F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2023 D. Hemzal hemzal@physics.muni.cz C. OPTIKA Maxwellovy rovnice v elektroneutrálním nemagnetickém mediu: 1 V • E : -V • P V • B = 0 ^ x, dB Gauss (Gauss) Faraday „ B ÔE 9P , V x — = s0— + — + Jfree- Ampere Ho at at 0.0 Přepište Maxwellovy rovnice v mediu pomocí elektrické indukce D=£qE+P. _9D V-D=0,VxB=^+Jfce 0.1 Za předpokladu P=£oxE zavedte relativní permitivitu prostředí. [D=e0(l+x)E=e0erE] 1. Mawellovy rovnice. Uvažujte Maxwellovy rovnice v prostředí s polarizací P a volným proudem Jfree- • Ukažte, že vlnová rovnice je důsledkem platnosti Faradayova a Ampérova zákona (s využitím zákona Gaussova). dJ ^ & - Mo £o -g^t — Mo —+Ho -q^t - v (v ľ) • Rovinná vlna. Ukažte, že E(r,í) = EoCos(kr—ujť) je řešením vakuové vlnové rovnice. Z Gaussova zákona v případě izotropního dielektrika (V-P = 0) ukažte, že Eo_Lk a z Faradayova zákona dopočítej te B (r, í) = Bo cos(kr—ujt). B0 = ^kxE0,E_LB_Lk_LE • Susceptibilita. Pro speciální případ izotropního dielektrika (Jfree=0, V-P=0) řešte vlnovou rovnici s využitím předpokladu E,P«exp(i(kr — wí)). [PoM =£oxME0(w) :k=(uj/c) vT+x] • Index lomu. Zavedte (komplexní) index lomu n+ík prostřednictvím vlnočtu k=nuj/c a zjistěte dopad jeho reálné a imaginární části na šířící se rovinnou vlnu E=Eoexp(i(ujt—kx)). [E=Eq exp (—2ir n/ Xo) cos (ujt — 2imx/Ao) ] 1.1 Dielektrická funkce. Nalezněte vzájemné transformační vztahy mezi relativní permitivitou eT +ie; = x(w) + l a indexem lomu n+ík. i , • \2 22 o 2 kl+Ree ,2 lei—Ree £r+i£i = (n+iK)z:er=nz —Kz,£i = 2nK,nz= 1 1 ^-,fc = ' 1 ^- 1.2* Debyeův rozklad. Uvažujte rozklad u0 + -ui i - I u2 exp [ -ý kde forma zavedení malého parametru A reflektuje představu rychle se měnící fáze oproti mnohem pomaleji se měnící amplitudě; všechny složky Uj v rozvoji amplitudy i fázový člen ip (nazývaný často eikonát) závisí na souřadnicích i čase. Dosadte uvedený rozvoj do vakuové vlnové rovnice a získejte rovnice jednotlivých aproximací (podle řádu A). Ukažte, že vlnovou rovnici lze tímto způsobem vyřešit řád po řádu. A~2: (V-0)2 — c2-02 = O rovnice eikonálu,A-1: V(2oVV>) — c2(/O'0) =0 rovnice pro přenos intenzity /0 = luo 1 2. Materiálová prostředí. 2.0* Plazmová frekvence. Předpokládejte řídký ionizovaný oblak plynu o prostorové hustotě volných elektronů N. S využitím Gaussovy věty stanovte intenzitu elektrického pole, vzniklou (náhodným) vychýlením elektronového oblaku vůči (takřka nehybným) jádrům a ukažte, že tato situace vede k samovolným oscilacím elektronů o plazmové frekvenci ujv. 2.2 Drudeho model pro kovy. V • E — : lú'Í — £q P TTIEq 2.1 Lorentzův model pro dielektrika. Pro pohyb elektronů o náboji —e v látce předpokládejte model tlumeného oscilátoru (Ft =—mejx) řízeného elastickou silou F=—Kx a buzeného lokálním elektrickým polem; pro jednoduchost předpokládejte, že lokální pole je přímo rovno dopadající světelné vlně i?oexp(i(a;í—kr)). Sestavte pohybovou rovnici pro elektron a nalezněte amplitudu jeho kmitů za předpokladu, že x=x0exp(i(ujt—kr)). ti 3. Fermatův princip postuluje, že mezi dvěma pevně zadanými body se světlo šíří tak, aby celková doba jeho šíření byla minimální. • Optická dráha S je v homogenním prostředí definována jakou součin indexu lomu n tohoto prostředí a vzdálenosti d, kteou v něm světlo urazilo (ne nutně přímočaře), S=nd. Při přechodu mezi prostředími je optická dráha aditivní, S=Si+S2 + ... Ukažte, že Fermatův princip je ekvivalentní požadavku minimální optické dráhy během šíření světla. . dj • Ukažte, že v homogenním prostředí se Fermatův princip (pro optickou dráhu) redukuje na podmínku přímočarého světla. [n=konst] • Z Fermatova principu pro optickou dráhu vyvodte pro lom paprsku na rovinném rozhraní dvou homogenních prostředí (n, n') Snellův zákon. Uhly paprsků (a, a') určujte vzhledem k normále k rozhraní. Nalezněte paraxiální aproximaci (a,a'—t0) Snellova zákona. [nsinoí=n'sinc/, na=n'ď] • Ukažte, že při vhodně zvolené znaménkové konvenci pro odražené světlo (n'<0, a'<0) lze ze Snellova zákona odvodit též zákon odrazu. [a' = — a] 3.1* Huygensův-Fresnelův princip. Ukažte, že pro monochromatický bodový zdroj o vlnové délce A je možné velikost pole generovaného ve zvoleném bodě spočítat prostřednictvím bodových příspěvků pocházejících z libovolné zvolené vlnoplochy, podmínkou postupu že však je projevení tzv. faktoru sklonu K{x), závisejícího na úhlu Xi P°d kterým vlnoplochu pozorujeme; hodnotu faktoru sklonu odvodte pro zjednodušený případ x=0. [K(0)=i/\] 4. Maticový formalizmus. Uvažujte osově souměrný optický systém, ve kterém paprsek v prostředí o indexu lomu n popíšete pomocí jeho vzdálenosti h od optické osy a směrem šíření s. Vektor s rozložte do složek podél optické osy (sz) a kolmo k optické ose (sx) a předpokládejte |s|=n. Při výpočtech dodržujte standardní znaménkové konvence. (h'\ • Ukažte, že v paraxiální aproximaci je možné závislost koncového stavu paprsku \si\ na stavu počátečním ^ ^^j vyjádřit maticově: pro šíření o osový interval délky d v homogenním prostředí o indexu lomu n a pro lom na rozhraní o poloměru křivosti r mezi prostředími o indexech lomu n a n' příslušné matice nalezněte. 1 d/n\ H=( ^ !jM ,(p= — (n—n')/r je mohutnost lomivého rozhraní 2 V daném místě podél optické osy představuje J obecný paprsek. Navrhněte speciální volbu parametrů pro význačné typy světelných svazků. /konst\ . / h \ , /konst\ , , , , , l s ) ohnisko, I kořist/ rovnobežný svazek, I kořist/ konkrétní paprsek • Uvažujte obecný optický systém popsaný maticí M= ^a ^ obklopený prostředími o indexech lomu n a n'. Nalezněte podmínku, za které bude systém pracovat jako zobrazující (převádět bodové předměty na bodové obrazy). Využijte skutečnosti, že detT=detR=l. ,n' jn unn' tva/tt' — I P 0 h' nezávisí na sx: c=-a^-d^-bI±nr,T'M.T= 1 . _ , B ie zvětšení t 1 tt \c 1/8) 4.1 Čočka. Nalezněte matici <í> tlusté čočky (tloušťka t, index lomu n-^, poloměry křivosti stěn r, r'), oddělující prostředí s indexem lomu n a n' a její speciální případy: tlustou čočku ponořenou do prostředí, tenkou čočku a tenkou čočku ponořenou do prostředí. Nalezněte ohniskové vzdálenosti tenké čočky a určete polohu hlavních rovin v tlusté čočce, mají-li pro její ohniskové vzdálenosti platit formálně stejné výrazy jako u čočky tenké. Lpi^m íJ^^n^j ,f=fi + f2-fif2t/mj=-n/(f,f=n'/(f 4.2 Lupa. Nalezněte zvětšení poskytované lupou o mohutnosti /^akomod /^neakomod 1] 4.3 Mikroskop. Mikroskop je optická soustava dvou spojných čoček - objektivu s mohutností n2) • Pro neabsorbující prostředí nalezněte Brewsterův úhel dopadu 6b, kdy je odražené světlo zcela polarizováno. Ukažte, že při dopadu pod Brewsterovým úhlem je lomený paprsek kolmý k odraženému. rp=0^tanř?B = 7^ • Nalezněte koeficient odrazivosti R v případě (skoro) kolmého dopadu světla na rozhraní a z podmínky R+T=l také koeficient propustnosti T. Ověřte, že získané vztahy nezávisí na polarizaci dopadajícího světla ani na pořadí prostředí a že platí zjednodušeně T=|í|2. (ni-n2)2 T_ Anin2 (ni+n2) (ni+n2) 5.1 Uvažujte planparalelní desku tloušťky d a indexu lomu n', vnořenou do prostředí o indexu lomu n. Předpokládejte, že na desku dopadá světlo intenzity Iq pod obecným úhlem dopadu a že na stěnách desky dochází k násobným odrazům. • ukažte, že paprsky vystupující z desky jsou rovnoběžné s dopadajícím paprskem nezávisle na úhlu dopadu světla • určete intenzity několika prvních prošlých i odražených paprsků [] • V rámci konkrétního výpočtu dále předpokládejte skleněnou destičku (n' = 1.5) ponořenou do vzduchu (n=í) a skoro kolmý dopad světla. S použitím příslušně zjednodušených Fresnelových vztahů vypočtěte celkovou prošlou (It) a odraženou (Jr) intenzitu světla včetně násobných odrazů a ověřte, že jejich součet je roven Iq. 2nn' -'t = —2~~1—Ž2^° 7. Interference 7.0 Na příkladu dvou koherentních vln demonstrujte rozdíl mezi jejich koherentním a nekoherentním sčítáním. [] 7.1 Youngův experiment. Uvažujte neprůhledný terčík se dvěma úzkými rovnoběžnými štěrbinami, vzdálenými d. Na terčík kolmo dopadá rovinná monochromatická vlna (z dalekého monochromatického bodového zdroje). Určete rozložení světla na stínítku rovnoběžném s terčíkem ve vzdálenosti l po směru letu světla; úlohu řešte jako ID příklad. 4 7.2 Řešte příklad 5.1 interferenčně: předpokládejte, že deska je tenká a započtěte i fázové členy. 8.1 Fraunhoferova difrakce. Předpokládejte difrakci na rovinném terčíku s obecným otvorem S. Zdrojem světla je bodový monochromatický zářič S, centrovaný před terčíkem ve vzdálenosti a a difrakci pozorujeme v bodě P(£,r]) na rovinném stínítku rovnoběžném s terčíkem ve vzdálenosti b za ním po směru letu světla. Za zjednodušujícího předpokladu konstantní intenzity světla na terčíku je difrakční příspěvek ip(P) v bodě P, plynoucí z Huygensova-Fresnelova principu, roven ij){P) = A K(X) kde K{x) = '\/\ je faktor sklonu a A je amplituda zdroje exp(i[wr- k(SQ + QP)])(E • Nalezněte vyjádření difrakčního integrálu v lineární aproximaci terčíkových souřadnic Q(x,y) vzdálenosti QP aproximujte konstantní vzdáleností ro = QoP ke středu Qq otvoru terčíku. x^+yr) Tp(P)=Au exp i. dS, Au =-expíiícjt—kía+rg) Xab 8.1 S využitím Fraunhoferova integrálu vypočtěte difrakci na centrovaném obdélníkovém otvoru o velikosti pxq. Určete polohy maxim a šířku centrálního maxima. '4>(ČÍirl)=A-DPp podél osy x. [l(tv)=4IPqcos2(kda/2r0)] 8.3 Mřížkový faktor. Demonstrujte, že při difrakci na pravidelně se opakujících otvorech stejného tvaru se výsledná intenzita ve Fraunhoferově přiblížení dá počítat jako součin difrakce na jednom z otvorů (otvorový faktor) a funkce závisející na rozložení otvorů na terčíku (mřížkový faktor). Pro jednoduchost vyjděte z předchozího příkladu a uvažujte M ekvidistantně vzdálených obdélníkových otvorů o velikosti pxq. pí m exp(—ikdm^/rO) pí im(kdM£,/2r0)Y sin(kd£/2r0) ) .4* Difrakce na kruhovém otvoru. Přejděte na terčíku a stínítku do polárních souřadnic a vypočtěte difrakci na centrovaném kruhovém otvoru o poloměru R. I(p) = \AuttR 2l2í2J1(kRp/rO) V kRp/r0 2 i-2 i 2 P =í +v Aplikace. 9.1 Podle Gullstrandova-Le Grandova modelu oka má rohovka tloušťku 0.55 mm a index lomu 1.3771. Určete dobu, za kterou projde rohovkou tam a zpět (po odrazu od zadní stěny) signál a) ultrazvuku (i>=1500 m/s), b) světelný. 9.2 Dvojlom. Předpokládejte planparalelní desku vyrobenou z křemene, indexy lomu řádného a mimořádného paprsku v křemení jsou po řadě nD = 1.544 a ne = 1.553. Uvažujte kolmo dopadající světlo a vypočtěte fázový rozdíl řádného a mimořádného paprsku při průchodu deskou tloušťky L a • určete nej menší tloušťku desky, při které se bude chovat jako čtvrt vinná (způsobí fázový rozdíl 7r/2 mezi řádným a mimořádným paprskem a tedy změní dopadající lineární polarizaci světla 5 na kruhovou) a jako půlvlnná (způsobí fázový rozdíl tt a změní orientaci lineárně polarizovaného světla na kolmou) • zjistěte, jaké tloušťky desky jsou k dispozcici, má-li půlvnná destička mít tloušťku kolem 1 mm. 9.3* Antireflexní vrstva. Předpokládejte tlustou planparalelní desku o indexu lomu n\, na které je nanesena tenká vrstva materiálu o indexu lomu Pro světlo dopadající kolmo ze strany tenké vrstvy určete celkovou intenzitu It prošlého světla deskou; uvažujte násobné odrazy pouze uvnitř tenké vrstvy, fázové členy však zanedbejte. Určete n2, které množství prošlého světla maximalizuje a porovnejte získanou hodnotu s příkladem 5.1 samotné desky. 'It 16n?n2 . . 0.94 t (ni + l)3(ni+n2) ,W2 = V"T, pro ni = 1.5: 0.92 6