Obsah přednášky 1.Počátky kvantové mechaniky, vlny vs. částice 2. 2.Operátory a matematický aparát, reprezentace a vzájemné transformace 3. 3.Postuláty kvantové mechaniky 4. 4.Schrödingerova rovnice a její 1D řešení 5. 5.Moment hybnosti, 3D problematika a atom vodíku 6. 6.Identické částice 7. 7.Elementarizace pro střední školy 8. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 2 Základní postuláty kvantové mechaniky 1.Stav systému Stav jakéhokoliv fyzikálního systému je specifikován v každém čase t pomocí stavového vektoru ket (tedy vlnové funkce, pokud promítneme stavový vektor na nějakou bázi), stavový vektor obsahuje (a slouží i jako prvek k dalšímu odvození) všechny potřebné informace o systému. Jakákoliv superpozice stavových vektorů je také stavový vektor. 2.Pozorovatelné a operátory Každá fyzikální měřitelná veličina A, zvaná v kv. mechanice pozorovatelná, či dynamická proměnná, je reprezentována lineárním hermiteovským operátorem jehož vlastní vektory jsou kompletní bází. 3.Měření a vlastní hodnoty operátorů Měření pozorovatelné A může být formálně reprezentováno působením operátoru na stavový vektor . Jediným možným výsledkem takovéhoto působení je získání jedné z vlastních hodnot (tyto jsou reálné) daného operátoru . Pokud je výsledkem měření pozorovatelné A na stavu vlastní hodnota , pak se stav systému po měření okamžitě změní na kde . Poznámka: je složka vektoru při jeho projekci na vlastní vektor . 4.Pravděpodobnostní povaha měření Pro diskrétní spektrum: pokud měříme A ve stavu , pak pravděpodobnost získání nedegenerované vlastní hodnoty je: pokud je systém před měřením již ve stavu pak měření A dává stoprocentně : Pro spojité spektrum: předchozí výraz pro pravděpodobnost lze převést na hustotu pravděpodobnosti měření A, dá hodnotu mezi a, a+da systému původně ve stavu : např. hustota nalezení částice v intervalu x, x+dx je dána výrazem: 5.Časový vývoj systému Časový vývoj stavového vektoru (stavu, tedy vlnové funkce) je popsán časově závislou Schrödingerovou rovnicí: kde je Hamiltonův operátor reprezentující celkovou energii systému: 6. A black symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black lines Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A black and white image of symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence Vzpomeňme: Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 3 Schrödingerova rovnice Popisuje dynamiku mikroskopické částice o hmotnosti m pohybující se v silovém časově-nezávislém potenciálu velikosti V(x): Kde E je celková energie částice a řešením této rovnice jsou vlastní hodnoty En a jim odpovídající vlastní funkce Abychom rovnici vyřešili pro konkrétní případ, tak potřebujeme specifikovat potenciál V(x) a okrajové podmínky daného fyzikálního systému. Víme také, že řešení pro SR s časově nezávislým potenciálem jsou stacionární: protože hustota pravděpodobnosti nezávisí na čase. Stavová funkce má rozměr kde L je délka. Pak tedy rozměr je 1/L. V následující výkladu se budeme nejdříve zabývat obecnými vlastnostmi jednodimenzionálního pohybu a budeme diskutovat symetrii řešení SR. Poté budeme aplikovat SR na různé problémy: volnou částici, potenciálový schod, konečně a nekonečně hluboké potenciálové jámy, harmonický oscilátor a periodické potenciály. Což jsou první jednoduché modely pro popis fyzikální reality elektronové struktury atomů a molekul. A black text on a white background Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A group of black rectangular objects Description automatically generated with medium confidence A group of symbols on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 4 Diskrétní a kontinuální spektra Obecný 1D potenciál V(x): Diskrétní spektrum: Vázané stavy se vyskytují vždy, pokud částice nemůže uniknout do nekonečna. Čili částice je uvězněna/vázána v omezeném prostoru, definovaném hranicemi potenciálu. Pohyb částice je tzv. limitní. V takovém případě jsou řešení SR pouze ta diskrétní. Toto platí např. pro harmonický oscilátor či nekonečnou potenciálovou jámu. Stavy odpovídající výše uvedené podmínce pro energii E jsou stavy vázané. Jejich vlnové funkce jsou konečné/nulové pro x jdoucí do +- nekonečna. Tyto stavy pak mají energie menší než daný potenciál Aby vázaný stav mohl existovat, tak potenciál V(x) musí mít alespoň jedno minimum. Energiové spektrum vázaných stavů je diskrétní, tedy jen spočitatelné vlastní hodnoty En a jim příslušející vlastní funkce. Pro nalezení vlnové funkce a energie, které jsou řešením SR musíme aplikovat okrajové podmínky. Protože je SR rovnice druhého řádu, jsou pro její řešení potřeba pouze dvě okrajové podmínky. V 1D případech jsou vázané stavy diskrétní a nedegenerované. Vlnová funkce má v 1D případech n uzlů, tedy je rovna nule n-krát, pokud n = 0 je základní stav a (n-1) uzlů pokud n = 1 je základní stav. - A graph of a function Description automatically generated , A diagram of a graph Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 5 Diskrétní a kontinuální spektra Obecný 1D potenciál V(x): Kontinuální spektrum: Nevázané, čili volné stavy nastávají, pokud není pohyb částice potenciálem omezen/vázán - typicky jde třeba o volnou částici. Pohyb takové částice je infinitní pro a pro Případ V tomto případě je pohyb částice infinitní pouze pro . Energiové spektrum je kontinuální a žádný ze stavů není degenerovaný. SR je rce druhého řádu a má tak dvě lineárně nezávislá řešení, ale pouze jedno je fyzikálně akceptovatelné. Toto řešení je oscilující pro a silně klesající pro tak, že je finitní (nulové) pro , protože divergentní řešení nejsou fyzikální (vzpomeňte na kvadraticky integrabilní funkce). Případ Energiové spektrum je kontinuální a pohyb částice je v obou směrech infinitní . Všechny energiové stavy spektra jsou dvojnásobně degenerované. Obecným řešením SSR je lineární kombinace dvou oscilačních funkcí, jedna pro pohyb doleva a druhá pro pohyb doprava. (V předchozím nedegenerovaném případě zůstává jen jedno řešení, protože to druhé diverguje pro a je fyzikálně neakceptovatelné, je tedy zamítnuto.) V kontrastu k vázaným stavům, volné stavy nelze normalizovat a nelze použít okrajové podmínky. A graph of a function Description automatically generated , Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 7 Volná částice – kontinuální, volné stavy Jde o nejjednodušší 1D problém, kdy V(x) = 0. V takovém případě dostává SR tvar: Kde , a k je vlnový vektor. Jak jsme již probrali, nejjednodušším řešením této rovnice je součet dvou lineárně nezávislých planárních vln kde a jsou libovolné konstanty. Kompletní vlnová funkce je pak dána stacionárním stavem: kde První člen reprezentuje vlnu jdoucí doprava, druhý člen pak vlnu šířící se doleva. Intenzity těchto vln jsou dány: a Je dobré si uvědomit, že tyto vlny a jsou spojeny s volnou částicí jdoucí doprava a doleva s přesně definovanou hybností a energií: A protože pro volnou částici nemáme žádné okrajové podmínky, tak neklademe žádná omezení na hodnoty k a E. SR pro volnou částici je tedy matematicky řešitelná a jednoduše popsatelná, ovšem má zjevné fyzikální problémy: - hustota pravděpodobnosti pro obě řešení je konstantní: Protože nezávisí ani na x ani na t. To samozřejmě plyne z Heisenbergova principu neurčitosti, protože pokud máme přesně známé hybnost a energii, pak o poloze a čase nemůžeme říci nic. Tedy, pokud a pak a - rychlost šíření vlny a částice se liší: Přitom pro částici: A tedy částice se šíří dvakrát rychleji než vlna. - výsledná vlnová funkce není normalizovatelná: A tedy řešení nejsou fyzikální, nejsou kvadraticky integrabilní. Problém je zjevný: volná částice nemůže mít přesně danou hybnost a energii v kvantovém popisu. A black text with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A black and orange lines Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A math equation with a symbol Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 8 Volná částice – kontinuální, volné stavy Z předchozího plyne, že fyzikálně akceptovatelná řešení SR nemohou být planární vlny, ovšem mohou to být lineárně složené, superponované, planární vlny, vlnová klubka: kde je amplituda vlnového klubka a je dána Fourierovou transformací , tedy: Vlnové klubko řeší všechny výše uvedené problémy planárních vln, hybnost a energie jsou dány s nenulovou přesností/rozptylem, vlnové klubko i částice se šíří stejnou rychlostí a vlnové klubko je normalizovatelné. Fyzikální řešení SR pro volnou částici jsou tedy dána vlnovými klubky, ne stacionárními řešeními. Vzpomeňme si na princip superpozice, vlastnosti Hermiteovských operátorů a linearitu SR! - A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A group of letters with a white background Description automatically generated A black and white image of a smiley face Description automatically generated A math equation with symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 9 Potenciálový schod Dalším elementárním problémem je tzv. potenciálový schod, tedy kdy částice je volná všude, ale za určitou souřadnicí už to není možné, potenciál tam strmě stoupá. Má obecně následující tvar: V následujícím výkladu se budeme zabývat dynamikou toku částic, všech o hmotnosti m a rychlosti v, které se šíří z leva doprava k hraně potenciálu a budeme uvažovat dva případy: a)Případ b) Částice je volná pro x < 0 a pro x = 0 a x > 0 na ni působí odpudivý potenciál V. Podívejme se na tok částic za těchto podmínek nejdříve klasicky a poté kvantově: Klasicky dochází k tomu, že částice se blíží ke schodu zleva s hybností Jakmile pak částice pronikne do oblasti kde je potenciál tak zpomalí a budou mít hybnost a ponechají si ji při dalším šíření doprava. A protože částice mají Dostatečnou energii, tak se budou všechny šířit dál doprava – půjde o kompletní průchod. Jde o zjednodušený případ rozptylu v 1D. Kvantově bude dynamika částic v těchto oblastích dána SR následovně: Kde a Obecným řešením těchto rovnic jsou: přičemž je zřejmé z našeho zadání, že D je rovno nule, proč??? A black text on a white background Description automatically generated A diagram of equations and equations Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 10 Potenciálový schod A protože se zabýváme stacionárními stavy, tak kompletním řešením je: kde a jsou dopadající, odražená a průchozí vlna na rozhraní. Všimněte si, že hustota pravděpodobnosti pro je rovná čára, to proto, že platí Uvažujme nyní o koeficientech odrazu a průchodu (transmise). Tyto jsou definovány následovně: kde a jsou hustoty toku pravděpodobnosti, o kterých jsme se již bavili v předchozí kapitole. Pro dopadající vlnu máme a tedy dopadající hustota toku pravděpodobnosti bude: Obdobně pro hustoty toku odražené a průchozí pravděpodobnosti platí: Pro koeficienty odrazu a transmise tedy platí: A diagram of equations and equations Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black and white image of letters Description automatically generated with medium confidence A black and yellow symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white math equation Description automatically generated A white background with black dots Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 11 Potenciálový schod Pro kvantifikaci koeficientů odrazu a transmise je tedy třeba vyjádřit konstanty B a C, pro dané vlnové funkce o daných vlnových vektorech/energiích. Pro jejich určení vyjdeme z okrajových podmínek pro vlnovou funkci pro I vlnová funkce i její první derivace musí být spojité v x = 0, musí plynule navazovat: Pak dostáváme dosazením vlnových funkcí: A tedy: Protože jsou koeficienty odrazu a transmise vyjádřeny poměrem, kde v obou částech zlomku vystupuje konstanta A, tak ji nepotřebujeme počítat (dala by se získat normalizací vlnové funkce). Výsledkem tedy je: Kde Součet obou koeficientů by měl být 1, což uvedené rovnice splňují. Na rozdíl od klasické mechaniky, kde z uvedených hodnot pro energii by mělo být jasné, že se žádná částice neodrazí, koeficient R by měl být roven nule, v kvantové mechanice roven nule není. Díky vlnové povaze kvantového světa, v tomto případě mikročástice, i částice s vyšší energií než je hodnota potenciálového schodu, mohou být odraženy. Z výše uvedených vztahů je také zjevné, že pro snižující se E, koeficient T se také snižuje a pro je T = 0. Pro opačný případ, pro máme a tedy R = 0 a T = 1. A close-up of a black text Description automatically generated A group of black and white circles Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 12 Potenciálový schod Fyzikální význam okrajových podmínek: 1.Protože hustota pravděpodobnosti nalezení částice v jakkoliv malé oblasti se mění kontinuálně z jednoho bodu do dalšího, vlnová funkce musí tím pádem být kontinuální, spojitou funkcí proměnné x, a tedy musí platit: 2. 2.Protože hybnost částice musí být také spojitou funkcí proměnné x, tak první derivace vlnové funkce musí být také spojitou funkcí na x, zvláště na x = 0. Proto také musí platit: - A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black and orange symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 13 Potenciálový schod b) Případ V klasické mechanice bude částice blížící se k potenciálovému schodu zleva o hybnosti zastavena na pozici x = 0. A poté se odrazí zpět beze změny velikosti hybnosti. Všechny částice se odrazí zpět a T = 0, půjde o totální odraz. Kvantově budeme pozorovat ale trochu jiné chování systému. Pro x < 0 bude situace stejná jako v předchozím případě: - - - - - Pro část pak bude ale SR vypadat následovně: Kde platí: Proč je tam najednou mínus, v SR? Co myslíte? Tato SR má následující řešení: Ale dále: protože vlnová funkce musí být všude konečná a protože člen diverguje pro , tak konstanta D musí být rovna nule. Tedy výsledné řešení je: Otázka k zamyšlení: proč není konstanta C rovna nule? A diagram of a function Description automatically generated A math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A black text with a white background Description automatically generated A math equations on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 14 Potenciálový schod Vyjádřeme koeficienty odrazu a transmise jako pro předcházející případ: - První, co je dobré si uvědomit je, že transmisní koeficient, odpovídající vlnové funkci , bude nulový, protože tato vlnová funkce je reálnou funkcí a tedy: Z toho vyplývá, že koeficient odrazu musí být roven jedné, R = 1. Tento výsledek získáme, pokud aplikujeme podmínky spojitosti pro x = 0 na řešení SR: A koeficient odrazu je tedy: Máme tedy totální odraz, stejně jako v klasickém případě, ale co je jinak? Zatímco při klasickém pohledu nemůžeme najít žádnou částici v prostoru x > 0, tak z kvantově mechanického výpočtu nám plyne něco jiného: a totiž nenulová pravděpodobnost pro výskyt mikroobjektu pro x > 0: A black and orange symbol Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A white background with black and white clouds Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A diagram of a function Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 15 Potenciálová bariéra Uvažujme proud částic o hmotnosti m poslaných zleva na potenciálovou bariéru: Podobně jako v předešlém případě se jedná o 1D rozptyl. Opět jej můžeme rozdělit na dva případy: - a) Případ Klasicky, částice o hybnosti , která vletí do oblasti , zpomalí a bude mít hybnost Po dosažení souřadnice x = a pak zrychlí na původní hybnost. Částice mají dostatek energie, aby prošly bariérou a tedy transmisní koeficient bude roven jedné. Zjevně, kvantově opět dostaneme oscilující vlnovou funkci pro všechny tři oblasti a jen jejich amplituda se bude měnit. Řešením SR bude: Kde a Opět, konstanty B, C, D, E dostaneme ve vztahu k A aplikací okrajových podmínek, tedy spojitosti vlnové funkce a její derivace na obou rozhraních, x = 0 a x = a. A close-up of a number Description automatically generated A diagram of a mathematical equation Description automatically generated with medium confidence A black arrow pointing to the right Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A square root of a mathematical equation Description automatically generated A black text with a black line Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 16 Potenciálová bariéra Z předchozího tedy vyjádříme: Z těchto rovnic plyne následující: A pro E pak dostáváme: Transmisní koeficient pak vychází: , kdy Pomocí a můžeme psát: A podobně pro R: - - - Podobně pak na cvičení… A group of math equations Description automatically generated A close up of a number Description automatically generated A math equations on a white background Description automatically generated A group of mathematical equations Description automatically generated A mathematical equation with a number and a circle Description automatically generated with medium confidence A square root of a square root of a square root of a square root Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black line with numbers and symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 17 Potenciálová bariéra Z předchozího výrazu pro transmisní koeficient pak můžeme uvažovat následující speciální případy: 1.Pro a tedy pro se transmisní koeficient asymptoticky blíží hodnotě 1 a R se blíží k nule. Tedy pro vysoké energie a a slabé potenciálové bariéry, tyto částice nebudou efektivně ovlivněny bariérou – budeme mít totální transmisi. 2. 2.Totální transmise nastává i pro nebo Totální průchod nastává tehdy, když nebo když počáteční energie částic je pro hodnoty Maxima transmisního koeficientu odpovídají s energiovými vlastními hodnotami nekonečné potenciálové jámy a nazývají se rezonance (ještě se k tomu dostaneme). Toto je čistě kvantově mechanický jev je důsledkem konstruktivní interference dopadající a odražené vlny. Experimentálně je pozorován např. při rozptylu nízkoenergetických elektronů na atomech vzácných plynů (např. argon), kde je důsledkem symetrie těchto atomů a zodpovídá např. za tzv. Ramsauer-Townsendovo minimum pro interakční průřezy >>> nestability v plazmatu těchto plynů. 3. Krátce k potenciálové jámě, kdy : Podobně jako výpočet výše dostaneme Kde a Podobně jako výše dochází k rezonancím pro A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black and white symbols Description automatically generated with medium confidence A graph of a function Description automatically generated A mathematical equation with black text Description automatically generated A black and white letter Description automatically generated A square root of a square object Description automatically generated A number and a number Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 18 Potenciálová bariéra b) Případ - tunelování A opět, klasicky by měl následovat totální odraz, žádný průchod bariérou není možný. Kvantově je situace ovšem jiná, existuje nenulová pravděpodobnost, že některé částice bariérou projdou. >>> opět rozdělíme řešení SR do relevantních intervalů, zde opět do tří: Je dobré si uvědomit proč a konkrétně jakých tvarů řešené Schrödingerovy rovnice nabývají, a totiž: Vycházíme totiž ze vztahu pro SR: A black arrow on a white background Description automatically generated A diagram of a function Description automatically generated with medium confidence A close up of a math equation Description automatically generated with medium confidence Math equations on a white board Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 19 Potenciálová bariéra b) Případ - tunelování A opět, klasicky by měl následovat totální odraz, žádný průchod bariérou není možný. Kvantově je situace ovšem jiná, existuje nenulová pravděpodobnost, že některé částice bariérou projdou. >>> opět rozdělíme řešení SR do relevantních intervalů, zde opět do tří: Kde: a Abychom našli koeficient odrazu a transmise, pak: Kdy B a E vyjádříme nejdříve ve formě závislé na A, které se nám pak vykrátí. Výsledkem jsou vztahy, ke kterým se podrobně propočítáte na cvičení: A tedy pravděpodobnost průchodu mikroobjektu na druhou stranu bariéry je nenulová. Jedná se o další názorný/aplikovatelný výsledek kvantové teorie – tunelový jev/efekt. A black arrow on a white background Description automatically generated A diagram of a function Description automatically generated with medium confidence A close up of a math equation Description automatically generated with medium confidence A black number on a white background Description automatically generated A black letter with a white background Description automatically generated A white background with black lines Description automatically generated A math problem with numbers and a smile Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 20 Potenciálová bariéra - tunelování Koeficienty tedy máme: Kvantově mechanické tunelování nelze samozřejmě vysvětlit klasickou fyzikou. Tunelování stojí za radioaktivním rozpadem nebo přenosem náboje v polovodičové elektronice. Pomocí vztahů: Můžeme koeficienty přepsat na: Speciální případy: 1. Pro tedy můžeme aproximovat a tedy: Což jasně ukazuje, že T není roven nule, a má konečnou hodnotu. Kvantově tedy máme konečné/omezené tunelování skrze bariéru na 2. Pro se dostáváme k vztahu podobně aproximovatelnému ze str. 16: A diagram of a function Description automatically generated with medium confidence A math problem with numbers and a smile Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A square root of a mathematical equation Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A group of mathematical equations Description automatically generated A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A black line with a line and a line Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A math equations and formulas Description automatically generated A math equation with black text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A graph of a function Description automatically generated 21 Potenciálová bariéra - tunelování Ve skutečnosti jsou výpočty složitější. V klasické mechanice jsou souřadnice x1 a x2, ty, za které by se klasická částice nemohla dál pohybovat. Prostorově libovolně se měnící profily potenciálů nejsou analyticky řešitelné, je třeba to řešit numericky, či pomocí dalších aproximací. Wentzel-Kramers-Brillouin metoda aproximace (zkratka WKB – v statistické termodynamice a fyzice plazmatu jsou i horší zkratky, např. BBGKY čili Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hierarchie) je jedna z nejúčinnějších (pro spoojité, pomalu se měnící V(x)). Ukažme, že transmisní koeficient lze vyjádřit jako: Rozdělíme průběh potenciálu V(x) na mnoho malých intervalů △x, které pak umožní celý potenciál rozdělit do několika pravoúhlých bariér s transmisními koeficienty: Celkově pak: A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A math equations with square and square symbols Description automatically generated with medium confidence A group of math equations Description automatically generated T = Z předchozí strany: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 22 Nekonečná potenciálová jáma Uvažujme následující případ: Klasická mechanika dává kmitající částici uvnitř jámy, pohybující se s hybností která se bude pohybovat mezi 0 a a. Podle kvantové mechaniky budeme očekávat vázané stavy a diskrétní nedegenerované spektrum. Protože potenciál mimo oblasti II jde do nekonečna, musí tam být vlnová funkce nulová. Hledáme tedy řešení SR pouze uvnitř jámy: Kde a vlnová funkce je: Vlnová funkce je nulová na okrajích: , z plyne a z plyne: Tato podmínka nám pak určuje energii: Energie je tedy kvantována, pouze některé hodnoty jsou povoleny, tedy jak očekáváno pro částici uzavřenou v limitované oblasti. Máme tedy diskrétní energiové spektrum a vázané stavy. Toto je samozřejmě v kontrastu s očekáváním pro klasickou mechaniku, kde energie může nabývat spojitě libovolných hodnot. Uvědomme si, že energie mezi sousedními stavy není konstantní: z čehož plyne relativní vztah: A pro přechod do klasické fyziky: Čili pro klasickou mechaniku neexistuje diskrétní omezení pro hodnoty energie! Nezapomeňte, také, že zde počítáme vlastní hodnoty! A graph of mathematical equations Description automatically generated A number symbols on a white background Description automatically generated A square root of a mathematical equation Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A white rectangular object with black text Description automatically generated A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A mathematical equation with black text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 23 Nekonečná potenciálová jáma Protože B = 0 a , vychází nám a zbývající konstantu A můžeme určit z normalizace vlnové funkce: A tedy: První hodnoty pro výšeuvedenou funkci jsou uvedeny na grafu vpravo. Řešení SR nám tedy dává energiové hladiny a vlnové funkce, v tomto případě nekonečně mnoho pro rostoucí n. Pro n = 0 vychází fyzikálně nepotřebný výsledek: a Jednak je vlnová funkce nulová a tedy hustota pravděpodobnosti taktéž, ale také částice s nulovou energií bude spočívat nehybně v potenciálové jámě, což odporuje Heisenbergovu principu neurčitosti. Pokud lokalizujeme částici v omezeném prostoru, pak má také dánu hybnost s nenulovou konečnou hodnotou, a tedy bude mít nenulovou energii. Pokud je limitující interval pak je přibližná neurčitost polohy a to vede přes princip neurčitosti k a k hodnotě energie což je zhruba hodnota energie pro první hladinu: Uvědomme si, že pro snižování šířky intervalu a nám bude růst. Což bude částici urychlovat, zvětšovat její energii a s tím také hodnotu první hladiny. Tento tzv. nulový-bod energie (zero-point energy) nám tedy určuje minimální pohyb částic skrze její lokalizaci. Tento fakt nám zaručuje stabilitu atomů, bez omezení minimální energie by elektrony spadly na jádro. A black and white text Description automatically generated A white rectangular object with black lines Description automatically generated A diagram of a function Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A number and a line Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 24 Nekonečná potenciálová jáma Ale vraťme se k vlnovým funkcím: Nejnižší energie je energie základního stavu, pro n = 1, a pro vyšší n mluvíme o tzv. excitovaných stavech a pro jejich energie platí zjednodušeně: Z obrázku níže vidíme, že každá vlnová funkce má uzlů. Vidíme také, že funkce jsou sudé a funkce jsou liché vzhledem k centru a/2 potenciálové jámy. Je dobré si připomenout, že žádné energiové stavy nejsou degenerované (každá vlastní hodnota má jen jednu vlastní funkci) a že vlnové funkce odpovídající jednotlivým energiovým stavům jsou ortogonální (tvoří bázi Hilbertova prostoru): A protože jde o stacionární stavy a platí tak nejobecnější řešení časově závislé SR je dáno: A white rectangular object with black lines Description automatically generated A black and white image of a number Description automatically generated A diagram of a function Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 25 Nekonečná potenciálová jáma Uvažujme, co by se stalo, kdybychom potenciály posunuly a vytvořili symetrickou nekonečnou potenciálovou jámu: Za prvé, energiové spektrum zůstane nezměněno touto operací, protože Hamiltonián je invariantní vůči prostorovému posuvu a pro dané intervaly má jen kinetickou složku, kde ale komutuje s hybností: Za druhé, pokud jsou potenciály symetrické pak vlnové funkce vázaných stavů budou liché nebo sudé, pro tento případ: Srovnejme s předchozím: Můžeme tedy konstatovat, že posunem nekonečné potenciálové jámy na střed se s hustotou pravděpodobnosti nic nestane. A number symbols and symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated A math equations with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A white rectangular object with black lines Description automatically generated symetrické antisymetrické Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 26 Konečná potenciálová jáma Uvažujme následující tvar potenciálu: a)Uvažujme případ b) b) Jde o případ rozptylu, jak už jsme si jednou zmínili. Např. elektron pohybující se kolem atomu, jeho potenciálového působení. Klasicky, pokud částice s hmotností m se bude přibližovat zleva s hybností tak v intervalu zrychlí na hybnost a dále pak opět zpomalí za x = a/2. Všechny částice projdou a žádná nebude odražena, koeficient transmise bude roven jedné a koeficient odrazu roven nule. Z pohledu kvantové mechaniky můžeme již dle předchozích zkušeností říci, že dostaneme nenulový, konečný koeficient odrazu. Výpočet je jednoduchý, pokud použijeme návod, který jsme si již osvojili v předchozích případech. Můžete zkusit ve cvičení. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 27 Konečná potenciálová jáma Uvažujme následující tvar potenciálu: b) Uvažujme případ Z pohledu klasické fyziky, pro je částice uzavřena v potenciálové jámě, ve které se bude pohybovat tam a zpět mezi -a/2 a a/2 s hybností Z pohledu kvantové mechaniky bude toto již mnohem složitější případ. Jde o případ konečné potenciálové jámy s vázanými stavy a diskrétními stavy energie, jak můžeme čekat. Ve třech význačných intervalech pak bude SR vypadat následovně: Kde a Pokud eliminujeme nefyzikální řešení, tedy ta která rostou do nekonečna pro velká |x|, můžeme psát řešení pro vnější intervaly následovně: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 28 Konečná potenciálová jáma Uvažujme následující tvar potenciálu: Jak už bylo řečeno – pro symetrické potenciály, tedy pro vlastní funkce vázaných stavů symetrických jednodimenzionálních Hamiltoniánů, můžeme počítat s řešením jako se prostorově symetrickými lichými a sudými funkcemi. Řešení SR: Jsou tedy lichá (antisymetrická): Nebo sudá (symetrická): Abychom mohli určit vlastní hodnoty, je třeba zavést podmínky spojitosti na rozhraních. A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 29 Konečná potenciálová jáma Podmínky pro spojitost na : Zkombinujeme podmínku pro spojitost vlových funkcí a spojitost prvních derivací a vydělíme jednu rovnici druhou – získáváme vztah pro logaritmickou derivaci: A pro symetrickou funkci: Tyto rovnice ale nemůžeme vyřešit přímo, jen numericky a graficky. Pomocí vztahů a A pomocí dříve uvedených: a Získáme: pro liché stavy pro sudé stavy A můžeme jejich průniky vidět na grafu vpravo >>> Řešením jsou samozřejmě diskrétní hodnoty, máme vázané stavy přece. Počet řešení závisí na velikosti: Čím hlubší a širší je jáma, tím větší R a tedy i počet stavů. Pokud půjde hodnota potenciálu k nekonečnu, tak se blížíme nekonečné potenciálové jámě a získáme: Příklad ve cvičení. A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A math equations with black text Description automatically generated with medium confidence A diagram of a function Description automatically generated A black arrow pointing to an e = Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 30 Konečná potenciálová jáma Jde o jednoduchý fyzikální model např. elektronu v polovodiči, či protonu v atomovém jádře. Pro srovnání s nekonečnou jámou a elektron: A diagram of a graph Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 31 Harmonický oscilátor – nejen model kmitů molekul Jeden z velice důležitých modelů pro mnoho oblastí moderní fyziky – elektrodynamiky, statistické i fyziky pevných látek. Hamiltonián pro částici s hmotností m, která osciluje s úhlovou frekvencí vlivem jednorozměrného harmonického potenciálu je dán: Problémem je nyní určit, jako obvykle, vlastní hodnoty energie a vlastní stavy pro tento Hamiltonián. Lze jej řešit dvěmi různými metodami: analytickou a algebraickou. Analytická spočívá v přímém řešení SR s využitím Hermiteovských polynomů - o tu se jen otřeme a problém budeme řešit pomocí algebraické metody – elegantnější a více přímočaré – ovšem s použitím nových operátorů. Pro analytickou metodu potřebujeme Schrödingerovu rovnici v následujícím tvaru: A můžeme ji přepsat do následujícího tvaru: Kde je konstanta s rozměrem délky. Řešení takovýchto rovnic bylo získáno již dříve a to ve tvaru tzv. Hermiteovských polynomů, které vedou na následující tvar pro vlastní hodnoty Hamiltoniánu: A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A mathematical equation with numbers Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A black square root of a square Description automatically generated A close-up of a number Description automatically generated A diagram of energy and energy Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 32 Harmonický oscilátor Pro vlastní funkce těchto vlastních hodnot, které mají fyzikální smysl, pak vychází: Kde jsou Hermiteovy polynomy n-tého řádu: Pro přehled, prvních několik Hermiteových polynomů vypadá následovně: K fyzikálnímu popisu a významu těchto výsledků se dostaneme při řešení druhou metodou. A black text on a white background Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated A black text with black text Description automatically generated A number of mathematical equations Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 33 Harmonický oscilátor Řešení algebraickou metodou vyžaduje přepsání Hamiltoniánu pomocí dvou Hermiteovských bezrozměrných operátorů a do tvaru: Poté zavedeme dva ne-Hermiteovské, bezrozměrné operátory (jejichž význam si objasníme později): Uvědomme si, že: Kde použitím můžeme ověřit, že komutátor je roven: A tedy platí: a Vložením posledního vztahu do výše uvedeného přepsaného Hamiltoniánu pak dostáváme důležitý vztah: Kde je operátor počtu excitací, čili čítací operátor. A group of symbols on a white background Description automatically generated A group of math symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A couple of black letters Description automatically generated A black and white image of a symbol Description automatically generated A square root of a mathematical problem Description automatically generated A math symbols on a white background Description automatically generated A math equation with a number and a equal sign Description automatically generated with medium confidence A black letter with a arrow pointing up Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 34 Harmonický oscilátor Pro úplnost, odvoďme komutátor Protože pak a tedy: Platí: A group of black letters Description automatically generated A black and white image of a symbol Description automatically generated A number symbols with a black line Description automatically generated with medium confidence A number of letters and numbers Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular sign with a black line and a black and white cross Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 35 Harmonický oscilátor - vlastní hodnoty Uvědomme si, že dříve upravený Hamiltonián komutuje s operátorem počtu excitací. Tedy mají společný set vlastních stavů, označme je jako a tedy: Ket vektory n tedy značíme jako energiové vlastní stavy. Kombinací a předešlého výrazu dostaneme: (Později si ukážeme, že n může nabývat jen pozitivních celých čísel.) Nyní můžeme vyjasnit význam operátorů a . Z výše uvedených vztahů a Dostaneme následující komutátory: A použitím vztahu dostáváme: Tedy a jsou vlastními stavy hamiltoniánu s vlastními hodnotami a . Čili uvedené operátory působící na ket generují nové energiové stavy s nižší či vyšší energií o hodnotu . Tyto operátory jsou tedy známé jako anihilační a kreační operátor. A black and blue text Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A number and a smiley face Description automatically generated with medium confidence A white rectangular with black numbers and symbols Description automatically generated A group of black letters Description automatically generated A group of black letters Description automatically generated A number and symbols on a white background Description automatically generated A black and white rectangle with a black border Description automatically generated A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A close-up of some letters Description automatically generated A group of black and blue letters Description automatically generated A group of symbols with different angles Description automatically generated with medium confidence A group of people with different colored crosses Description automatically generated with medium confidence A group of black letters Description automatically generated A black and blue text Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 36 Harmonický oscilátor – kreační a anihilační operátory … pro procvičení práce s operátory Ukažme si nyní, jak anihilační a kreační operátor působí na vlastní stavy . Protože tyto dva operátory nekomutují s , tak stavy n nejsou vlastními stavy ani jednoho z těchto dvou operátorů. Použitím a vztahu lze ukázat, že Použitím těchto vztahů a vztahu získáme relace: Tyto relace ukazují, že a jsou vlastními stavy s vlastními hodnotami a . Je tedy zjevné, že pokud působí anihilační a kreační operátor na stavový vektor ket, pak sníží či zvýší n o jednotku. Můžeme psát: kde je konstanta, kterou lze určit z normalizační podmínky pro všechny hodnoty n. Z právě uvedené rovnice plyne: A z rovnice plyne: A tedy: Hodnota n nemůže být negativní a rovnice pro vlastní stavy anihilačního operátoru pak je: Opakované působení anihilačního operátoru na n ket vektor generuje sekvenci vlastních vektorů Protože n nemůže být negativní, jsou také reálné hodnoty n nemožné. Sekvence jasně končí v nule. Pro kreační operátor pak podobně: A group of symbols with a cross Description automatically generated A black rectangle with white and blue rectangle Description automatically generated A black and white symbols Description automatically generated with medium confidence A close-up of math symbols Description automatically generated A black and white image of a number Description automatically generated with medium confidence A group of crosses on a white background Description automatically generated A black and blue line Description automatically generated A black and blue cross Description automatically generated A black and white text Description automatically generated A black and white symbols Description automatically generated with medium confidence A number one and two equal signs Description automatically generated A square root of a square Description automatically generated A black rectangular with a square root of a square Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 37 Harmonický oscilátor A opět, opakovanou aplikací kreačního operátoru na ket vektor generuje sekvenci vlastních vektorů A tedy energiové spektrum pro harmonický oscilátor je diskrétní: Je to stejný výsledek jako jsme dostali první analytickou metodou. Vidíme, že energiové spektrum harmonického oscilátoru je složeno z energiových hladin, které jsou stejně vzdáleny: A zde pozor! Toto je přece slavná Planckova idea o kvantování. Čili, že energie záření emitovaného oscilujícími náboji (z vnitřku dutiny, černého tělesa) může být přenášena jen po jakýchsi balících, kvantech, a to v násobcích . Což bylo u samotného zrodu kvantové mechaniky. Pro harmonický oscilátor, jak už jsme mohli očekávat pro vázané stavy 1D potenciálu, je tedy energiové spektrum diskrétní a nedegenerované. Obdobně jako pro nekonečnou jámu se zde setkáváme s otázkou nulové energie, zde je . Vzpomeňme co se probíralo v mikrosvětě a jak jsme tehdy chápali 3D dutinu s oscilujícím elektromagnetickým zářením. A close-up of a white background Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 38 Harmonický oscilátor – vlastní stavy Vlastní stavy (stavové vektory) lze vyjádřit pomocí algebraické metody také. Vyjdeme-li ze vztahu , tak uvidíme, že mohou být zapsány pomocí následovně: Abychom tedy našli potřebný stavový vektor, stačí aplikovat na nulový stavový vektor potřebně-krát. Uvědomme si, že jakýkoliv set ket vektorů odpovídajících odlišným vlastním hodnotám musí být ortogonální: A to proto, protože Hamiltonián je Hermiteovský a žádný z jeho vlastních stavů není degenerovaný. Je zjevné již z předešlých úvah, že vlastní stavy Hamiltoniánu jsou také vlastními stavy operátoru počtu excitací a platí: A square root of a mathematical equation Description automatically generated A math equations on a white background Description automatically generated A close up of symbols Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 39 Harmonický oscilátor – energiové vlastní stavy v souřadnicové reprezentaci Určeme nyní vlnovou funkci harmonického oscilátoru v souřadnicové reprezentaci. Z předchozího víme, že pro nás je důležitý základní stav a všechny další můžeme generovat kreačním operátorem. Operátor definovaný jako je dán v souřadnicové reprezentaci následovně: Kde je konstanta s rozměrem délky. Můžeme tedy, v návaznosti na předešlé, zapsat anihilační a kreační operátory v souřadnicové reprezentaci následovně: Pomocí prvního vztahu (anihilačního operátoru) a dříve odvozené rovnice můžeme vyjádřit v souřadnicové reprezentaci jako: (Vzpomeňme na bra – ket symboliku, projekci (skalární součin) do bázových vektorů a rozvoj vlnové funkce do vlastních funkcí Hermiteovského operátoru. ) A tedy platí: kde reprezentuje vlnovou funkci základního stavu. Řešením této rovnice tedy bude: A group of black symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black square with a check mark Description automatically generated A square root of a mathematical equation Description automatically generated A black and white text Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated A black and blue symbol Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with a number of symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 40 Harmonický oscilátor – energiové vlastní stavy v souřadnicové reprezentaci Řešením předchozího tedy je: kde konstantu A získáme normalizací: A tedy: a výsledná normalizovaná vlnová funkce základního stavu je (Gaussovská fce): Pro další, excitované, stavy pak pomocí kreačního operátoru: A podobně: Obecně tedy: Čili aplikací na nalezneme vlnovou funkci pro jakýkoliv vyšší stav Výsledné vlnové funkce jsou buď sudé nebo liché, v závislosti na n. Ve výsledku fce jsou sudé a fce jsou liché. A mathematical equation with a number of symbols Description automatically generated with medium confidence A number and symbols on a white background Description automatically generated A number and symbols on a white background Description automatically generated A white rectangular sign with black text Description automatically generated A group of mathematical equations Description automatically generated A math equation with square and square roots Description automatically generated with medium confidence A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A math problem with numbers and symbols Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A close up of a number Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 41 Harmonický oscilátor – důsledky a použití Na předcházejících stranách jsme si spočítali tvar vlnových funkcí pro první tři energiové stavy harmonického oscilátoru, dvě další jsou uvedeny společně s průběhem limitujícího potenciálu vpravo (dobré je si uvědomit, že uvažovaný potenciál, jáma, pro harmo- nický oscilátor je nekonečně hluboká): Pro srovnání vzpomeňme jak to vypadalo pro nekonečnou a konečnou pravoúhlou potenciálovou jámu: Vidíme zjevnou podobnost a můžeme si znovu zopakovat všechny předpoklady a důležité vlastnosti pro tato řešení… A graph of a function Description automatically generated A diagram of a graph Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A diagram of a graph Description automatically generated 42 Harmonický oscilátor – důsledky a použití … ale je to již blízko pro použití v nějaké konkrétní fyzice? Vpravo vidíme srovnání řešení SR pro harmonický oscilátor a pro tzv. Morseho potenciál, daný: (Není třeba jít hlouběji do jeho popisu, ale vidíme tvar funkce. Pro kompletnost ale: De je disociační hloubka jámy, re je rovnovážná vzdálenost vazby, a je šířka jámy a r aktuální vzdálenost mezi atomy dvouatomové molekuly.) Morseho potenciál se používá k přesnějšímu popisu oscilačního pohybu (vibrací) dvouatomových molekul a vpravo vidíme jeho průběh a také vlnové funkce pro prvních několik stavů. Všimněme si relativních energií jednotlivých stavů mezi harmonickým oscilátorem a Morseho potenciálem. Harmonické jsou ekvidistantní zatímco Morseho jsou si pro vyšší stavy blíže a blíže. Je to dáno nejen tvarem Morseho potenciálu, ale také tím, že je z jedné strany omezený, potenciál nejde do nekonečna. Pro prvních několik energiových hladin je harmonický oscilátor poměrně dobrá aproximace popisu vibrující molekuly. Zobrazené diagramy jsou pro jeden elektronický stav, tedy například molekulu v základním elektronovém stavu ovšem v různých stavech vibračních. Pokud bychom šli v naší aplikaci získaného vědění z kvantové mechaniky dále, pak můžeme přejít ke spektroskopii, např. optické emisní… Co se děje při emisi fotonu v atomu či molekule? Diagram of a diagram of a dissociation energy Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 43 Harmonický oscilátor – důsledky a použití Pro atomy a světelnou emisi již něco víme z fyziky mikrosvěta, ovšem molekuly potřebují komplexnější popis. Mají nejen elektronické stavy, ale také stavy vibrační a rotační – všechny tyto energiové stavy lze popsat pomocí kvantové mechaniky relativně přesně. Využívá se k tomu tzv. Born-Oppenheimerova aproximace (ano, ten Born, z interpretace vlnové funkce a ano ten Oppenheimer, který vedl Manhattan projekt, byl Bornovým doktorským studentem), která ulehčuje řešení SR rozpisem vlnové funkce do oddělených členů pro elektronickou, vibrační a rotační složku: Přechody mezi jednotlivými stavy (ano, i ty zářivé, emisní) pak můžeme vyjádřit pomocí tzv. přechodového integrálu dipólového momentu: Který nám pak pro daný elektronický stav dokáže kvantifikovat pravděpodobnost přechodu mezi jednotlivými vibračními stavy formou tzv. Franck-Condonova faktoru: A to není nic jiného než pravděpodobnost spočítaná z „hustoty pravděpodobnosti“ vlnové funkce původního a vlnové funkce konečného energiového stavu. Pro vysvětlení pak lépe schematicky (pro excitaci, emise je obdobná -> využití např. při diagnostice plazmatu): A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated An diagram of energy and energy Description automatically generated A diagram of a graph Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 44 Periodická jáma – model krystalických látek tzv. Kronig-Penney model Uvažujme periodicky se opakující potenciálovou jámu, tak jak je zobrazena na grafu vpravo… Vyjdeme z SR: Tedy v analytickém tvaru: Pro oblasti s nulovým potenciálem V(x) = 0: S řešením: Pro oblasti s potenciálem V(x) = V0 pak platí: A řešení SR dává: A z okrajových podmínek dostáváme: A line drawing of a line Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A black rectangular object with letters and numbers Description automatically generated A black symbol with a white background Description automatically generated A black line on a white background Description automatically generated A black numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a symbol Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 45 Periodická jáma – model krystalických látek Ovšem je zde třeba ještě jedna podmínka! A totiž tzv. Blochův theorém pro periodicitu, obecně: Který v podstatě neříká nic jiného, než, že pro periodicky se opakující potenciál je rozumné očekávat periodicky se opakující řešení SR, tedy že výsledná vlnová funkce bude periodická taktéž. A pro náš případ: A pro derivace: Dosadíme-li vzájemně okrajové podmínky pro vlnové funkce a vzájemně pro jejich derivace (i z předešlé strany), pak nahrazením konstant C2 a D2 získáváme dvě rovnice o dvou neznámých: A close up of a number Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 46 Periodická jáma – model krystalických látek Soustavu rovnic vyřešíme maticovým způsobem, přes charakteristickou rovnici: Charakteristická rovnice: A pro případ 0 < E < V0: Výsledkem je následující rovnice: To samozřejmě vypadá složitě, ale opět můžeme k řešení přistoupit graficky. A black text on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 47 Periodická jáma – model krystalických látek A grafickým řešením rovnice: Je následující schéma, ukazující pásovou strukturu v pevných látkách a ukazují nám původ valenčních a vodivostních pásů: A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A graph with a line going up Description automatically generated Diagram of energy and energy band Description automatically generated f( ) A black text on a white background Description automatically generated f( ) A http://www.falstad.com/qm1dcrystal/ Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 48 Shrnutí Diskrétní spektrum: Vázané stavy se vyskytují vždy, pokud částice nemůže uniknout do nekonečna. Čili částice je uvězněna/vázána v omezeném prostoru, Pohyb částice je tzv. limitní. V takovém případě jsou řešení SR pouze ta diskrétní. Toto platí např. pro harmonický oscilátor či nekonečnou potenciálovou jámu. Jejich vlnové funkce jsou konečné/nulové pro x jdoucí do +- nekonečna. Tyto stavy pak mají energie menší než daný potenciál. Kontinuální spektrum: Nevázané, čili volné stavy nastávají, pokud není pohyb částice potenciálem omezen/vázán - typicky jde třeba o volnou částici. Pohyb takové částice je infinitní. Řešení 1D problémů: •Rozdělíme x-ový 1D prostor do význačných intervalů •Zapíšeme Schrödingerovu rovnici a vyřešíme ji pro dané intervaly •Aplikujeme fyzikální intuici, standardní podmínky na vlnové funkce, a řešení specifikujeme •Normalizujeme vlnové funkce •Aplikujeme okrajové podmínky (podmínky spojitosti) a řešení dále specifikujeme •Spočítáme koeficient reflexe či transmise, pokud bylo v zadání Řešení pro harmonický oscilátor: Řešením SR pro periodický potenciál je pásová struktura: A black and white math equation Description automatically generated A close-up of a white background Description automatically generated A graph of a function Description automatically generated A graph with a line going up Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic