Příklad 13.62: ... a fyzikálně Právě získaný výsledek má značný význam. Ukazuje na tesný vztah matematického aparátu Fburierovy transformace k fyzice. I když fyzikální aplikace jsou avizovány až pro další odstavec, udělejme si malý vstup do fyziky už nyní. Představme si ve shodě s obrázkem 13.35, že na neprůhledné stínítko C (clona) s úzkou štěrbinou podél intervalu [—d, d] = [—1,1] dopadá kolmo rovnobežný svazek světla jedné vlnové délky A, jíž odpovídá kruhová frekvence w = = ^, kde T je perioda vlnění a c rychlost světla. Co uvidíme na stínítku SI Vzhledem k tomu, že tento text není primárně fyzikální, použijeme k výkladu popisovaného experimentu značná zjednodušení. Zavedeme ještě tzv. vlnový vektor k, jehož velikost je definována jako k = ^ a směr je shodný se směrem Šíření světelných paprsků. Obrázek 13.35 ukazuje, jak je experiment realizován a obsahuje i další potřebná označení. Dopadající světlo se šíří podél souřadnicové osy £, jeho vlnový vektor má v ortonormální bázi s osami 17 a £ (poslední osa není zakreslena) složky fco = (k, 0,0). Vyjdeme-li z obecného tvaru zápisu rovinné vlny E{t,¥), kde proměnné r a ¥ = (£,ij,f) představují cas a prostorové souřadnice místa, v němž vlnu pozorujeme, dostaneme pro dopadající vlnu vztah E = Eoe-1^-^'1. V místech dopadu na clonu C je r — (0,Tj, () a. E = E0e~™T. Podle jednoho ze základních principů klasické optiky, tzv. Huygensom principu, lze šířeni světelné vlny interpretovat zhruba řečeno takto: každý bod vhioplochy (geometrického místa bodů vyznačujících se shodnou fází vhiy) je zdrojem nové kulové vlny a obálka vlnoploch všech takto vzniklých sekundárních vln je vlnoplochou výsledné vlny v dalším okamžiku. Kdyby tedy rovnoběžnému svazku světla v šíření nic nepřekáželo, postupoval by nadále v podobě rovinné vlny. Clona se štěrbinou je však překážkou, která výslednou vlnoplochu změní. Dochází k interferenci a ohybu světla, k tzv. difrakci. Zaměříme se jen na Obrázek 13.35 Difrakce na štěrbině. situaci, kdy je stínítko S „hodně daleko1' od clony C, takže vlny, které k němu přicházejí, lze ve výsledku přibližně popsat opět jako rovinné. (Této aproximaci se říká Fraunhoferova difrakce, zatímco přesnější popis představuje difrakce Fresnelova.) Předpokládejme, ze výsledné vlnéní pozorujeme, resp. zaznamenáváme na stínítku S v místě o souřadnicích P = (o,ij,0). Sekundární kulová vlna o elementární amplitudě Foff = ^E0dx šířící se z obecného bodu štěrbiny (0,x,0), x e [—1,1], má v bodě (a,j],0) tvar d^^-'h-V^+íi--)3] 2g výsledná funkce E je pak dána integrálem tohoto výrazu v mezích [—1,1]. Předtím, než budeme integrovat, provedeme avizovanou Fraunhoferovu aproximaci. Ve jmenovateli výrazu pro sekundární vlnu nahradíme q = a a exponent upravíme takto: y/a? + (í) - í)2 = s/fr+ifill - 2t] x a2 + 7]2 a? + íj2 + \/a2 + v2 ~ = \f a2 + f)2 — x sin ip = a — x sin t) = ^Le-.(-r-i) j^.F(e, = ^! = fl.B_^t,?ta(**Mrt a a í a fcainp Objevili jsme souvislost mezi funkci popisující propustnost clony a funkci popisující rozložení amplitudy vlny na pozorovacím stínítku v aproximaci Fraunhoferovy dirrakce. Vztah mezi těmito funkcemi zprostředkovává Fourierova transformace! Na stínítku S samozřejmě neuvidíme rozložení funkce E(r, ksintp), ale rozložení intenzity svetLa, tj. I = E*E, tzv. difrakční obrazec, , , \Eq\2 sin2 (Arsin