F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2023
D. Hemzal hemzal@physics.muni.cz
A. KMITY
0.0 Uvažujte malé těleso o hmotnosti m, zavesené na nehmotné pružině o tuhosti k. Souřadnice x necht směřuje svisle vzhůru, stranový pohyb neuvažujte. Určete protažení pružiny způsobené tíhovým polem g Země.
[Ax= — mg/k]
0.1 Ukažte, že hmotný bod podrobený konzervativní síle bude v přiblížení malých výchylek vykonávat harmonické oscilace kolem rovnovážné polohy x0; uvažujte jednorozměrný případ. Frekvenci kmitů určete (Nápověda: využijte skutečnosti, že konzervativní síly lze vždy vyjádřit pomocí potenciálu.)
& = -gmdU,U<(x0) = 0;^=V^
0.2 Ukažte, že ve fázovém prostoru (q,p) opisuje (netlumený) hmotný bod v poli harmonické síly elipsu. (Nápověda: využijte skutečnosti, že při netlumeném pohybu se celková energie zachovává.)
[T+V=p2/(2m) + kq2/2]
1. Volné kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m připevněné k nehmotné pružině o tuhosti |^ k, která je na druhém pole Země zanedbejte
k, která je na druhém konci pevně uchycena. Uvažujte pouze pohyb ve směru pružiny, tíhové |_/yy^_rj^j
• Sestavte pohybovou rovnici uvažovaného oscilátoru se započtením odporu prostředí (Fo=—0x, 0>O). Pohybovou rovnici řešte s využitím ansatzu x=exp(Ar), nalezněte její obecné řešení a stanovte frekvenci ujt tlumených kmitů.
\       -0±J02-Amk .      (-Bt\ . ,    . , ,s    2     2 0
Ai,2 = ——^-;   x=Aexpi^^-Jsm(ujTt+<t>), c4=c^-^
4m
• Diskutujte možné typy pohybu závaží a porovnejte frekvenci kmitů cjt podkriticky tlumeného závaží s případem oscilátoru netlumeného.
q2
02—4mk>Q: aperiodický tlumený pohyb, 02 — 4mk<0: uj2?=u!2 — ^ 2—^0
1.1 Určete integrační konstanty pro netlumený oscilátor s počátečními podmínkami x(J$)=xq a x(0)=vq.
2
z=Asiníujt+óa); tan^n = -^j-, A2 =x2n + %
1.2 U netlumených kmitů s frekvencí /=25 Hz byla v čase ti = 0 s pozorována výchylka xi=56 mm a v čase í2 = 10 ms výchylka x2 =—33 mm. Určete amplitudu kmitů a fázovou konstantu (fázi v í=0 s).
[Acos(a;í+30o30'),A=65 mm]
1.3 Malé závaží o hmotnosti to=100 g je zavěšeno na pružině o tuhosti A;=20 N/m. Celá soustava je umístěna v odporujícím prostředí se silou odporu F0 =—bx, b=í Ns/m. Nalezněte výchylku a rychlost závaží v čase í=0.05 s, víte-li, že na počátku mělo závaží výchylku x(0) = 20 mm a bylo v klidu.
[x(0.05 s) = 15.6 mm,±(0.05 s) = —2.6 mm/s]
1.5 Matematické kyvadlo. Uvažujte malé závaží o hmotnosti m zavěšené na nehmotném pevném lanku délky l v tíhovém poli g Země. Pro případ volného pohybu závaží ve svislé rovině nalezněte pohybovou rovnici pro úhlovou výchylku ip kyvadla. Nalezněte frekvenci kyvadla v aproximaci malých výchylek.
ip+ jsmip=0; u2=j
1.6* Parametrické oscilace. Ukažte, že houpačku je možné rozhoupat (vhodným) kýváním nohou. Konkrétně uvažujte model matematického kyvadla s časově závislou frekvencí vlastních kmitů x+uj2(í + hcos^ft)x=
1
0: zvedání a spouštění nohou periodicky mění polohu těžiště a tím délku závěsu; tento efekt lze shrnout do uvedené periodické modulace vlastní frekvence houpačky. Uvažujte modulaci s malou hloubkou, /i<Cl, a ukažte, že při přibližně dvojnásobné frekvenci modulace, j=2ujo+£, eCwo dochází k exponenciálnímu rozkmitu houpačky.
2. Nucené kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m, zavěšené na nehmotné pružině o tuhosti k. Souřadnice x necht směřuje svisle vzhůru, stranový pohyb neuvažujte. Uvažujte odpor prostředí (F= —fix, /3>0), tíhové pole Země zanedbejte. Těleso necht je podrobeno budící síle Fsin(fží).
• Ukažte, že pro t—>oo hraje roli pouze partikulární řešení soustavy.
• Předpokládejte partikulární řešení ve tvaru xp=Asm(£lt+$) a určete jeho volné konstanty A, <í>.
.               F/m            ,     ~ ílBlm A=   , '-,tan<í>=--9 ' 9
n2s2 uj2-tt2 (L,2-n2)2+l-^r 0
m2
• Nalezněte rezonanční frekvenci fžr, tedy frekvenci, při které těleso dosahuje největších výchylek pro dané F; velikost AmSíX rezonanční amplitudy vypočtěte.
Q2_LJ2__^A _EH
"r-^o   2m2    max_ wt
• Načrtněte závislost A{íľ) pro dvě různé hodnoty fa^Pi a na vodorovné ose vyznačte vztah fžr, cjt a Jako pomocnou veličinu pro konstrukci grafu určete pološířku ÍI1/2 z podmínky A(n1/2)=Amax/2.
n21/2=n2±Vš^T
2.1 Závaží se pohybuje pod vlivem potenciálu V(x)=VoCosh(x/a), kde Vq a a jsou konstanty. Nalezněte rovnovážnou polohu xq závaží a ukažte, že frekvence malých kmitů kolem této polohy se shoduje s frekvencí volných kmitů závaží, připevněného na pružinu o tuhosti Vq/o2.
[x0 = 0]
2.2* Uvažujte tlumený oscilátor buzený obecnou periodickou silou F(ť). Rozviňte F(ť) do Fourierovy řady a s využitím linearity pohybové rovnice ukažte, že jejím řešením je trajektorie x(t)=^2j(ajCj(t)+(3jSj(ť)), kde aj a ji j jsou konstanty a Cj a s j jsou (po řadě) řešení rovnic s pravými stranami obsahujícími cos(ujjt) a sin(wjí).
3. Složené kmity. Uvažujte nezávislé oscilace x=Axs'm(ujxt+(j)x), y=Ays'm(ujyt+(j)y) v rovině xy.
• Vyloučením času z obou rovnic nalezněte možné polarizační stavy světla, víte-li, že Maxwellovy rovnice připouští nejobecněji řešení ujx=ujy; bez újmy na obecnosti předpokládejte (py = 0.
• Nalezněte obecnou rovnici Lissajousovy křivky pro případ soudělných frekvencí ujx=2ujy; bez újmy na obecnosti předpokládejte (py = 0. Diskutujte speciální případy 4>x = 0 a cpx=Tľ/2 ve zjednodušeném případě Ax=Ay = í.
^) +l1_2Í|J -2^(^1-2^ sin^.=cos2^.
3.1* Chaos. Nalezněte rovnice popisující pohyb dvojitého kyvadla. Pro jednoduchost předpokládejte spojená dvě identická matematická kyvadla, umožňující pouze rovinný pohyb. Získané rovnice nemají analytické řešení - pohyb koncového bodu je chaotický, jak se lze přesvědčit numerickou simulací.
4. Vázané kmity.   Uvažujte sadu N stejných malých závaží o hmotnosti      k k k
m, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k; _jyy^__r^|_jyy^__r^|_jyy^_
2
předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin.    Počátky souřadnic x [i],
popisujících výchylky jednotlivých závaží umístěte do rovnovážných poloh příslušných závaží.
• Pro N=3 sestavte pohybové rovnice soustavy pro případ, že koncová závaží jsou a) volná, b) uchycena k pevným stěnám dvěma dalšími pružinami týchž vlastností, c) podrobena periodické okrajové podmínce x[i+3]=x[i].
h 1 \ .. ľ2 1 \ .. ľ2 1 1 v
mx=/j    1     —2     1    x,mx=/j    1     —2     1    x,mx=/j    1     —2     1 x
[,    V    1 -y ,     V . ,i -v,      V1   1 -v .
• Sestavte pohybové rovnice předchozího příkladu s využitím potenciálu.
U = h(X[í}-X[2}f + h(X[2}-X[3}f + h(X[3}-x[í}r
• Za předpokladu N=2 a pružného uchycení koncových závaží k vnějším pevným stěnám vyřešte pohybové rovnice využitím ansatzu X[i]=Aiexp(\t); nalezněte přípustné frekvence kmitů soustavy a jim odpovídající výchylky závaží.
[bj2 = k/m,A1=A2; Lj2 = 3k/m,A1 = -A2]
4.1* Pohybové rovnice soustavy N hmotných bodů s hmotnostmi rrii v aproximaci elastického pole vedou na zobecněný problém vlastních hodnot Kx=AMx, dim.ftT=dimM=3-/V, kde K je matice silových konstant a M je matice hmotností (diagonální matice se ztrojenými hmotnostmi). Ukažte, že pohybové rovnice lze převést na standardní problém vlastních hodnot Kq=Aq transformací q^ = •^MjjXj .
5. Aplikace
5.1 RLC obvod. Sestavte druhý Kirchhofův zákon pro RLC obvod, buzený střídavým napětím — Č7ocos(u;t).
• Ukažte, že časová závislost průběhu proudu v RLC obvodu odpovídá tlumenému buzenému oscilátoru. Které ze součástek jsou zodpovědné zá útlum v idealizovaném a reálném RLC obvodu?
Ur = RI,Ui = LÍ,Uc=Q/C
• Vyřešte rovnici nabíjení a vybíjení kondenzátoru.
[]
• Využitím předpokladu I=As'm(ujt+Q) řešte rovnici RLC obvodu a vysvětlete, jak může být RLC obvod použit coby přijímací anténa radiového vysílání.
A = U„/
\
1
ijjL-
-i?2, tan<í> = -
R
ijjL-
jC
5.1.1 Nalezněte vztah pro vlastní frekvenci RLC obvodu a určete její hodnotu pro praktický příklad: 400 závitů měděného drátu o průměru 0.063 mm na magnetické pásce 4mm x 13mm (L=450 /iH), kondenzátor 47 pF a odpor 1,5 kil.
u0 = l/VW,f=l 094 kHz 5.1.2* Využitím předpokladu harmonického kmitání nalezněte frekvenční charakteristiku RC obvodu.
5.2 Molekuly.
• Určete tuhost vazby intersticiálního kyslíku 160 v křemíku, víte-li že vibruje na frekvenci /= 33,2 THz. Na jaké frekvenci bude vibrovat ve stejné pozici izotop 180, předpokládáme-li, že tuhost vazby se nezmění?
fc=1156 kg s-2,a;i8/a;i6 = V/879
• Potenciální energie HC1 má průběh
V(r)=-
B
3
S využitím příkladu 0.1 odhadněte vlnočet l/A vibrací této molekuly. Rovnovážná délka vazby H-Cl je ro = 0,13 nm, pro výpočet použijte redukovanou hmotnost /i molekuly.
[y'(r0)=0:S=r§e2/(367re0),a;2=y"(r0)//i:l/A=3790/cm]
4