F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2023
D. Hemzal hemzal@physics.muni.cz
B. VLNY
1. ID řetízek identických atomů interagujících elasticky vždy pouze s nejbližšími      k        k k sousedy lze aproximovat sadou stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených —^VW—(~->—AAA/—{~->—AAA/— lineárne identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná vzdálenost ^ ^ sousedních závaží necht je a, výchylky x[j] jednotlivých závaží uvažujte od jejich rovnovážných poloh. Předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin (tíhové působení zanedbejte).
• Předpokládejte periodické okrajové podmínky (délka opakujícího se motivu řetízku je Na) a specifikujte jejich vliv na předpokládaný tvar řešení x[j]=rJ.
T=exp(ikna),kn = ^
• Pro studovaný periodický řetízek řešte pohybové rovnice využitím ansatzu x[j]=TJ; nalezněte disperzní relaci pro vlnu v tomto řetízku.
xn[j} ocexp(i[unt+knaj]); ujI=4uj2sin2
• Spočtěte grupovou a fázovou rychlost šíření vln v uvažovaném periodickém řetízku.
[vf=aujQ sine (k a/2), vg = aujQ cos (k a/2) ]
1.1 Nalezněte všechny větve disperzní relace pro ID řetízek střídajících se atomů o      |<        |< k dvou různých hmotnostech to a M; tuhost všech vazeb uvažujte k, vzdálenost —'VVV_(~>~^WV_0~^WV— sousedních atomů stejné hmotnosti necht je a.    Pro výchylky x[j], X[j] v m M
subřetízcích atomů stejné hmotnosti předpokládejte řešení ve tvaru x[j],X[j]ocexp(i[a;í+A;aj]).
1.2* Blochův teorém. Ukažte, že frekvence kmitů nekonečného homogenního řetízku se shodují s vlastními hodnotami t translační matice T,
('■■ \
0 1
T= 0 1
0 '■•
Ukažte, že působením translační matce na vektor výchylek jednotlivých atomů se posuneme o jednu pozici podél řetízku. Nalezněte matice, které způsobí posun podél řetízku o dvě pozice, a o jednu pozici opačným směrem. Ukažte, že pro vlastní vektory dynamické matice (a tedy i pro výchylky podél řetízku) platí x[j]ccTJ.
2. Vlnová rovnice. Uvažujte nekonečný řetízek stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná vzdálenost sousedních závaží necht je a, a předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin. Pole výchylek jednotlivých závaží z jejich rovnovážných poloh popište spojitou veličinou u(x), čili m[j]=m(x[j]) = 0 prochází-li závaží rovnovážnou polohou.
• Sestavte pohybové rovnice pro i-té závaží a ukažte, že za předpokladu a—>0 tyto pohybové rovnice přechází v rovnici vlnovou.
[můi=k(ui-i — 2ui+Ui+i),ů—v 2u"=0,v 2=ka2/m]
2.1 Ukažte, že /(wr±kx) může být řešením vlnové rovnice pro libovolné /.
[pokud v=V{]
2.2 Helmholtzova rovnice. Ukažte, že ve stacionárním případě u(x,ŕ) = 5^it/j(x)exp(iwjŕ) se vlnová rovnice redukuje na Helmholtzovy rovnice AUi + k2Ui=0.
1
K2=^f|k|2]
3. Aplikace
3.1 Tíhové vlny na hluboké vodě mají disperzní relaci uj=^/gk, kde g je tíhové zrychlení. Spočtěte fázovou a grupovou rychlost šíření tíhových vln a tyto rychlosti vzájemně porovnejte.
Ví = \fgjk, vg = vígJk/2; vg < Vf
3.2 Kapilární vlny mají disperzní relaci u;=ak3/g, kde a je povrchové napětí kapaliny a g její hustota. Spočtěte fázovou a grupovou rychlost šíření kapilárních vln a tyto rychlosti vzájemně porovnejte.
[vf = a k 2 / g, vg = 3cr k 2 / g; vg > Vf ]
2