba oběhu, tedy 88 dní. Další pozorovatelé, zejména například P. Lowell vázanou rotaci u Merkuru potvrdili. Kolem roku 1900 bylo možné začít studovat planety ve Sluneční soustavě také spektroskopicky. Bohužel pro Venuši nebo Merkur nebyla tato metoda příliš účinná. Astronomové byli schopni jen potvrdit, že doba rotace je několik dní, ale větší přesnosti nedosáhli. Mnohem výkonnější se ukázala metoda radarového odrazu od studovaných planet. Poprvé byl radarový odraz od Merkuru realizován v roce 1963. O dva roky později už bylo možné na otázku rotace Merkuru dát jasnou a jednoznačnou odpověď. Obr. 23: Staré mapy Merkuru, a) Schiaparelli (1889), b) Lowell (1896), c) Jarry-Desloges (1920). Převzato z http://www.lpl.arizona.edu. V srpnu 1965 provedli R. B. Dyce, G. H. Pettengill a I. I. Shapiro sérii rádiových pozorování Merkuru. S využitím 300m radioteleskopu v Arecibu vyslali k Merkuru sérii pulsů o délce 0,1 ms a 0,5 ms o frekvenci 430 MHz. Protože doba cesty paprsku k Merkuru a zpět byla mnohem delší než délka pulsů, bylo možné pozorovat rozšíření signálu ve frekvenci způsobené rotací Merkuru. Samozřejmě, frekvenční posun může být způsoben i pohybem mezi planetami nebo pohybem antény kolem zemské osy. Většina z těchto efektů ale byla pečlivým zpracováním signálů odstraněna. Když je ostrý radarový puls odražen od rotující kulové planety, je přijatý signál rozšířený, jakoby rozmytý, v čase i frekvenci. Vyslaný signál dopadne na celý kotouček planety, ale nejdříve se vrátí odraz z nejbližšího bodu, tedy ze středu kotoučku, z tzv. subradarového bodu. S malou prodlevou se pak vrací odraz ze vzdálenějších a vzdálenějších oblastí symetricky rozložených kolem subradarového bodu (viz obrázek 24). Na obrázku 26 je pět radarových 47 odrazů od Merkuru s rozdílným časovým zpožděním. Všimněte si, že čím delší je časové zpoždění, tím větší je rozsah frekvencí vráceného signálu. Rozšíření signálu ve frekvenci je dáno tím, že jedna okrajová část disku se pohybuje směrem k Zemi a tedy k radaru, zatímco druhá od něj (viz obrázek 25). Jde o známý Dopplerův jev, takže radarový odraz z okraje, který se vzdaluje, se vrátí s menší frekvencí, zatímco odraz z přibližujícího se okraje bude mít frekvenci větší. subradarový bod I <- 2<=- Obr. 24: Rozklad signálu v čase. Určení rotační rychlosti pomocí radarového odrazu by mělo být v principu snadnou záležitostí, jenže odražený signál směrem k okraji slábne a signál přímo z okraje není použitelný. Proto pro určení složky rotační rychlosti ve směru k nám používáme odražený signál z prstence mezi subradarovým bodem a okrajem kotoučku planety (viz obrázek 24). V obrázku 26 je u každého signálu uvedeno zpoždění v mikrosekundách. Doba zpoždění odpovídá vzdálenosti, kterou musí signál navíc urazit oproti situaci, kdy dopadá přímo do subradarového bodu. Platí tedy At = 2r/c (neboť r = cAí/2), kde c je velikost rychlosti světla. Z obr. 24 plyne x = R-r,y = \/(R2 - x2), (4) kde R = 2420 km je poloměr Merkuru. Z obrázku 24 je také zřejmé, že složku rychlosti Vo, kterou se od nás vzdaluje (nebo k nám přibližuje) právě ta část povrchu, od níž se signál odrazil, určíme z frekvenčního posunu A f na základě Dopplerova jevu: 2V0/c = Af/f, (5) kde / značí frekvenci vyslaného impulsu. Z podobnosti trojúhelníků na obrázku 24 plyne V/V0 = R/y, (6) kde V je hledaná rychlost rotace. Odtud již triviálně určíme periodu rotace P = 2-kR/V. (7) 48 2 Pracovní postup 2.1 Frekvenční posun V obrázku 26 vyznačte u křivek signálů zachycených po návratu z Merkuru body, kde úroveň signálu začíná klesat k základní úrovni. Nyní pro každý z těchto bodů určete velikost frekvenčního posunu. Spočtěte pro každý signál průměrnou hodnotu frekvenčního posunu a zapište do tabulky 8. 2.2 Výpočet periody Pomocí výše uvedených vztahů vypočítejte postupně veličiny r, x, y, \q, v a P v jednotkách, uvedených v tabulce 9 a zapište do tabulky. Pokud jste četli pozorně, frekvenci vysílání / již znáte. Hodnoty periody P získané pro čtyři různá časová zpoždění zprůměrujte. Porovnejte získanou hodnotu s hodnotou v literatuře. Použité zdroje a další materiály ke studiu Hoff, D. B., Schmidt, G.: Laboratory Exercises in Astronomy - the Rotation of Mercury, 1979, Sky and Telescope 58, č. 3, 219-221 Dyce, B. R., Pettengill, G. H., & Shapiro, I. I., 1967, Astronomical Journal 72, 351 Pokorný, Z., Vademecum. Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně, 2006 49 prijatý tok záření dané frekvence -3-2-10123 změna frekvence (Hz) Obr. 26: Záznamy radarových signálů odražených od Merkuru (Ai uvedené u každého záznamu je v mikrosekundách). Pozorování je ze 17. 8. 1965, radioteleskop Arecibo, Portoriko. Frekvence vyslaného impulsu byla 430 MHz. 50 PRAKTICKÁ ČÁST * _ Úloha: Rotace Merkuru Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Obrázek 26 si vytiskněte třikrát. Vyznačte na zobrazených křivkách body, kde úroveň signálu začíná klesat, v záporné i kladné oblasti. Změřte co nejpřesněji velikost frekvenčního posunu pro každý z těchto bodů. Hodnoty představují velikost posunu (budou tedy kladné). Vyznačení bodů a měření opakujte na druhém a poté třetím grafu. Nové grafy pro další měření používáte kvůli minimalizaci ovlivnění předchozím určením. Všechny naměřené hodnoty zapište do tabulky 8. Spočtěte pro každý signál průměrnou hodnotu frekvenčního posunu v hertzích a chybu určení a zapište do tabulky 8. Diskutujte, jak se liší spočtená chyba aritmetického průměru a chyba odpovídající nejistotě s jakou jste měření frekvenčního posunu prováděli. Tabulka 8: Měření frekvenčního posunu Signál At 1. kopie 2. kopie 3. kopie Průměr Chyba [fis] L [mm] P [mm] L [mm] P [mm] L [mm] P [mm] [Hz] [Hz] 120 210 300 390 2. Pomocí výše uvedených vztahů a zjištěných průměrných hodnot frekvenčních posunů pro všechny čtyři signály vypočítejte postupně veličiny r,x,y, Vq, V a P v jednotkách, uvedených v tabulce 9 a zapište do tabulky. Pokud jste četli pozorně úvod, frekvenci vysílání / již znáte. 3. Hodnoty periody P získané pro čtyři různá časová zpoždění zprůměrujte. Porovnejte získanou hodnotu s hodnotou v literatuře. Nezapomeňte uvést zdroj informace. Odhadněte nejistotu stanovení hodnoty periody. Zjištěná perioda rotace Merkuru................ Perioda rotace Merkuru nalezená v literatuře................ Zdroj................................ 51 Tabulka 9: Vypočtené hodnoty veličin Signál At A/ r X y V0 V P [fis] [Hz] [km] [km] [km] [kms-1] [kms-1] [dny] 120 210 300 390 4. V den pozorování Merkuru 17. 8. 1965 nastala tato konfigurace Slunce, Země a Merkuru: Merkur byl 0.3977 AU od Slunce, Země 1.0116 AU od Slunce a úhel Slunce-Země-Merkur byl roven 4°. Vyslaný impuls z radaru se po odrazu od Merkuru vrátil zpět na Zemi za 616.125 s. Vypočtěte ze zadaných veličin velikost astronomické jednotky v kilometrech. Rychlost světla c = 299 790 km.s-1. Postup výpočtu zapište do pracovního listu. (Nápověda: Je třeba využít jedné ze základních rovnic pro obecný trojúhelník.) Zjištěná délka 1 AU =...........km. 5. Vysvětlete, proč je ve vztahu (5) uveden koeficient 2? 6. Zjistěte a zapište, kdy bude v nejbližším období Merkur v maximálni elongaci. Kdy dojde k dalšímu tranzitu Merkuru (pozorovatelnému ze Země) přes sluneční disk? 52 základy astronomie 1 Praktikum 6b Objev pátého měsíce Jupiteru 1 Úvod Nejstarší záznamy Galilea Galileiho o pozorování měsíců Jupiteru pochází z let 1609 a 1610. Jeho dalekohled stačil na to, aby rozlišil čtyři měsíce obíhající kolem své mateřské planety -Ganymed, Callisto, Io a Europa. Dnes již víme, že se jedná o poměrně kulatá tělesa s poloměry většími než 1500 km. Stále přitahují pozornost astronomů, protože ostatní objevené měsíce jsou minimálně o řád menší a nepravidelného tvaru. Navíc u některých z nich pozorujeme aktivitu na povrchu, za což jsou odpovědné slapové síly působené Jupiterem v důsledku malých oběžných drah těchto měsíců v kombinaci s orbitálními rezonancemi. Efekt je nejvýraznější u měsíce Io, kde na povrchu pozorujeme vulkanickou aktivitu (obrázek 27). Obr. 27: Snímek ze sondy Galileo, zachycující erupci na povrchu měsíce Io. Převzato z https: //solarsystém.nasa.gov/. Tabulka 10: Některé parametry Galileovských měsíců (hmotnost M, rovníkový poloměr R, poloměr oběžné trajektorie a, doba oběhu kolem Jupiteru P. Jupiter Ganymed Callisto Io Europa M [kg] 1.898 • 1027 1.482 • 1023 1.076- 1023 0.893 • 1023 0.480 • 1023 R [km] 71500 2630 2410 1820 1560 a [km] - 1070400 1 882 700 421800 671100 P[d] - 7.15 16.69 1.77 3.55 53 Žádný další měsíc nebyl nalezen až do konce 19. století, kdy Edward Emerson Barnard pozoroval pátý měsíc (Amalthea). Pomohl mu k tomu téměř 90cm refraktor. První pokus analyzovat dráhu objektu během první noci selhal, protože došlo k nečekanému poškození dalekohledu a nově pozorovaná „malá hvězda" se Barnardovi ztratila ze zorného pole. Během následujících nocí se mu však podařilo objekt pozorovat bez většího přerušení. Protože měl tušení, že se jedná o nový měsíc, rozhodl se mimo polohy měsíce vůči Jupiteru měřit i poloměr Jupiteru, což mu pomohlo přesně stanovit vzdálenost měsíce od planety. V tomto praktiku zkusíte postupovat podobně, jak to dělal Barnard v roce 1892. Vzhledem k tomu, že by byl potřebný trochu větší dalekohled, než je typicky dostupný, budeme používat hodnoty Barnardova měření. Původní měření vycházela z použití mikrometrového šroubu, pro vás však bude situace zjednodušena tím, že budete používat přímo hodnoty v úhlových sekundách, jak je vypočetl Barnard. 2 Pracovní postup V tabulce 11 jsou k dispozici data ze tří nocí. Na základě Barnardových měření, určete velikost hlavní poloosy měsíce A (absolutní poloměr Jupiteru na rovníku i?j = 71500 km). Je výhodnější měřit vzdálenost pouze k okraji Jupiteru a pak vzdálenost ke středu určit pomocí zjištěného průměru kotoučku Jupiteru. Následně pomocí (upraveného) třetího Keplerova zákona určete oběžnou dobu. Za referenční soustavu hodnot v rovnici dosaďte za hodnotu in hmotnost Země (5.97 • 1024 kg), za a hlavní poloosu našeho Měsíce (384400 km) a za p jeho siderickou oběžnou periodu (27.32 d). (8) 54 Tabulka 11: Část Barnardových měření z roku 1892. Čas měření Vzdálenost měsíce Rovníkový (PST) od okraje Jupiteru průměr Jupiteru (10.9.1892) 12 45 10 36.01" 48.93" 12 48 40 36.22" - 12 54 10 36.48" - 13 01 40 36.83" - 13 04 00 35.97" - 13 06 25 34.93" - (12.9.1892) 12 19 46 35.15" 48.97" 12 23 12 36.93" - 12 28 51 36.51" - 12 32 46 37.13" - 12 37 50 37.46" - 12 42 31 36.94" - 12 45 19 36.24" - 12 51 04 36.11" - 12 56 01 36.23" - 13 03 43 35.04" - (14.9.1892) 11 54 02 34.12" 49.18" 12 00 03 35.12" - 12 04 30 35.87" - 12 10 10 36.32" - 12 15 22 36.63" - 12 18 48 37.01" - 12 21 37 36.86" - 12 25 15 37.01" - 12 29 25 36.76" - 12 32 35 36.95" - 12 39 25 35.77" - 12 44 15 35.04" - 12 48 25 35.54" - Poznámka: PST (Pacific Standard Time) = UT - 8 hodin. Použité zdroje a další materiály ke studiu Barnard, E.E. 1892, AJ, 12, 81 https://solarsystem.nasa.gov/ 55 PRAKTICKÁ ČÁST Úloha: Objev pátého měsíce Jupiteru Jméno:..................... Datum odevzdání:......... Shrnutí úkolů: 1. Vypočítejte hlavní poloosu pro všechny tři dny z pozorování měsíce Amalthea (tabulka 11). K tomu budete muset nejprve určit úhlovou vzdálenost 9 mezi středem kotoučku Jupiteru a měsícem - pokuste se najít úhel největší elongace (svůj výběr zdůvodněte). Pak hodnotu hlavní poloosy dostanete ze vztahu A = Rj ^ , (9) kde 6j je úhlový poloměr Jupiteru. Vzdálenosti měsíce Amalthea od středu Jupiteru Den Vzdálenost 6 Hlavní poloosa A [km] 10. 9. 1892 12. 9. 1892 14. 9. 1892 Porovnejte velikost orbity s Galileovskými měsíci a diskutujte. 2. Tvar měsíce Amalthea není sférický, jak je tomu přibližně u Galileovských měsíců, ale spíše představuje rotační elipsoid (a/6 = c). Řekněme, že Barnard v roce 1892 pozoroval měsíc přivrácen tak, průmětem na rovinu pozorovatele byl kruh. Předpokládejte, že odrazivost měsíce je stejná na celém povrchu, hlavní a vedlejší osa rotačního elipsoidu jsou v poměru a:b = 5:3 a Barnard naměřil hvězdnou velikost 13 mag. Určete hvězdnou velikost v případě, že by tehdy byl měsíc přivrácen tak, že průmětem měsíce byla elipsa. K výpočtu potřebujete pouze Pogsonovu rovnici. 3. Pomocí rovnice 8 určete průměrnou hodnotu oběžné doby měsíce. Ve vztahu 8 jsme uvažovali m = Mzemé, coz je pouze aproximace. Vypočítejte, jak se změní perioda pokud budete uvažovat m = Mzemě + -^Měsíc (-^Měsíc ~ 0.01Mzemě). 56 4. Orbitální rezonance může mít velký vliv na dráhy měsíců. K takové rezonanci dochází tehdy, když na sebe dva měsíce působí periodicky gravitační silou. Pokud je poměr oběžných period iracionálním číslem, výsledek vzájemného působení bude prakticky nulový. Pokud však budou periody v celočíselném poměru n:m (typicky jsou důležitá hlavně čísla n a m menší než 10), výsledek vzájemného působení bude nenulový a velikost změny drah bude dána počtem uplynulých period. Někdy se však nejedná o skutečnou rezonanci. Příkladem je orbitální pohyb Země a Venuše, kde nepozorujeme žádnou rezonanci, i když je poměr period poměrně přesně 8:13. Podívejte se na tabulku Galileovských měsíců a zjistěte, jestli mohou některé z nich být v orbitální rezonanci. Postupovat můžete následovně: • Určete poměr period • Výsledek vynásobte malým celým číslem (1 až 9) • Pokud je tohle číslo blízké nějakému jinému celému číslu (rozdíl by měl být maximálně v setinách), jedná se pravděpodobně o rezonanci Je Amalthea v rezonanci s některým ze čtyř Galileovských měsíců? 57 základy astronomie 1 Praktikum 7 Vlastnosti exoplanet 1 Úvod Když byly v devadesátých letech minulého století objeveny první extrasolární planety, jen málokdo dokázal odhadnout další rozvoj tohoto odvětví astronomie. Dnes je studium exoplanet jednou z nejrychleji se rozvíjejících částí astronomie. Počet nově objevených planet a planetárních soustav obíhajících jiné mateřské hvězdy než naše Slunce rychle roste. Katalogy exoplanet utěšeně bobtnají, ale nejen to. Dnes dokážeme studovat i atmosféry těchto vzdálených světů a promýšlet možnosti výskytu života na těchto planetách. Nové poznatky o exoplanetách ale nejen rozšiřují naše vědomosti, někde naopak zcela nabourávají naše dosavadní představy o vzniku planetárních soustav, jejich vývoji, dynamice. V této praktické úloze se pokusíme zjistit o zvolené tranzitující exoplanetě co nejvíce. Postupně budete zjišťovat periodu oběhu planety kolem mateřské hvězdy, její vzdálenost od této hvězdy, hmotnost exoplanety, oběžnou rychlost, polohu planety vzhledem k zóně života, povrchovou teplotu, poloměr a hustotu. Uvidíte, že i s poměrně skromnými vědomostmi se o vzdálených planetách můžete dozvědět spoustu zásadních informací. Data ke zpracování (graf změn radiálních rychlostí a světelnou křivku) vám poskytne cvičící. Každý student bude určovat vlastnosti jiné exoplanety. Orbital Phase Obr. 28: Hvězdná velikost hvězdy v průběhu tranzitu exoplanety. Vlevo měření družice COROT transitu exoplanety Corot 11b. Vpravo měření přechodu exoplanety HD 189733b pořízená Petrem Svobodou v Brně dalekohledem o průměru 34 mm! (Opravdu nejde o překlep. Dalekohled, vlastně jen fotografický objektiv měl využitý průměr necelých tři a půl centimetru.) 58 -5 r ■ ■ .. i. ,,, i — i — i — i,,, , i,, ,, i,,,, i, ,,, i — i — i — i,,, , i,, ,, i O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 spektrální typ F5, m = 11 mag, d = 330 pc dny Obr. 29: Příklad grafu ukazujícího měřenou změnu jasnosti hvězdy. Uveden je i její spektrální typ. Když planeta přechází před diskem hvězdy, nastane transit, malá část hvězdy je zacloněna podstatně chladnější planetou a dojde k poklesu pozorované jasnosti hvězdy. 2 Pracovní postup 2.1 Určení oběžné periody exoplanety První veličinou, kterou se pokusíme u exoplanety zjistit, bude její oběžná doba kolem mateřské hvězdy. Metod, které slouží k detekci exoplanet a určování jejich orbitálních period, je celá řada. My si vybereme jen dvě z nich - metodu radiálních rychlostí a měření jasnosti hvězdy pro tranzitující exoplanety. Pokud obíhá kolem hvězdy jiné dosud nedetekované těleso (jiná hvězda, planeta), projeví se její existence v pravidelném posunu spektrálních čar hvězdy střídavě k červenému a modrému konci spektra. Z těchto posunů čar můžeme pak určit dobu oběhu, hmotnost tělesa a další parametry. Měření tranzitů, tedy přechodů, planety přes disk mateřské hvězdy předpokládá, že zorný paprsek od nás ze Země se přibližně nachází v rovině oběhu exoplanety kolem mateřské hvězdy. V průběhu tranzitů je zakryta malá část disku hvězdy chladnějším diskem planety a dojde tak k velmi mírnému, ale přesto měřitelnému poklesu jasnosti hvězdy. Opakování poklesů pak samozřejmě odpovídá době oběhu planety. Periodu je tedy možné určit z grafu změny jasnosti hvězdy nebo z grafu křivky radiálních rychlostí. 2.2 Vzdálenost exoplanety od mateřské hvězdy Pohyb planety kolem hvězdy popisují Keplerovy zákony a samozřejmě Newtonův gravitační zákon. Jejich využitím spočtěte vzdálenost planety od své mateřské hvězdy. Chybějící údaj o hmotnosti hvězdy lze odhadnout. Později v kurzu se dozvíte, že pro hvězdy na tzv. hlavní posloupnosti v HR diagramu je možné psát empirické vztahy pro jejich různé parametry. Vztah mezi hmotností (případně poloměrem) hvězdy a její teplotou můžeme popsat polynomickou rovnicí šestého řádu íog(^) =^Pn(iogrr, (io) kde X je hmotnost M nebo poloměr R (samozřejmě, koeficienty pn nejsou stejné pro obě veličiny). Pozor na logaritmy v rovnici - nejlepší je nejprve určit hodnotu log T a až pak přejít k výpočtu. Povšimněte si, že hmotnost i poloměr z rovnice dostaneme v jednotkách slunečních (Mq = 1.98 • 1030 kg, Rq = 695 700 km, ale v logaritmu!). Všechny koeficienty potřebné pro určení hmotnosti a poloměru hvězdy pro tuto úlohu naleznete v tabulce 14. Parametry je nutno zadávat přesně, bez zaokrouhlování. 59 2.3 Hmotnost exoplanety a oběžná rychlost Abychom mohli určit hmotnost exoplanety, budeme potřebovat hmotnost hvězdy určenou v předchozí úloze, oběžnou rychlost mateřské hvězdy a vztah pro polohu těžiště soustavy. Pro zjištění oběžné rychlosti hvězdy využijeme křivku radiálních rychlostí, z které určíme polovinu amplitudy změn rychlosti (polovina rozdílu mezi maximální a minimální rychlostí). Avšak musíme mít na zřeteli, že jde jen o odhad minimální oběžné rychlosti. Ve skutečnosti je rovina oběhu skloněna vůči rovině kolmé na směr pohledu pozorovatele pod úhlem, který nazýváme inklinace i. Pro exoplanetu tranzitující přes střed kotouče hvězdy (ideální případ) je úhel sklonu přesně i = 90° a pro tento případ bude naše úvaha fungovat. Pro jiné úhly sklonu (i < 90°) se však už nebude promítat do směru zorného paprsku celá velikost vektoru rychlosti. V následujícím postupu budeme uvažovat, že na soustavu těles nepůsobí žádné vnější síly. Pokud počátek souřadnicové soustavy umístíme do polohy těžiště, a využijeme toho, že v Keplerově úloze přímka procházející polohou hvězdy a exoplanety vždy prochází i těžištěm soustavy, dostaneme m\r\ = M\R\ , m\v\=M\V\, (11) kde m a M jsou hmotnosti exoplanety a hvězdy, r a R jsou jejich vzdálenosti od těžiště, v a V jsou jejich rychlosti v uvedených vzdálenostech, a pro hlavní poloosu (v našem případě kruhové trajektorie, pro poloměr) a platí r + R = a. Dále budeme aproximovat trajektorii hvězdy pohybem po kružnici (s rychlostí V rovnou polovině amplitudy změn radiálních rychlostí, kterou dostaneme jako rozdíl mezi maximem a minimem rychlosti) V = ^. (12) z čehož můžeme odhadnout vzdálenost R. Vztah pro hmotnost exoplanety pak po menších úpravách nabývá tvar m = m(2_J_,y (13) \pv 1) Musíme si však uvědomit, že vzhledem k závislosti na oběžné rychlosti hvězdy bude výpočet udávat pouze minimální hodnotu hmotnosti exoplanety, která obecně závisí na inklinaci. Ze vztahu 11 můžeme vidět, že větší poměr hmotnosti hvězdy ke hmotnosti planety znamená větší poměr rychlosti planety k rychlosti hvězdy. 2.4 Je planeta obyvatelná? Naše názory na život ve vesmíru a obyvatelnost planet se mohou i dost podstatně lišit, ale v současnosti převládá názor, že život ve vesmíru ke své existenci potřebuje vodu a to nejlépe vodu ve všech třech skupenstvích. Hledáme tedy planety, kde by panovaly takové podmínky, aby existence zejména tekuté vody byla možná. Na planetě tedy musí být vhodná teplota a tlak atmosféry, což je určeno parametry planety a její vzdáleností od mateřské hvězdy. Navíc předpokládáme, že pro vznik a udržení života je nutné, aby planeta měla pevný povrch, nikoli plynný jako například Jupiter. V každém případě, pokud by planeta byla příliš daleko, nedostávala by dost energie od mateřské hvězdy a byla by příliš chladná. Naopak, malá vzdálenost by planetu rozpálila na vysokou teplotu, jak můžeme pozorovat například u tzv. horkých Jupiterů. Pokud má planeta optimální vzdálenost, nachází se v tzv. zóně života. Podoba zóny života samozřejmě závisí na parametrech mateřské hvězdy. Na obrázku 30 jsou uvedeny zóny života dle Kastinga a kol. (1993). 60 Graf umístění obyvatelné zóny u hvězd 10 : TD N > (ň O O E 10 : 10 o# -1- srn Zóna života i i F • M VZ M J S UNP ♦ ♦♦♦ ♦ ♦ ••• : M# 10 Polomer hvězdy 10 10 Vzdálenost planety [AU] Obr. 30: V grafu je vykreslena hmotnost hvězdy v hmotnostech Slunce v závislosti na vzdálenosti planety od mateřské hvězdy. Příslušným spektrálním typem (O, B, A, F, G, K, M) jsou také označeny odpovídající poloměry hvězd. Písmeno označuje vždy hodnotu pro podtyp 0, tedy A znamená A0. Přibližná poloha planet Sluneční soustavy je vyznačena podél vodorovné linie odpovídající 1 M0 a je vyznačena vždy prvním písmenem názvu planety. Graf sestavil David Koch na základě práce Kastinga a kol. (1993). 2.5 Povrchová teplota exoplanety Zatím jsme z měření určili dobu oběhu exoplanety kolem mateřské hvězdy, následně spočítali její vzdálenost, hmotnost, rychlost a rozhodli o její poloze vzhledem k zóně života. Jak ale určit povrchovou teplotu planety? To přece musí být obtížná a náročná metoda! Budete zřejmě překvapeni, ale řešení je poměrně snadné. Kvalifikovaný odhad teploty povrchu exoplanety můžete provést sami na základě znalostí z kurzu a údajů v této praktické úloze. Na teplotu exoplanety má vliv několik faktorů. Tak především teplota mateřské hvězdy a její vzdálenost. Důležité jsou i albedo a emisivita. Zatímco albedo je míra odrazivosti, tedy poměr mezi množstvím odraženého a dopadajícího záření, emisivita určuje, jak dokáže planeta vyzařovat tepelnou energii - je to poměr mezi množstvím skutečně vyzářené energie ku energii vyzářené absolutně černým tělesem o stejné teplotě. Pro obyvatelnou planetu je nezbytné, aby měla dostatečně silnou a hustou atmosféru. Jestliže tato podstatná atmosféra je navíc perfektní absorbér a zářič (albedo i emisivitu lze zanedbat), pak můžeme průměrnou teplotu povrchu planety odhadnout ze vztahu rr / -^hvězda rr (1 a \ IPl = \ -1 hvězda, (-L4J y 2api kde Tpi je průměrná povrchová teplota planety v kelvinech, -Rhvězda Je poloměr hvězdy, ap\ je velká poloosa trajektorie exoplanety a Thvězda Je povrchová teplota mateřské hvězdy v kelvinech. Je třeba si uvědomit, že pro obyvatelnou planetu je rozmezí možných povrchových teplot velmi malé. Abychom splnili zatím všeobecně přijímanou premisu o nezbytnosti tekuté vody, musí být v podstatě v intervalu od bodu mrazu do bodu varu vody. Samozřejmě tento interval se může měnit v závislosti na tlaku, který na povrchu planety panuje. 61 2.6 Velikost exoplanety Jak již víme, lze při vhodné orientaci roviny oběhu planety kolem mateřské hvězdy vůči směru k Zemi detekovat pokles jasnosti hvězdy způsobený přechodem planety přes disk hvězdy. Takové pozorování tranzitů lze v dnešní době vykonávat i v amatérských podmínkách s relativně malými dalekohledy a CCD kamerami, dokonce i s fotoaparáty v mobilních telefonech (viz obrázek 28b). Samozřejmě nejpřesnější měření jsme donedávna získávali z družic COROT nebo KEPLER (viz obrázek 28a). V současnosti je nahrazují TESS, CHEOPS a James Webb Space Telescope. Nicméně pečlivým zpracováním a analýzou měření malých pozemských dalekohledů lze také získat data vhodná k určení poloměru exoplanety. Nebudeme ale postupovat zcela rigorózně a úlohu si opět zjednodušíme. Ideální případ, kdy směr k Zemi, k pozorovateli, leží přímo v rovině oběhu exoplanety kolem mateřské hvězdy, tedy kdy planeta přechází přímo přes střed disku hvězdy, příliš často nenastává. Můžeme si ale pomoci zanedbáním okrajového ztemnění hvězdy. Budeme předpokládat, že disk hvězdy je všude stejně jasný, což znamená, že ať již bude zakrývána jakákoli část hvězdy, vždy bude pokles jasu záviset pouze na zakryté ploše disku. Její maximální hodnota je samozřejmě totožná s plochou disku exoplanety vřižpj. Pozorovaný relativní pokles jasnosti AF je pak dán jednoduše jako poměr čtverců poloměrů planety a hvězdy AF = iJr^- (15) -"•hvězda Hodnotu AF dostanete jako rozdíl mezi jasností hvězdy mimo tranzit (10°) a v době minima zákrytu (10^min). Potřebujete proto určit pouze samotnou hodnotu /min, ideálně jako průměr minim v grafu světelné křivky. 2.7 Výpočet hustoty exoplanety Vzhledem k tomu, že hmotnost exoplanety i její poloměr již známe, výpočet hustoty se stává triviálním jestliže aproximujeme její tvar jako kouli. Budeme však zanedbávat vliv slapových sil pocházejících z interakce mezi planetou a hvězdou (pro malé vzdálenosti od hvězdy může být tenhle vliv poměrně veliký!). Hustotu exoplanety však můžeme určit i na základě odhadu. Využijeme dva velmi jednoduché modely. Budeme předpokládat, že hustota planety závisí jen na jedné veličině - buď na její velikosti, tedy poloměru, nebo na její vzdálenosti od mateřské hvězdy. Dlužno říci, že ani pro naši Sluneční soustavu, to není přesné, jak je vidět z obrázků 31. V prvním modelu (obrázek 31, nahoře) je závislost hustoty planet Sluneční soustavy na jejich poloměru v logaritmické škále. Zobrazená křivka představuje nejlepší proložení, ale je jasně vidět, že pro řadu planet rozhodně nejde o optimální řešení. Navíc je třeba si uvědomit, že průběh hustoty v každém planetárním systému nemusí být stejný. Nicméně pro naše účely získaný odhad postačí. V druhém modelu (obrázek 31, dole) je podstatně lepší proložení pro závislost hustoty planety na její vzdálenosti od Slunce. I zde je však vidět odchylky pro některé planety, byť nejsou tak veliké jako v předchozím případě. 62 10 Závislost hustoty na poloměru planety O) ra -t—1 O 4-1 10 -1-I—1—• • ' • ' 1-'-■—>—.....1-«— '—'—..... Merkur Země ; / *Mars\ Vpluto ^Neptun •V •Jupiter ; ...........................Urarrv.............................. ;......., •Saturn i 10 7000 r 6000 10 10 10 Poloměr planety [Rz] Závislost hustoty na vzdálenosti od Slunce CO ' E I en 5000 re ■4—1 O 4000 ■ ■ná hust 3000 ■ E 2000 - ■O CL 1000 ■ ■..............r................i i i................i i- [Země : f Merkur \ '4Mars JUupiter > Uran Neptun Pluto i Saturn 10 20 30 40 Vzdálenost od Slunce [AU] 50 Obr. 31: Závislosti hustoty planet Sluneční soustavy a Pluta na jejich velikosti a vzdálenosti od Slunce. Použité a další materiály ke studiu Eker, Z., Bakis, V., Bilir, S., et al., 2018, MNRAS, 479, 5491 Kasting, J. F., Whitmire, D. P., & Reynolds, R. T., 1993, Icarus, 101, 108 http://www.exoplanety.cz https://www.nasa.gov/mission_pages/kepler/overview/index.html 63 PRAKTICKÁ ČÁST Úloha: Vlastnosti exoplanet Jméno:..................... Datum odevzdání:......... Shrnutí úkolů: 1. Každý student dostane záznam s měřenou křivkou radiálních rychlostí a jasností hvězdy Všechny další úkoly pak budete provádět s údaji dle zvoleného záznamu. Efektivní teplota zadané hvězdy je..... Pro zvolenou exoplanetu odměřte z grafu čas mezi poklesy jasnosti hvězdy a spočítejte průměrný čas mezi tranzity exoplanety. Měření opakujte 10 krát a zapište do tabulky 12. Měřte různé úseky, například dvě nebo tři periody nebo od prvního poklesu do posledního. V případě, že použijete pravítko, několikrát proměřte i měřítko grafu, aby byl přepočet mezi jednotkami délkovými a zobrazovanými časovými co nejpřesnější. Při všech měřeních se nespokojte s přesností použitého měřidla, zpravidla milimetry, ale jistě můžete měřit s přesností na jednu až dvě desetiny milimetru. Tabulka 12: Měření periody oběhu Číslo měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Délka [mm] Počet period Délka 1 periody [dny] Měřítko grafu 1 mm odpovídá.....dní, bylo zjištěno na základě.....měření s chybou..... Průměrná hodnota oběžné periody z provedených měření je.....dní =......roků. 2. V této chvíli vystačíme s tím, že známe teplotu mateřské hvězdy. Pomocí parametrů v tabulce 14 a vztahu 10 zjistěte příslušnou hmotnost hvězdy, M =......M0. Povšimněte si, závislosti spektrální třídy hvězdy a hmotnosti. Které hvězdy jsou zde nejhmotnější? Chladné nebo žhavé?......... Tabulka 13: Teploty hvězd na hlavní posloupnosti Spektr, třída 05 B0 B5 A0 A5 F0 F5 G0 G5 K0 K5 M0 M5 Teplota [K] 35000 21000 13500 9700 8100 7200 6500 6000 5400 4700 4000 3300 2600 Máme samozrejmé na mysli pozemský den 1 d = 86400 s a juliánsky rok v délce 365.25 dne. 64 Vraťme se zpět k našemu úkolu. Máme určit velkou poloosu oběžné trajektorie exopla-nety. Využijeme třetího Keplerova zákona, ale lze jej využít v následujícím tvaru nebo ve vztahu něco chybí? P2M = a3 . (16) Pokud ve vztahu něco chybí, napište správný tvar. Svou odpověď zdůvodněte! Dosaďte do vztahu, spočtěte velkou poloosu trajektorie exoplanety. a =......m=.....AU 3. Určete hodnotu poloviny amplitudy radiálních rychlostí a pomocí vztahů 12 a 13 hmotnost exoplanety. Hmotnost Země je přibližně Mzemě = 5.97 • 1024 kg. Polovina amplitudy změn radiálních rychlostí hvězdy......m/s , Hmotnost exoplanety.......kg =.....Mzemě 4. Pomocí vztahu 11 vypočítejte oběžnou rychlost exoplanety. Oběžná rychlost exoplanety......km/s , Podívejme se ještě jednou na hodnotu amplitudy změn radiálních rychlostí hvězdy V. Je v současnosti možné pozorovat takovou změnu? Svoji odpověď zdůvodněte. 5. Zjistěte poloměr mateřské hvězdy exoplanety pomocí parametrů v tabulce 14 a vztahu 10 a poté do obrázku 30 vyznačte polohu hvězdy. Dávejte pozor na měřítka os, jsou obě logaritmická! A nyní odpovězte na otázku, kde se nachází sledovaná exoplaneta (označte jednu z následujících možností). Exoplaneta se nachází: a) nepochybně v zóně života na grafu, b) zcela jistě mimo zónu života, c) poblíž hranice zóny života. 6. Odhadněte povrchovou teplotu planety ze vztahu 14. Ve zvoleném případě je mateřská hvězda spektrální třídy .... a to znamená, že její povrchová teplota je......a poloměr.......Povrchová teplota sledované exoplanety je pak...... Určete velikost exoplanety dle vztahu 15. Poloměr Země na rovníku je Rzemě = 6378 km. Poloměr exoplanety je.......m , což je ... . poloměrů Země. 65 7. Do grafu 31 (nahoře) vyznačte nalezený poloměr exoplanety a odečtěte z něj odhadovanou hustotu planety (pozor - graf je v logaritmické škále!). Obdobně do grafu 31 (dole) vyznačte zjištěnou střední vzdálenost exoplanety od mateřské hvězdy a odečtěte odhadovanou hustotu exoplanety. Hodnoty porovnejte s hustotou závislou na zjištěné hmotnosti a velikosti exoplanety a diskutujte. odhad hustoty (model 1)........kg/m3 odhad hustoty (model 2)........kg/m3 3mp1 i / s 8. Diskutujte zjištěné parametry exoplanety. Odhadněte, jak se projevily různé zjednodušující předpoklady na výsledných parametrech (vzpomeňte alespoň dvě použité aproximace). 9. Použité grafy přiložte k praktiku. Tabulka 14: Parametry rovnice 10. Platí pro hvězdy o hmotnosti 0.2Mq < M < 3OM0 (Eker et al. 2018), nacházející se na hlavní posloupnosti HR diagramu X M R Pe> -2.55239583 ■101 -7.02481661 ■101 P5 6.29784742 ■ 102 1.73644705 ■ 103 P4 -6.46457141 ■ 103 -1.78456073 ■ 104 P3 3.53353833 ■ 104 9.75956686 ■ 104 P2 -1.08476447 ■ 105 -2.99546024 ■ 105 Pl 1.77339819 ■ 105 4.89209256 ■ 105 Po -1.20623440 ■ 105 -3.32132138 ■ 105 66