Základy kvantové mechaniky Tomáš Hoder F5082 Vylepsit … 1 Úvodem 1. Podmínky absolvování předmětu - zápočet ze cvičení: aktivní účast (max 3 neomluvené hodiny), 60% z každé ze dvou písemek - zkouška: 60% ze zkouškové písemky, ústní zkouška - pro zvládnutí zkoušky je nutné ovládat látku obsaženou v těchto prezentacích 1. 2. Literatura - ZETTILI, Nouredine. Quantum mechanics: concepts and applications. Chichester: John Wiley & Sons, 2001. xiv, 649. ISBN 0471489441. - FEYNMAN, Richard, Leighton, R., Sands, M., Feynmanove prednášky z fyziky 5. 1990, Alfa (SK), 544 s., ISBN: 80-05-00518-0 - CELÝ, Jan. Základy kvantové mechaniky pro chemiky I. Principy. Brno 1981, 176 s., 17/32 55-041-81. - SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky. Vyd. 1. Praha: Academia, 2005. 281 s. ISBN 8020013164. - LACINA, Aleš. Cvičení z kvantové mechaniky pro posluchače učitelství fyziky. Brno: Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Brně, 1989. 104 s. - MARX, György. Úvod do kvantové mechaniky. Translated by Luděk Bednář - Zdeněk Urbánek. Vyd. 1. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1965. 294 s. 3. Být nad látkou… motivace pro učitele: Vždy budete mít ve třídě alespoň jednu studentku či studenta se zájmem a potenciálem věnovat se podrobněji fyzice, tyto studenty nelze zklamat/ztratit, fyzika je relativně náročný a malý obor, když jej srovnáme s ostatními. Je potřeba vědět víc. 1. 4. Konzultace po předchozí domluvě kancelář 02002, budova 6 hoder@physics.muni.cz Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 2 Obsah přednášky 1.Počátky kvantové mechaniky, vlny vs. částice 2. 2.Operátory a matematický aparát, reprezentace a vzájemné transformace 3. 3.Postuláty kvantové mechaniky 4. 4.Schrödingerova rovnice a její 1D řešení 5. 5.Moment hybnosti a atom vodíku 6. 6.Identické částice 7. 7.Elementarizace pro střední školy 8. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 3 Co předcházelo, klasická fyzika 1.Newtonovská fyzika 2. 2.Fresnel, Fraunhofer a Young a optika 3. 3.Hamilton a Lagrange, teoretická mechanika na sucho 4. 4.Navier-Stokes rovnice a mechanika kontinua 5. 5.Maxwellovy rovnice 6. 6.Boltzmannova statistika 7. 7.Clausius, Carnot, Kelvin a termodynamika … Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 4 Trhliny ve fyzikálním poznání, historický přehled: 1.Relativita – Einstein ukázal, že při vysokých rychlostech, blízkých rychlosti světla, je klasický popis nedostatečný 2. 2.Mikrosvět – s vývojem nových experimentálních technik, hlavně v oblasti fyziky výbojů a plazmatu v té době, se zjistilo, že klasická fyzika není schopná nově pozorované jevy vysvětlit, podstatu a vznik světelného záření či strukturu atomů a molekul Stručná historie fyziky směrem ke kvantové teorii 1900 – Max Planck zavádí pojem energiového kvanta, tedy, že výměna energie mezi elektromagnetickou vlnou a pevnou látkou probíhá v násobcích hν a dává k dispozici přesnou rozdělovací funkci pro hustotu zářivé energie absolutně černého tělesa 1905 – Albert Einstein vysvětluje fotoelektrický jev pomocí původní Planckovy myšlenky a elegantně tak řeší problém, který nastal po experimentálním pozorování tohoto jevu Hertzem v roce 1877 1913 – Niels Bohr prezentuje svou teorii vodíkového atomu, kdy čerpá z Rutherfordových měření a objevu atomového jádra v roce 1911, Planckova konceptu energiových kvant a Einsteinova konceptu fotonů/světelných kvant: diskrétní energiové stavy atomů, výměna energie dle E = hν, a na chvíli dává uspokojivou odpověď na otázky stability atomů a experimentální výsledky v optické spektroskopii A black text on a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A math equation with a circle and a line Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 5 1923 – Compton svým experimentem ukázal, že světlo má I částicovou povahu, tedy, že fotony mají hybnost, která se dá zapsat jako 1923 – de Broglie prezentuje concept, že nejen záření má i povahu částicovou, ale i, že částice mají vlnovou povahu – což bylo opřeno o teoretické koncepty i experimentální důkazy výše uvedené 1927 – de Broglieův popis byl potvrzen experiment Davissona a Germera, kteří ukázali, že interferenční obrazce lze získat i rozptylem elektronů 1925/1926 – Heisenberg a Schrödinger prezentují své verze kvantové mechaniky (maticovou a vlnovou formulaci) a uzavírají tak období 1900 – 1925/1926 vývoje tzv. staré kvantové teorie. A to tím, že jejich výsledky dávají jasné odpovědi na původně nejasné části staré teorie, jako např. popis diskrétních stavů v atomech, a to tzv. ab initio, tedy z prvotních principů. Zatímco Heisenberg vycházel z představ Planckových a Bohrových o kvantovaném/diskrétním množství energie při interakci záření s atomy a popisoval energii, pozici, hybnost atd. pomocí matic a řešil problém vlastních hodnot (což se ukázalo velice užitečné právě při popisu záření s látkou), tak Schrödinger generalizoval de Broglieův postulát a poněkud intuitivněji popisuje dynamiku mikroskopických objektů vlnovou funkcí, jež je výsledkem řešení tzv. Schrödingerovy rovnice. 1927 – Max Born (mimo jiné vedoucí dizertační práce J.R.Oppenheimera) navrhl pravděpodobnostní interpretaci vlnové mechaniky, kdy druhá mocnina absolutní hodnoty vlnové funkce je hustota pravděpodobnosti Záhy na to Dirac prezentuje zobecněnou kvantovou teorii pomocí tzv. stavových vektorů (kets a bras), kdy Heisenbergův a Schrödingerův zápis jsou jen různé formulace téže teorie. V roce 1928 pak zkombinuje kvantovou mechaniku s teorií relativity a teoreticky objevuje pozitron, který je experimentálně detekován v roce 1932 v mlžné komoře a o pár desítek let umožňuje tzv. pozitronovou emisní tomografii – teorie tak slavila úspěch a předehnala experiment. A black text with a white background Description automatically generated A black text with black letters Description automatically generated A black symbols with a white background Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 6 Vlnová povaha částic… de Broglieova hypotéza, že všechny částice/objekty mají za daných podmínek take vlnový character vyjdeme-li ze vztahů pro foton: všechny částice i s nenulovou klidovou hmotností a hybností p se projevují jako balík vln, a platí pro ně tzv. de Broglieův vztah kde je jejich vlnová délka a je vlnový vector experimentální potvrzení dle Davisson-Germer Braggova podmínka pro konstruktivní interference (d spacing between Bragg planes) (D atomic layer seperation) a platí pro Ni krystal: protože a první maximum bylo pozorováno v úhlu pro mono-energetický paprsek elektronů s a platí a , můžeme past: A white background with black dots Description automatically generated A diagram of a crystal formation Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 7 z de Broglie vztahu pak pro kinetickou energii a vztahu pro hybnost s hodnotou a můžeme psát Což je vynikající shoda teorie a experimentu. A protože Braggova rovnice a experiment s rentgenovým zářením odpovídá interferenci rovinných vln, pak i pro elektrony platí, že s jejich hybností p mohou být popsány rovnicí rovinné vlny: kde je kruhová frekvence a platí: Víme, že mikroskopické částice mají i vlnový charakter, ale co makroskopické objekty? Jistěže jej mají také, jen jejich vlnové délky jsou příliš malé aby se projevily, či daly pozorovat. Vlnové délky mikroskopických objektů typicky mají rozměr studovaného systému, či jej překračují: Kdykoliv je de Broglieova vlnová délka mikroobjektu srovnatelná nebo větší než mikroobjekt samotný, tak se projeví jeho vlnová povaha, je detekovatelná a tedy namůže být zanedbána. Srovnejme proton o energii 70 MeV a 100 g střelu letící rychlostí 900 m/s: Vlnová délka střely je mimo možnosti detekce, ovšem vlnová délka protonu je srovnatelná s rozměry jádra, tedy vidícího/detekujícího. A math equation with black text Description automatically generated A math equation with black text Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black numbers and a line Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 8 Vlnová délka střely je mimo možnosti detekce, ovšem vlnová délka protonu je srovnatelná s rozměry jádra, tedy vidícího/detekujícího. Můžeme to shrnout následující větou: Pokud se de Broglieova vlnová délka blíží k nule, pak vlnové projevy objektu mizí a namísto vlnové „optiky“ stačí použít optiku „paprskovou“, protože pohyb objektu je podobný šíření paprsku a nevykazuje interferenci. Dalším nástrojem, či experimentem, umožňujícím pochopit vlastnosti mikrosvěta je tzv. dvouštěrbinový experiment, který pro šíření částic vypadá následovně: V klasické fyzice, částice a vlny mají naprosto rozdílný charakter a jsou popisovány rozdílně: částice pomocí souřadnice a hybnosti a vlny pomocí rovnice pro vlnu: Kde A je amplituda, je fáze a intenzita vlny je pak vyjádřena jako . Je zajímavé zmínit, že diskuze o částicové či vlnové povaze světla sahá až do doby Newtona, který, díky svým experimentům se světelnými paprsky byl zastánce teorie, že světlo je proud částic – než se podařilo vysvětlit difrakci vlnovou povahou světla. Zde je ale potřeba zdůraznit, že jde pouze o analogii, Newton samozřejmě zdaleka neměl vhled fyziky začátku dvacátého století. Proud částic ve dvouštěrbinové experimentu (kde platí paprsková/geometrická optika) vytváří očekávaný výsledek, s intenzitou popsatelnou jako: A diagram of a function Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 9 Uvažujeme-li o zdroji záření jako o zdroji vln pak dvouštěrbinový experiment vypadá následovně: Podobně jako u Youngova experimentu, či vlnách na vodní hladině, s rozměry štěrbin srovnatelnými s vlnovou délkou vlnění dojde k interferenci a tedy manifestaci vlnových vlastností studovaného jevu. Pak neplatí jednoduchý součet intenzit, protože vlnění se popisuje komplexnější funkcí a její intenzita je dána druhou mocninou její amplitudy: Projeví-li se vlnové vlastnosti interferenčním obrazcem pak se skládají amplitudy a ne intenzity: kde je fázový rozdíl mezi vlnami a a je výraz oscilující velikosti a je zodpovědný za interferenční obrazec. Fázový rozdíl je určen také vzdáleností štěrbin. A diagram of a wave diagram Description automatically generated with medium confidence A diagram of a waveform Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 10 Kvantově-mechanický pohled na vlnění a částice je složitější, uvažujme dvouštěrbinový experiment pro elektrony: Řeknete si, posíláme částice (mikroskopické střely chcete-li) na dvě štěrbiny a získáme interferenci vlnění. Co s čím interferuje? Řeknete si, když posíláme proud elektronů tak asi interferuje elektron procházející jednou štěrbinou s elektronem procházejícím štěrbinou druhou. Ale když snížíme intenzitu elektronového zářiče, a budeme posílat elektrony po jednom, tak postupně bod po bodu se nám vytvoří interferenční obrazec také! Viz níže: Řeknete si, elektron se asi rozdělil (To těžko! Jde o elementární částici při nízkoenergetických experimentech.), případně se začneme zajímat: Když se nerozdělil, kudy tedy prošel? Kterou z těch dvou štěrbin? Provedeme tedy další experiment… A diagram of a diagram of a flow Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 11 Za stěnu se štěrbinami vložíme silný zdroj světla a naše detekční plátno upravíme tak, že bude tvořit jeden velký Geiger-Müllerův detektor a vždy když elektron dorazí tak detektor pípne, co se tedy stane? Elektricky nabité částice odrážejí světlo a tedy vždy když elektron proletí jednou ze štěrbin tak uvidíme odražený foton a pak uslyšíme píp Geigerova detektoru, když daný elektron dopadl na detekční plátno. Odražené fotony však vždy uvidíme poblíž jedné ze štěrbin, nikdy u obou zároveň! Pokud necháme experiment běžet a detekujeme dostatek elektronů, tak zjistíme, že interferenční obrazec zmizel: Pokud vypneme světelný zdroj, tak se interferenční obrazec opět objeví – odtud tedy poněkud zavádějící interpretace, že pozorovatel ovlivňuje svět svým pohledem na mikroskopické úrovni. To je samozřejmě nesmysl. Elektrony jsou ovlivněny interakcí s fotony, ne tím, že nám dopadne odražený foton do oka a my si uvědomíme, že vidíme elektron/foton. Podstatný je tedy tento závěr: V kvantovém/mikroskopickém světě i samotné měření ovlivňuje stavy mikroskopických objektů. Řeknete si, když snížíme intenzitu světla tak elektrony tolik neovlivníme – ale zde narážíme na stejné nepochopení mikrosvěta jako kdysi u fotoelektrického jevu. Záblesky nebudou menší, jen méně časté. Co se ale stane při slabém osvětlení, že budeme mít dva obrazce na detektoru: jeden z osvětlených elektronů odpovídající vztahu a druhý z neosvětlených elektronů (ty které neinteragovali s fotony) odpovídající vztahu: A diagram of a diagram of a function Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 12 Co nám z toho plyne? Pro elektrony, které vytváří interferenční obrazec, není možné identifikovat, kterou ze štěrbin prošly. Z toho nám plyne, že kvantový svět není deterministický, není dán jako svět klasický, řekněme Newtonovský. V kvantovém světě nelze podrobně následovat pozici částice a její vývoj v čase. Tento fakt přiměl Heisenberga k postulování principu neurčitosti: že je nemožné navrhnout experiment, který nám umožní určit štěrbinu, kterou prošel elektron, bez toho abychom jej neovlivnili a nezrušili interferenční obrazec. Dvouštěrbinový experiment jasně ukazuje, že elektrony mají jak vlnovou tak i částicovou povahu zároveň. Pokud jsou elektrony pozorovány/detekovány jeden po druhém tak se chovají jako částice, ovšem pokud pozorujeme jejich chování v množství (i třeba postupně) tak jejich rozdělovací funkce vykazují vlnový charakter. A podle toho můžeme také postavit náš experiment, abychom ukázali jednu či druhou povahu mikroobjektů, či obě zároveň. Výšeuvedené přimělo Bohra mluvit o tzv. vlnově-částicové dualitě a principu komplementarity (komplementární = doplňující se), že tedy oba pohledy jsou potřeba k popsání jevů mikrosvěta. Pokud použijeme jen jeden z nich (jakýkoliv) dostaneme se do konfliktu s experimentální realitou. Jak ale získáme interferenci matematicky? Odpovědí je princip superpozice vln pocházejících z jednotlivých štěrbin a , které reprezentují fyzikálně možné stavy systému. Poté i jakákoliv jejich lineární kombinace je řešením a tedy možným stavem systému: kde jsou komplexní konstanty. Tento matematický zápis také odpovídá fyzikální realitě experimentu: pokud otevřeme pouze štěrbinu č.1 pak je intenzita dána a pokud pouze č.2 tak vv , a pokud jsou otevřeny obě pak platí: Pro vznik interferenčního obrazce je zde důležitý zvýrazněný člen. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 13 Heisenbergův princip neurčitosti: Předchozí experimenty a úvahy nás vedou přímo k formulaci (alespoň slovní v tuto chvíli) Heisenbergova principu, nemůžeme zároveň určit kde se elektron nachází a jakou má případně hybnost, interakcí s fotonem získáme jeho polohu, ale nevíme nic o jeho hybnosti (foton má také hybnost) a pokud nevíme kudy prošel, pak nám hybnost udává vztah pro vlnovou funkci a znalost počátečních podmínek. Heisenberg došel k následující formulaci: pokud je x-ová komponenta hybnosti částice měřena s přesností pak x-ová komponenta polohy nemůže být měřena s větší přesností než . Ve všech rozměrech můžeme psát: Heisenbergův princip může být zobecněn na jakoukoliv dvojici komplementárních (doplňujících se, nekomutujících) proměnných (podrobněji později v přednášce), např. i pro energii a čas: A black text on a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 14 Heisenbergův princip neurčitosti si brzy odvodíme (podrobněji i na cvičení) co je ale nyní důležité, je uvědomit si, co znamená vlnová funkce a co jsou to vlnová klubka, vlnová pole. Podrobněji se k vlnové funkci dostaneme ještě později, ale pro lepší pochopení toho, proč se tolik zabýváme vlnovou funkcí, je dobré si říci, co pro nás bude znamenat – jak je důležitá: V kvantové mechanice popisujeme stav (či jeden ze stavů) částice vlnovou funkcí, kterou je de Broglieova částicová/hmotnostní vlna vyjádřená funkcí: V analogii s vlnovou optikou má pak vlnová funkce intenzitu a tato intenzita je pro danou souřadnici rovna pravděpodobnosti nalezení částice v dané souřadnici, která je spjata s uvedenou vlnou. Po zavedení vlnové kvantové mechaniky Schrödingerem v roce 1926 interpretoval Born tuto intenzitu jako hustotu pravděpodobnosti a výraz jako elementární pravděpodobnost toho, že v čase t najdeme částici v objemovém elementu Který se nachází v intervalu mezi a , tedy, že platí: kde má rozměr [délky]-3 tedy objemová hustota pravděpodobnosti. Pokud tuto elementární pravděpodobnost integrujeme přes celý prostor, tak si můžeme být jisti, že tam někde bude (pravděpodobnost bude 1, čili 100%) a to nám dává další důležitý vztah: Nyní nám již prakticky jen zůstává otázka, jak se dostaneme ke konkrétní vlnové funkci pro daný kvantově mechanický problém, jak ji získáme, abychom z ní na příklad mohli popsat pravděpodobnosti výskytu částic ve studovaném systému? K tomu nám slouží Schrödingerova rovnice, kdy vlnová funkce je jejím řešením. Nejdříve bude ale potřeba seznámit se podrobněji s vlnovými klubky a matematickým aparátem potřebným k pochopení Schrödingerovy rovnice… A black text on a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 15a Rovinná vlna a vlnové klubko jako reprezentace částice: Vztah pro de Broglieovu vlnu je vztah rovinné vlny pro přesně definovanou hodnotu hybnosti. To znamená, že hybnost je přesně známa a tedy z Heisenbergova principu neurčitosti víme, že hodnota pro polohu bude značně nejistá, aby bylo splněno Na grafu vpravo jde o situaci v prvním obrázku. Průhlednost žluté stopy pak označuje pravděpodobnost, že částici v dané souřadnici x najdeme – zde je všude téměř stejná. Schéma na obrázku vpravo níže ukazuje jinou funkci a prostorově lokalizovanou pravděpodobnost. Funkce popisuje tzv. vlnové klubko a je vidět, že je součtem několika de Broglieových rovinných vln – proto sumační znaménko. Názorně i pro časově vyvíjející se systém to lze vidět zde: Pro lepší názornost viz. Wolfram prezentace… A black text on a white background Description automatically generated A diagram of a spiraling machine Description automatically generated with medium confidence A close-up of a black text Description automatically generated A graph of a graph of a function Description automatically generated A red line on a blue and white surface Description automatically generated Re part blue Im part green Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 15b Rovinná vlna a vlnové klubko jako reprezentace částice: Vztah pro de Broglieovu vlnu je vztah rovinné vlny pro přesně definovanou hodnotu hybnosti. To znamená, že hybnost je přesně známa a tedy z Heisenbergova principu neurčitosti víme, že hodnota pro polohu bude značně nejistá, aby bylo splněno Na grafu vpravo jde o situaci v prvním obrázku. Průhlednost žluté stopy pak označuje pravděpodobnost, že částici v dané souřadnici x najdeme – zde je všude téměř stejná. Schéma na obrázku vpravo níže ukazuje jinou funkci a prostorově lokalizovanou pravděpodobnost. Funkce popisuje tzv. vlnové klubko a je vidět, že je součtem několika de Broglieových rovinných vln – proto sumační znaménko. Názorně i pro časově vyvíjející se systém to lze vidět zde: Pro lepší názornost viz. Wolfram prezentace… A black text on a white background Description automatically generated A diagram of a spiraling machine Description automatically generated with medium confidence A close-up of a black text Description automatically generated A graph of a graph of a function Description automatically generated A red line on a blue and white surface Description automatically generated Re part blue Im part green A line drawing of a curve Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 16 Jak už jsme se dověděli, vlnové klubko nám umožňuje popsat lokalizovanou částici popsanou de Broglieovými rovinnými vlnami. Vlnové klubko je tedy lokalizovanou vlnovou funkcí – skládá se z vícero vln o trochu jiných vlnových délkách a s fázovým posuvem a amplitudami volenými tak, aby jejich interference byla konstruktivní v určitém prostorovém intervalu a destruktivní všude jinde. Vlnová klubka jsou tedy důležitý matematický nástroj propojující vlnovou a částicovou mechaniku. Matematický popis je založený na Fourierově transformaci. Pro jednoduchost budeme nyní uvažovat 1D vlnové klubko, popisujeme částici pohybující se podél osy x. Vytvoříme vlnové klubko superpozicí rovinných vln o různých frekvencích/vlnových délkách: Řeknete si, moment, integrál tam doposud nebyl. Ano, vlnový vektor (a tedy hybnost) můžeme přeci měnit spojitě. Z původního předpisu pro princip superpozice: se tedy přes dostáváme k integrálnímu zápisu pro spojitě se měnící veličiny. V následujícím výkladu budeme potřebovat porozumět tomu jak se vlnová klubka chovají v čase. Pro začátek zvolme t = 0 a nahraďme výrazem , pak můžeme psát: kde je Fourierova transformace : Je důležité si uvědomit, jak se a vzájemně určují! Takto popsaná vlnová klubka mají potřebnou vlastnost lokalizace: má maximum v x = 0 a mizí pro zvětšující se x. Pokud x jde k nule, pak a vlny různých frekvencí interferují konstruktivně (tedy různé k-integrace se sčítají konstruktivně), ovšem pro x větší než nula, , vede fáze k velkým oscilacím a tedy destruktivní interferenci. Tedy částice, reprezentovaná vlnovým klubkem v počátečním okamžiku t = 0, má velkou pravděpodobnost být nalezena v x = 0 a pouze malou pravděpodobnost být nalezena pro velká x. A math symbols with numbers Description automatically generated with medium confidence A white background with black dots Description automatically generated Víme, že: a . A white background with black dots Description automatically generated A close-up of a black text Description automatically generated A mathematical equation with symbols Description automatically generated A math equation with symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 17 Příkladem vlnových klubek je: Fyzikální interpretace vlnových klubek je zjevná: je vlnová funkce, či amplituda pravděpodobnosti nalezení částice na pozici x, a tedy udává hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v x, a pak udává pravděpodobnost nalezení částice v intervalu x, x + dx. Co ovšem znamená Platí normalizační vztah, kdy oba integrály jsou rovny jedné: A tedy funkce může být interpretována jako amplituda pravděpodobnosti (vlnová funkce) pro měření vlnového vektoru k pro částici ve stavu popsaném funkcí . Obdobně reprezentuje hustotu pravděpodobnosti, že částice má danou hodnotu vlnového vektoru a je pak pravděpodobnost nalezení vlnového vektoru částice v intervalu k, k + dk. Použitím vztahů: , a přepsáním pak máme vlnové funkce zadané energií a hybností: A graph of a function Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A group of math equations Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A graph of a graph of a line Description automatically generated with medium confidence 18 Pro lepší porozumění probrané látce si projdeme jednoduchý příklad… Určíme vlnové pole zadané následujícími parametry: Uvažujme pro t = 0: Normování koeficientu c(p): Normování vlnového pole: A close up of a letter Description automatically generated A close-up of math equations Description automatically generated A close-up of math equations Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 19 Víme, že: Poté: A můžeme psát pro výsledné vlnové pole: Hustota pravděpodobnosti: Z grafu funkce hustoty pravděpodobnosti můžeme odhadnout, že námi popisovaná částice se bude pravděpodobně nacházet mezi dvěma prvními minimy funkce , čemuž odpovídá nejistota . Můžeme pak psát přibližný vztah pro Heisenbergův princip neurčitosti jako: A close up of a letter Description automatically generated A close up of a text Description automatically generated A close up of a number Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated A close-up of a writing Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 20 Pro Gaussovské koeficienty je výpočet náročnější (podrobně viz cvičení), ale dle Heisenberga nám dá nakonec přesné znění pro jeho princip neurčitosti: Potom pro hustotu pravděpodobnosti: A střední hodnoty: A close-up of math symbols Description automatically generated = substituce je jiná než klasicky = = A math equations on a white board Description automatically generated A close-up of a math test Description automatically generated … A close-up of a math problem Description automatically generated A close-up of writing on a white board Description automatically generated A math equations written on a white paper Description automatically generated A black symbol with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A math equation written on a white paper Description automatically generated A drawing of a circle with a pen Description automatically generated A drawing of a fish Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 21 Nyní spočítáme rozptyly: Při znalosti následujícího je předchozí výpočet samozřejmý: A dává nám dobře známý vztah pro Heisenbergův princip neurčitosti: A close-up of math symbols Description automatically generated A close-up of a graph Description automatically generated A close-up of a paper Description automatically generated A math equation drawn on a graph paper Description automatically generated A close-up of a paper Description automatically generated A math equation with a square and square symbol Description automatically generated with medium confidence A math equations on a white background Description automatically generated A math problem written on a piece of paper Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 22 A tedy výsledný efekt principu neurčitosti je: Podrobněji viz simulace a matematicky také na cvičení… A diagram of a graph Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 23 Pohyb vlnových klubek – jde o další důležitý krok k pochopení popisu kvantového světa, zajímá nás jak se vlnová klubka chovají v čase. Tento krok se nakonec redukuje na počítání integrálu z našich předchozích vztahů, abychom jej spočítali je třeba znát kruhovou frekvenci a amplitudu , zjistíme, že rozšířéní či nerozšíření vlnového klubka závisí na disperzní funkci: Šíření vlnového klubka bez disperze: Jde o případ kdy je kruhová frekvence přímo úměrná vlnovému vektoru: Pro vlnové klubko pak platí: Z předchozího: pak vychází, že: A je zjevné, že v jakémkoliv dalším čase je forma vlnového klubka shodná, jako byla na začátku, jen se pohybuje doprava s konstantní velikostí rychlosti bez rozšíření. Obecně ale musíme uvažovat obecnější případ disperzního prostředí, které různé frekvence propustí s různou rychlostí: Předpokládejme, že amplituda má maximum v , pak (obecná funkce g, viz v grafu níže) je zásadně odlišné od nuly jen v úzkém intervalu a můžeme tedy použít Taylorův rozvoj okolo kde a A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A math equation with symbols Description automatically generated with medium confidence A graph of a function Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A math equations and formulas Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 24 Nyní tedy dosaďme předchozí vztahy do vlnové funkce: kde jsou grupová a fázová rychlost. Kde grupová rychlost popisuje rychlost celého klubka/balíku a fázová rychlost popisuje rychlost šíření fáze jedné vlny červený bod ukazuje fázovou a zelený grupovou rychlost Z výše uvedených vztahů je zjevné, že se tyto rychlosti obecně liší. Identické jsou pro případ . Derivováním podle k dostaneme: a použitím pak: Po vzájemném dosazení dostaneme: a skrze získáme: A black and white picture of a quote Description automatically generated with medium confidence A diagram of a waveform Description automatically generated A black symbol with a black line Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black text with a white background Description automatically generated A black letter with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black text with black letters Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 25 Z předchozích vztahů: můžeme říct, že pokud závisí fázová rychlost na vlnové délce, jak se to děje v disperzním mediu, pak se rychlosti budou lišit, pokud záviset nebude pak je derivace nulová a rychlosti jsou identické. Uvažujme nyní částici pohybující se v poli konstantního potenciálu V s celkovou energií . Vlastnosti částice a vlny jsou provázány následovně: a , můžeme psát: což následovně dává s : Grupová rychlost tedy odpovídá rychlosti částice, což nám dává jasnou představu o významu vlnového klubka. Pro volnou částici pak V = 0 a z výše uvedeného vychází: Tento výsledek říká, že fázová rychlost nemá fyzikálního významu, jde jen o matematický koncept k popisu vlnového klubka. A black text on a white background Description automatically generated A black text with black letters Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black math symbol with a white background Description automatically generated A black and white text Description automatically generated A black math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A black text with a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 26 Zajímá nás jak se vlnová klubka chovají v čase, vraťme se tedy k předchozímu výrazu kde nás zajímá jak ukončit Taylorův rozvoj v exponentu? Uvažujme tedy dva případy, lineární aproximaci a aproximaci kvadratickou Lineární aproximace je obhajitelná pro případ, kdy je úzké dostatečně, tak abychom mohli zanedbat kvadratický člen, tedy a pak můžeme psát: A dále přepsat na: kde což vede na: Vztah popisuje vlnu s modulovanou amplitudou. Modulující složka je která se šíří doprava s grupovou rychlostí a modulovaná složka reprezentuje rovinnou vlnu pohybující se také doprava fázovou rychlostí. Je tedy alespoň tvar vlny změněn při pohybu v čase doprava? Zjevně není, funkce reprezentuje matematicky řečeno funkci pohybující se doprava a tedy původní Gaussovský tvar vlny zůstává zachován. Výsledkem lineární aproximace je tedy pohyb nedeformovaného vlnového balíku o grupové rychlosti. A black letter on a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A black symbol with a black line Description automatically generated A black text with a number Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black math symbol with a white background Description automatically generated A black symbol with a black line Description automatically generated A black math equation Description automatically generated with medium confidence A black symbol with a black line Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 27 Uvažujme nyní kvadratický člen navíc a dostaneme: Kde je důležitým členem kvadratická korekce Uvažujme následující Gaussovský příklad: s počátečními šířkami Po dosazení do předchozích relací dostaneme: A po provedeném výpočtu (viz cvičení) dostaneme: kde je časově závislá šířka vlnového klubka: A my jasně vidíme změnu šířky z původních: Z těchto vztahů je jasné, že: -Klubko se šíří s konstantní grupovou rychlostí doprava -Klubko se rozšiřuje/rozptyluje - Jediná neznámá zůstává faktor: ten ale získáme výpočtem rozptylu Gaussovského klubka (výpočet viz cvičení). A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black symbols on a white background Description automatically generated A black letter with a point Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black symbol with a white background Description automatically generated A mathematical equation with black text Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A mathematical equation with numbers and lines Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 28 Výsledkem výpočtu pro rozptylu Gaussovského vlnového klubka v disperzním prostředí je: A black text on a white background Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated výška obálky modulována funkcí platí, že jde k nule pro a pro čas t = 0 je rovna A math symbols with numbers Description automatically generated with medium confidence šířka vlnového klubka se rozšíří z pro t = 0 na pro pozdější čas Pro čas v minus nekonečno je klubko nízké a široké, v nule se stává nejužším a nejvyšším, aby se pak opět rozšířilo. Zjednodušeně, uvažujme pro je a částice má nějakou nejistotu v rychlosti danou jako . Pak pro jakékoliv další časové okamžiky platí pro souřadnici/polohu částice: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 29 Kvantifikace důsledků rozptylu Gaussovského vlnového klubka v disperzním prostředí pro částice různých rozměrů: Parametr udává míru rozptylu částice. Pro elektron: Pro makroskopickou částici 1 g a pozicí danou na intervalu 1 mm: Je zřejmé, že vlnové klubko mikročástice (elektron) se rozšíří/rozptýlí velice rychle, ve srovnání s objektem blízkým vnímání člověka. Pro srovnání, stáří vesmíru je asi . Řeknete si, jak se může elektron rozplynout? Jak je to s jeho nábojem? Hmotnost se také rozplyne? Hodí se nám to u dvouštěrbinového experimentu? A zde opět narážíme na interpretaci vlnového klubka/vlnové funkce: částice se nerozplyne, jen její pozici nelze znát přesně! Víme přece, že dle Borna, reprezentuje elementární pravděpodobnost výskytu částice v čase t a v prostorovém intervalu x, x + dx, která je reprezentována vlnovým klubkem . Rozptyl vlnového klubka tedy určitě neznamená rozšíření částice samotné! A number seven and x Description automatically generated A black number with a white background Description automatically generated A black number and x Description automatically generated with medium confidence A group of black symbols Description automatically generated A black symbol with a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 30 I když se vlnové klubko mění tvarem, norma (celková pravděpodobnost výskytu) daná integrací jeho hustoty pravděpodobnosti vždy zůstane stoprocentní, tedy rovna jedné: Je třeba si uvědomit, že popisujeme ideální případ, volnou částici, u vázaných systémů, tedy částic v potenciálových polích, se jejich vlnová klubka nebudou rozplývat tak rapidně. Uvažujme nyní jaký má rozšíření vlnového klubka vztah k Heisenbergovu principu neurčitosti: Prvně je třeba si uvědomit, že nejistota hybnosti se u volné částice nezvětšuje s časem tak jako nejistota polohy! Vyjdeme z předchozího vztahu: Kdy platí: Čili šířky funkcí a si jsou rovny, protože hustoty pravděpodobností jsou identické funkce. Vlnový vektor zůstává konstantní a tedy i hybnost, a protože počáteční nejistota je pak Po vynásobení s neurčitostí pozice pak: což dále ukazuje, že vždy platí Pro vztah pak pro jde součin k nule. V takovém případě nedojde k rozšíření klubka a objekt se chová jako klasická částice. Rozšíření/rozptyl vlnového klubka částice je tedy čistě kvantově-mechanický efekt! A black text on a white background Description automatically generated A math symbols and symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black square with black text Description automatically generated with medium confidence A black square with black text Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 31 Závěrem tedy shrňme důležité poznatky: -experimenty na konci 19. a začátku 20. století jasně ukázali, že klasická fyzika nedokáže přesvědčivě vysvětlit mikroskopickou povahu světa -stará kvantová teorie (1900-1925) ukázala směr, ovšem byla nekonzistentní a nevycházela z prvotních principů -dvouštěrbinový experiment odhalil stochastickou/pravděpodobnostní a tedy nedeterministickou povahu mikrosvěta a skrze interferenci elektronů navedl k popisu mikrosvěta pomocí vlnových funkcí -princip superpozice se tak stal klíčovým pro popis mikrosvěta -Heisenberg ukázal, že nemůžeme zároveň přesně určit polohu a hybnost/rychlost částice a tyto neurčitosti se řídí tzv. Heisenbergovým principem neurčitosti: - - -řešením popisu částic mikrosvěta byly částicové vlny popsané vlnovou funkcí ve tvaru vlnových klubek -vlnové funkce a jejich velikosti na druhou popisují kvantitativně pravděpodobnostní charakter mikrosvěta: -vlnové funkce pro popis pozice a hybnosti jsou vzájemně provázané skrze Fourierovu transformační relace: A pro vlnová klubka: -zajišťují přesnou kvantifikaci Heisenbergova principu neurčitosti -ztělesňují a propojují jak částicový tak i vlnový charakter mikroobjektů, tehdy tzv. de Broglieových částicových/hmotnostních vln -zajišťují propojení mezi intenzitami vln (třeba ve dvouštěrbinovém experimentu) a pravděpodobností detekce částice -a, velmi důležité, zároveň propojují klasickou fyziku z fyzikou kvantovou! A group of math equations Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic